実数値関数の連続性：トピック一覧　　

　・連続性の定義：距離空間上の実数値関数の点での連続性/距離空間上の実連続関数/一様連続性　
　　　　　　　　　位相空間上の実数値関数の点での連続性/位相空間上の実連続関数　　　
　・連続性の性質：点列の収束との関係　
　・連続関数一般の性質：関数の和差積商の連続性/合成関数の連続性　
　・有界閉集合上の性質：連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/最大値最小値定理/
　　　　　　　　　　　　関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続
　・連結な集合上の性質：中間値定理/連続関数による領域の像は区間/連続関数による閉領域の像は閉区間　　

　※実数値関数に関する諸概念の定義：実数値関数の定義と諸属性/実数値関数の極限/連続性/可測関数/　　
　※実数値関数の連続性の具体例：1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性
　※実数値関数の連続性の一般化：ベクトル値関数の連続性/距離空間の間の写像の連続性/位相空間の間の写像の連続性
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定義：距離空間上の実数値関数が点Aで連続　　

設定

ここでは、
　以下の手順で設定された舞台上でなされる「実数値関数が点Aで連続」の定義
をみる。
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに距離d_X を定めて、集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、集合Y上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」　　

cf.実連続関数/一様連続性

[具体例]1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性

[一般化]位相空間上の実数値関数の連続性/ベクトル値関数の連続性/距離空間の間の写像の連続性/位相空間の間の写像の連続性

はじめに読むべき定義

「実数値関数『 f：X→R』が『X上の点A』で連続であるcontinuous」とは、　
　次の2条件がともに満たされることを言う。
　(1) P→Aで、f (P)が収束すること。
　　　　つまり、　
　　　　　
　　　が存在すること。　
　(2) f (P)→f (A)（P→A）　
　　　つまり、　
　　　　　
　　　あが成立すること。

[文献]
矢野『距離空間と位相構造』1.1.3(p.14)

厳密な
定義
ε-δ
論法

「実数値関数『 f：X→R』が『X上の点A』で連続であるcontinuous」とは、
　任意の正数εに対して、ある正の実数δが存在して、
　　「 d_X ( P, A )＜δ ならば、d ( f (P), f (A) )＜ε 」　
　を成り立たせる、ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X ）（ d_X ( P, A )＜δ⇒ d ( f (P) , f (A) )＜ε）
　　* d_X ( P, A )は、集合X上での点Pと点Aとの距離を、
　　　d ( f (P) , f (A) )は、R上のf (P)とf (A)との距離| f (P)−f (A) |を表す。

* 「P→Aのときf(P)が収束する」の定義では、 ０＜d_X ( P, A )＜δ であった。
　　つまり、関数の｢極限｣では、P＝Aを除外して考えたが、
　　　　　「連続」ではP＝Aを除外しないことになる。

[文献]
松坂和夫『集合・位相入門』４章§4-B定理20注意1-2

(p.179);
矢野『距離空間と位相構造』1.1.3(p.14)

厳密な
定義
近傍

「実数値関数『 f：X→R』が『X上の点A』で連続であるcontinuous」とは、
　実数 f (A) の任意の（どんな）「R上のε近傍U_ε( f (A) )」に対して（でも）、
　ある「Xにおける点Aのδ近傍U_δ(A)」が存在して、
　　　　　f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) )　
　を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δが存在して、
　　　　　　　　「　f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) )　　」
　　　　すなわち「　P∈U_δ(A) ならば、f (P) ∈U_ε( f (A) )」
　を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀U_ε( f (A) )）（∃U_δ(A)）（ f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) ) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U_δ(A) ) ) ⊂U_ε( f (A) ) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X）（ P∈U_δ(A) ⇒ f (P) ∈U_ε( f (A) )）　
となる。

