広義積分の計算1:解析学の基本定理　

【トピック一覧】
　・有限区間での広義積分についての解析学の基本定理　　
　・無限区間での広義積分についての解析学の基本定理　　
【関連ページ：1変数関数の広義積分について】
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定理：有限区間での広義積分についての
　　　微分積分学の基本定理
　　　　fundamental theorem of differential and integral calculus
　　　解析学の基本定理fundamental theorem of calculus　

　 [高木『解析概論』109:解析学の基本定理の広義積分への拡張;小平『解析入門I』180-183.]
　　cf.定積分の範囲での解析学の基本定理　

・閉区間I=[a,b]において、
　有限個の不連続点 c₁ , c₂ , …, c_m ( a≦ c₁ < c₂ < …< c_m ≦b )を除いて、f(x)が連続、
　かつ、
・閉区間I=[a,b]で連続(な関数G(x))、かつ、 c₁ , c₂ , …, c_m を除いて微分可能で導関数がf(x)となる
　関数G(x)が存在するならば、
　　　（すなわち不連続点を除いて原始関数が存在し、かつ
　　　　　f(x)の不連続点でもその原始関数が連続であるなら、
　　　　　その原始関数の一つをG(x)と置くということ、）
広義積分

は収束し、
その値を下式で計算できる。
　　　

(証明:第1段階) [小平『解析入門I』180-181;高木『解析概論』109.]
「閉区間 [a,b]において、両端(x=a,b)を除いてf(x)が連続、
　　かつ
　閉区間 [a,b] で連続・両端(x=a,b)を除いて微分可能で導関数がf(x)となるG(x)が存在するならば、
　　広義積分

は収束し、その値を
　　　　

　　で計算できる。」
を示す。
仮定の整理：開区間 (a,b)においてf(x)が連続。…①
　　　開区間 (a,b)においてG'(x)=f(x)　(すなわち(a,b)でG(x)はf(x)の原始関数)…②
　　　G(x)は、閉区間 [a,b] で連続 (つまり開区間 (a,b)で連続かつx=aで右連続、x=bで左連続)…③
Step1:　
　a<a'<b'<bを満たす限りにおいて任意の a', b' を選び、閉区間 [a', b'] をつくる。
　①より、閉区間 [a', b'] においてf(x)は連続（定理より、そこでリーマン可積でもある）。…④
Step2:　
　②④より、
　定積分
　　　

　にたいして、定積分の範囲内での解析学の基本定理を適用可能。よって、
　　　

　…⑤
Step3:　
　a'→a+0、b'→b－0 としても、　a<a'<b'<bを満たすので、
　閉区間 [a', b']において、f(x)について④が成り立ち、定積分について⑤も成り立つ。
　つまり、
　　　

　…⑥
Step4:　
　③で、G(x)はx=aで右連続、x=bで左連続とされていた。　
　右連続・左連続の定義にしたがって、数式に書きなおすと、
　　　

　これを使って、⑥を書きかえると、
　　　

　…⑦
Step5:
　⑦の左辺は、広義積分

の定義に他ならない。
　よって、⑦は、①～③の仮定の下でなら、
　広義積分　

　が収束し、　
　下式で計算できることを意味している。
　　　

(証明:第2段階)
　証明:第1段階のごく一部を変えるだけで、
「閉区間 [a,b]において、両端(x=a,b)の一方を除いてf(x)が連続、
　　　（　つまり、半開区間 (a,b] ないし [a,b)でf(x)が連続　）
　　かつ
　閉区間 [a,b]で連続・f(x)の不連続点を除いて微分可能で導関数がf(x)となるG(x)が存在するならば、
　広義積分

は収束し、その値を
　　　　

　　で計算できる。」
を示せる（だから省略）。
(証明:第3段階) [小平『解析入門I』182;高木『解析概論』109.]　
「閉区間 [a,b]において、有限個の不連続点c₁ , c₂ , …, c_m (a=c₁ < c₂ < …< c_m=b)を除いて、f(x)が連続、
　　かつ
　閉区間 [a,b] で連続かつ、c₁ , c₂ , …, c_m を除いて微分可能で導関数がf(x)となるG(x)が存在する
　ならば、　
　　広義積分

