矩形上の2重積分　double integral


前ページ：　矩形上の2重積分の定義　

次ページ：　可積分条件(その1) (その2)、矩形上の重積分の性質　
　　　　　パラメーターを含む積分の性質、累次積分　
　　　　　面積(定義、性質、面積ゼロ・negligible・零集合)　
　　　　　矩形上の可積分条件(その3)　

→総目次

II. 閉矩形における有界2変数関数積分可能条件の説明に用いられる概念


【文献】

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』190
　・高木『解析概論』p.325-6　　
　　※小平『解析入門II』317-20;黒田『微分積分』348.は連続関数に限定して議論するゆえ、すべて可積分に。



定義：閉矩形における有界関数f(x,y)の過剰和・不足和
　　lower Reamann Sum , upper Riemann Sum


[吹田・新保『理工系の微分積分学』190;高木『解析概論』p.325;小平『解析入門II』318;片山『微分積分学』202;
　　Lang.Undergraduate Analysis470.杉浦『解析入門I』213:n次元区間一般;　　]
　　cf. 1変数関数のリーマン可積分条件の検討におけるfの過剰和・不足和　
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　Kij :　Kの分割⊿によってできたmn個の小矩形を
　　　　　　Kij ={ (x ,y ) | xi－1≦x≦xi , yj－1≦y≦yj }=[ xi－1, xi ]×[ yj－1, yj ]　(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )
　　　　　　　　ただし、x0= a, xm=b, y0= c, yn =d、
　　　で表すとする。
　f(x ,y ):　ここでは、関数f(x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
　mij , Mij：各小矩形Kij(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )でのfの下限をmij、上限をMijであらわす。すなわち、
　　　　　　　
　　　　　　※ここでは、f(x ,y )として、K上有界な関数のみを考えているので、mij、Mijも有界。　　　
（本題）
・R2上の閉区間(閉矩形)K=[a,b]×[c,d]におけるf(x,y)の不足和s[⊿]とは、
　「小矩形Kijにおけるfの下限 mij 」と「 小矩形Kijの面積 」との積を、
　全ての小矩形 (i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n で、全部でmn個ある)について足し合わせたもの。
　すなわち、
　　
・R2上の閉区間(閉矩形)Kにおけるf(x,y)の過剰和S[⊿]とは、
　「小矩形Kijにおける fの上限Mij」と「 小矩形Kijの面積 」との積を、
　全ての小矩形 (i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n で、全部でmn個ある)について足し合わせたもの。
　すなわち、
　　
　　　　　　※ここでは、f(x ,y )として、K上有界な関数のみを考えているので、mij、Mijも有界。
　　　　　　　　よって、過剰和・不足和も、有界。→下積分・上積分の存在。　
　　　　　　※過剰和・不足和を、上方和・下方和と呼ぶテキストもある[片山『微分積分学』202.]


→[トピック一覧：矩形上の二重積分]
→総目次

定義：振動量・振幅　oscillation

　　[ 吹田・新保『理工系の微分積分学』190;高木『解析概論』p.325;杉浦『解析入門I』2120:n次元区間一般;]

　　cf. 1変数関数のリーマン可積分条件の検討におけるfの振幅　

（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　Kij :　Kの分割⊿によってできたmn個の小矩形を
　　　　　　Kij ={ (x ,y ) | xi－1≦x≦xi , yj－1≦y≦yj }=[ xi－1, xi ]×[ yj－1, yj ]　(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )
　　　　　　　　ただし、x0= a, xm=b, y0= c, yn =d、
　　　で表すとする。
　f(x ,y ):　ここでは、関数f(x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
　mij , Mij：各小矩形Kij(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )でのfの下限をmij、上限をMijであらわす。すなわち、
　　　　　　　
（本題1）
小矩形Kijにおけるf(x,y)の振幅・振動量とは、
Kij(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )でのfの上限と下限との差のこと。
記号：ωij 、ω (Kij ; f )、a ( f, Kij )などで表す。
すなわち、
　　ωij ＝Mij－ mij　
あるいは、
　　
（本題2）
　　　[　高木『解析概論』p.325。]