活用例

定義：位相空間上の実数値関数が点Aで連続　　

設定

位相空間上の実数値関数の連続性の定義は、
以下の手順で設定された舞台上でなされる
「実数値関数が点Aで連続」の定義をみる。
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに位相を与えて、
　　　　集合Xを位相空間として扱えるように設定。
　　　　これにより、
　　　　集合Xには、
　　　　その開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
　　　　が設定されることになる。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、R上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」　　

cf.位相空間上の実連続関数/一様連続性

[具体例]1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性/距離空間上の実数値関数の連続性

[一般化]ベクトル値関数の連続性/距離空間の間の写像の連続性/位相空間の間の写像の連続性

[文献]
松坂和夫『集合・位相入門』４章§4-B定理20注意1-2

(p.179);

定義1

「実数値関数『 f：X→R』が『X上の点A』で連続であるcontinuous」とは、
　「『X上の点A』をfがR上に写した像 f (A )」のどんな「R上のε近傍U_ε( f (A) )」に対してでも、
　　ある「『X上の点A』の『Xにおける近傍U_X (A )』」が存在して、
　　　　　f ( U_X(A ) ) ⊂ U_ε( f (A) )　
　　を満たす
ことをいう。　　
この定義を、論理記号で表せば、
　（∀ε>０）（∃U_X(A )）（ f ( U_X(A ) ) ⊂ U_ε( f (A) ) ）　
となる。

定義2

「実数値関数『 f：X→R』が『X上の点A』で連続であるcontinuous」とは、
　「『X上の点A』をfがR上に写した像 f (A )」の
　　　任意の「R上のε近傍U_ε( f (A) )」の
　　　　　 fによる逆像 f^-1( U_ε( f (A ) ) )が、
　「『X上の点A』の『Xにおける近傍U_X (A )』」であること。　

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定義：距離空間上の実連続関数

設定

ここでは、以下の手順で設定された舞台上でなされる「実数値関数が点Aで連続」の定義をみる。

Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに距離d_X を定めて、集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、集合Y上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」

[文献]
矢野『距離空間と位相構造』1.1.3(p.13):距離空間上
松坂和夫『集合・位相入門』４章§4-B(pp.178-9):位相空間上;

はじめに
読むべき
定義

「実数値関数『 f：X→R』が実連続関数である」とは、　
　　　実数値関数『 f：X→R』がXに属す全ての点で連続であること
　をいう。

厳密な
定義
ε-δ論法

「実数値関数『 f：X→R』が実連続関数である」とは、　
　Xに属す点Aを一つ選んで固定した上で、
　　　任意の正数εに対して、ある正の実数δをとると、
　　　　「 d_X ( P, A )＜δ ならば、d ( f (P), f (A) )＜ε 」　
　　　が成り立ち、
　これが、すべての点A∈Xについても言えるということ。　
　論理記号で表せば、
　（∀A∈X）（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X ）
　　　　　　　　　　　　　　　　（ d_X ( P, A )＜δ⇒ d ( f (P) , f (A) )＜ε）
　　* d_X ( P, A )は、集合X上での点Pと点Aとの距離を、
　　　d ( f (P) , f (A) )は、R上のf (P)とf (A)との距離| f (P)−f (A) |を表す。
　　* ここで、(1)を満たすδを全てのA∈Xに対して共通に選ぶ必要はないことに注意。
　　　「f (P)がD上で連続」と言った場合、A∈Xの選び方で(1)を満たすδが変わってもよい。
　　　これに対して、
　　　(1)を満たすδを全てのA∈Xに対して共通に選べる、
　　　A∈Xの選び方によらず、εだけに対応して (1)を満たすδを一様に選べることを意味する概念は、
　　　一様連続性。　　

厳密な
定義
近傍

「実数値関数『 f：X→R』が実連続関数である」とは、
　任意の点A∈Xの「f による像」f (A) の任意の「R上のε近傍U_ε( f (A) )」に対して、
　その点Aのある「Xにおけるδ近傍U_δ(A)」が存在して、
　　　　　f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) )　
　を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
　任意のA∈Xと任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、
　　　　　　　　「　f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) )　　」
　　　　すなわち「　P∈U_δ(A) ならば、f (P) ∈U_ε( f (A) )」
　を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀A∈X）（∀U_ε( f (A) )）（∃U_δ(A)）（ f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) ) ）　
（∀A∈X）（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U_δ(A) ) ) ⊂U_ε( f (A) ) ）　
（∀A∈X）（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X）（ P∈U_δ(A) ⇒ f (P) ∈U_ε( f (A) )）　
となる。