は収束し、その値を
　　　　

　　で計算できる。」
を示す。
仮定の整理：
・a=c₁ < c₂ < …< c_m=b　　　　　…(0)
・k=1,…,m－1のすべてについて(つまり、不連続点で仕切られた小区間のすべてについて)、
　以下が成り立つ。
　　開区間 ( c_k ,c_k＋1 ) においてf(x)が連続。…①
　　開区間 ( c_k ,c_k＋1 )においてG'(x)=f(x)　(すなわち( c_k ,c_k＋1 )でG(x)はf(x)の原始関数)…②
　　G(x)は、閉区間 [c_k ,c_k＋1] で連続 (つまり開区間 (c_k ,c_k＋1)で連続かつx= ckで右連続、x= c_k＋1で左連続)…③
Step1:
　仮定①②③より、各閉区間 [c_k ,c_k＋1](k=1,…,m－1)について、証明:第1段階を適用可能。　
　これを適用すると、k=1,…,m－1のすべてについて、下式左辺の広義積分が右辺に収束する。
　　　　

　…④
Step2:
　広義積分の区間加法性を繰り返し用いて、k=1,…,m－1のすべてについて足し合せると、
　　　

　右辺に④を代入すると、
　　　

　　　　　　　　={G(c₂)-G(c₁)}+{ G(c₃)-G(c₂)}+{ G(c₄)-G(c₃)}+…+{ G(c_m)-G(c_m－1)}
　　　　　　　　= G(c_m) -G(c₁)　（この二項以外はすべてキャンセルされていく）
　　　　　　　　　　…⑤
　(0)で　a=c₁ 、c_m=b　とされていたから、
　⑤は以下のように書きかえられる。
　　

　
(証明:第4段階) [小平『解析入門I』182;高木『解析概論』109.]　

「閉区間 [a,b]において、有限個の不連続点c₁ , c₂ , …, c_m (a<c₁ < c₂ < …< c_m<b)を除いて、f(x)が連続、
　　かつ
　閉区間 [a,b] で連続かつ、c₁ , c₂ , …, c_m を除いて微分可能で導関数がf(x)となるG(x)が存在する
　ならば、　
　　広義積分

は収束し、その値を
　　　　

　　で計算できる。」
を示す。
仮定の整理：
・a<c₁ < c₂ < …< c_m<b　　　　　…(0)
・k=1,…,m－1のすべてについて(つまり、不連続点で仕切られた小区間のすべてについて)、
　以下が成り立つ。
　　開区間 ( c_k ,c_k＋1 ) においてf(x)が連続。…①
　　開区間 ( c_k ,c_k＋1 )においてG'(x)=f(x)　(すなわち( c_k ,c_k＋1 )でG(x)はf(x)の原始関数)…②
　　G(x)は、閉区間 [c_k ,c_k＋1] で連続 (つまり開区間 (c_k ,c_k＋1)で連続かつx= c_kで右連続、x= c_k＋1で左連続)…③
・閉区間 [a, c₁]において、c₁を除いて、f(x)が連続　
　閉区間 [a, c₁] で連続かつ、c₁を除いて、f(x)が微分可能で導関数がf(x)となるG(x)が存在する…④
・閉区間 [c_m , b]において、c₁　を除いて、f(x)が連続　
　閉区間 [c_m , b] で連続かつ、c₁を除いて、f(x)が微分可能で導関数がf(x)となるG(x)が存在する…⑤
Step1:
　仮定①②③より、閉区間 [c₁,c_m]について、証明:第3段階を適用可能。　
　　　

…⑥
Step2:
　仮定④⑤より、閉区間 [a,c₁] [c_m,b] について、証明:第2段階を適用可能。
　　

　…⑦
　　

　…⑧
Step3:
　広義積分の区間加法性を繰り返し用いると、　
　　

　この右辺に⑥⑦⑧を代入して、
　　

　　　　　　　=G(b)－G(a)　
　　

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定理：無限区間での広義積分についての
　　　微分積分学の基本定理fundamental theorem of differential and integral calculus
　　　解析学の基本定理fundamental theorem of calculus　

　 [小平『解析入門I』182-183.]
　　cf.定積分の範囲での解析学の基本定理　

　無限区間 (a,＋∞)で定義された関数f(x)について考える。
　a<tを満たすtを一つ選び開区間(a,t)をつくる。
　どんな風にtをとって、開区間(a,t)をつくったとしても、
　・開区間(a,t)において高々有限個の点を除いてf(x)が連続、
　かつ、
　・広義積分