定義：位相空間上の実連続関数

設定

ここでは、以下の手順で設定された舞台上でなされる「実連続関数」の定義をみる。

Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに位相を与えて、
　　　　集合Xを位相空間として扱えるように設定。
　　　　これにより、
　　　　集合Xには、
　　　　その開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
　　　　が設定されることになる。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、R上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」　　

[文献]
松坂和夫『集合・位相入門』４章§4-B(pp.178-9):位相空間上;

はじめに
読むべき
定義

「実数値関数『 f：X→R』が実連続関数である」とは、　
　　　実数値関数『 f：X→R』がXに属す全ての点で連続であること
　をいう。

厳密な
定義
ε-δ論法

「実数値関数『 f：X→R』が実連続関数である」とは、　
　Xに属す点Aを一つ選んで固定した上で、
　　　任意の正数εに対して、ある正の実数δをとると、
　　　　「 d_X ( P, A )＜δ ならば、d ( f (P), f (A) )＜ε 」　
　　　が成り立ち、
　これが、すべての点A∈Xについても言えるということ。　
　論理記号で表せば、
　（∀A∈X）（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X ）
　　　　　　　　　　　　　　　　（ d_X ( P, A )＜δ⇒ d ( f (P) , f (A) )＜ε）
　　* d_X ( P, A )は、集合X上での点Pと点Aとの距離を、
　　　d ( f (P) , f (A) )は、R上のf (P)とf (A)との距離| f (P)−f (A) |を表す。
　　* ここで、(1)を満たすδを全てのA∈Xに対して共通に選ぶ必要はないことに注意。
　　　「f (P)がD上で連続」と言った場合、A∈Xの選び方で(1)を満たすδが変わってもよい。
　　　これに対して、
　　　(1)を満たすδを全てのA∈Xに対して共通に選べる、
　　　A∈Xの選び方によらず、εだけに対応して (1)を満たすδを一様に選べることを意味する概念は、
　　　一様連続性。　　

厳密な
定義
近傍

「実数値関数『 f：X→R』が実連続関数である」とは、
　任意の点A∈Xの「f による像」f (A) の任意の「R上のε近傍U_ε( f (A) )」に対して、
　その点Aのある「Xにおけるδ近傍U_δ(A)」が存在して、
　　　　　f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) )　
　を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
　任意のA∈Xと任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、
　　　　　　　　「　f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) )　　」
　　　　すなわち「　P∈U_δ(A) ならば、f (P) ∈U_ε( f (A) )」
　を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀A∈X）（∀U_ε( f (A) )）（∃U_δ(A)）（ f ( U_δ(A) ) ⊂U_ε( f (A) ) ）　
（∀A∈X）（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U_δ(A) ) ) ⊂U_ε( f (A) ) ）　
（∀A∈X）（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X）（ P∈U_δ(A) ⇒ f (P) ∈U_ε( f (A) )）　
となる。

定理：実数値関数の点における連続性の、点列・数列の収束への言い換え　

一般的には、以下を参照。
　距離空間の間の写像の連続の、点列の収束への言い換え

また、以下の具体例も参照。
　 1変数関数の連続の、数列の収束への言い換え
　 2変数関数の連続の、点列･数列の収束への言い換え
　 n変数関数の連続の、点列･数列の収束への言い換え

[文献]
該当文献見当たらず。

活用例

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定義：一様連続性 uniformly continuous

一般的には、以下を参照。
　距離空間のあいだの写像の一様連続性

また、以下の具体例も参照。
　1変数関数の一様連続性
　2変数関数の一様連続性
　 n変数関数の一様連続性

[文献]
該当文献見当たらず。

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→総目次