f(x,y)のKijにおける振動量と、過剰和S[⊿]・不足和s[⊿]との間に以下の関係が成り立つ
　　
　なぜなら、(以下、Kijの面積を、⊿Kijと表記)
　　　
　　　　　　=　{ M11⊿K11＋M12⊿K12＋…＋M1n⊿K1n　
　　　　　　　　　+M21⊿K21＋M22⊿K22＋…＋M2n⊿K2n　
　　　　　　　　　　…　
　　　　　　　　　　　+M n 1⊿K n 1＋M n 2⊿K n 2＋…＋M n n⊿K n n}
　　　　　　　－{ m11⊿K11＋m12⊿K12＋…＋m1n⊿K1n　
　　　　　　　　　　+m21⊿K21＋m22⊿K22＋…＋m2n⊿K2n　
　　　　　　　　　　…　
　　　　　　　　　　　+m n 1⊿K n 1＋m n 2⊿K n 2＋…＋m n n⊿K n n}
　　　　　　=(M11⊿K11－ m11⊿K11)＋(M12⊿K12－ m12⊿K12)＋…＋(M1n⊿K1n－ m1n⊿K1n)
　　　　　　　　　+(M21⊿K21－ m21⊿K21)＋(M22⊿K22－ m22⊿K22)＋…＋(M2n⊿K2n－ m2n⊿K2n)　
　　　　　　　　　　…　
　　　　　　　　　　　+(Mn1⊿Kn1－ mn1⊿Kn1)＋(Mn2⊿Kn2－ mn2⊿Kn2)＋…＋(Mnn⊿Knn－ mnn⊿Knn)　
　　　　　　=(M11－ m11) ⊿K11＋(M12－ m12) ⊿K12＋…＋(M1n－ m1n) ⊿K1n
　　　　　　　　　　＋(M21－ m21) ⊿K21＋(M22－ m22) ⊿K22＋…＋(M2n－ m2n) ⊿K2n　
　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　　　　＋(M n 1－ m n 1) ⊿Kn 1＋(M n 2－ m n 2) ⊿Kn 2＋…＋(M n n－ m n n) ⊿Kn n　　
　　　　　　=ω11⊿K11＋ω12⊿K12＋…＋ω1n⊿K1n
　　　　　　　　　　＋ω21⊿K21＋ω22⊿K22＋…＋ω2n⊿K2n　
　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　　　　＋ωn1⊿Kn 1＋ωn2⊿Kn 2＋…＋ωn n⊿Kn n　
　　　　　　=右辺　

→総目次に戻る。　




→[トピック一覧：矩形上の二重積分]
→総目次

定義：細分refinement

[杉浦『解析入門I』213:n次元区間一般;黒田『微分積分』348; Lang.Undergraduate Analysis470:証明付　]
　　cf. 1変数関数のリーマン可積分条件の検討における細分　
・R2上の閉区間(閉矩形) Kの二つの分割⊿、⊿'　があって、⊿の分点・分割線はすべて、⊿'の分点・分割線でもあるとき、⊿'は⊿の細分であるという。⊿≦⊿'と記す。
細分してゆくほど、不足和は大きくなり、過剰和は小さくなる。
すなわち、⊿≦⊿'なら、s[⊿]≦s [⊿']、S[⊿]≧S[⊿']。
・R2上の閉区間(閉矩形) Kの二つの分割⊿1、⊿2　があって、⊿1の分点・分割線、⊿2の分点・分割線を、すべてあつめて、分点・分割線とした分割を、⊿1と⊿2の共通の細分と呼ぶ。[黒田『微分積分』348.]

総目次に戻る。　

定理：閉矩形における有界関数f(x,y)の不足和・過剰和の性質
1. 　　　[杉浦『解析入門I』式3.4(p.213):n次元区間一般; 小平『解析入門II』式7.1:319;]
R2上の閉区間(閉矩形) Kにおける有界f(x,y)の不足和・過剰和は、
Kにおけるf(x,y)のリーマン和R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]との間に以下の関係が成り立つ。
　　　　任意の(どんな)「小矩形Kijの代表点{Pij }=(ζij ,ηij )のとりかた」にたいして(でも、)
　　　　　s[⊿]≦R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]≦S[⊿]　

2. 　　　[杉浦『解析入門I』式3.4(p.213):n次元区間一般; ;片山『微分積分学』202.]
細分してゆくほど、R2上の閉区間(閉矩形) Kにおける有界f(x,y)の不足和は大きくなり、過剰和は小さくなる。
すなわち、⊿≦⊿'ならば、s[⊿]≦s [⊿']、S[⊿]≧S[⊿']。
(１についての解説)
　f(x,y)の不足和・過剰和、リーマン和の定義を確認してみると、
　　
　　
　　
　ちがうのは、mij , Mij, Pijの個所だけ。これが、どういう風に定義されていたのかを確認してみると、
　　　　mij , Mij：各小矩形Kij(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )でのfの下限をmij、上限をMijであらわす。
　　　　Pij ： 各小矩形Kij (i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )の各々から、勝手に選んだ代表点
　だから、任意のPijに対して常に、各小矩形Kijで、mij ≦ f ( Pij ) ≦ Mij 　　
　　　　よって、各小矩形Kijで、　mij (K ijの面積)≦ f ( Pij ) (K ijの面積) ≦ Mij (K ijの面積)　


→[トピック一覧：矩形上の二重積分]
→総目次

定義：閉矩形における有界関数fの下積分lower integral・上積分upper integral

[吹田・新保『理工系の微分積分学』190; 高木『解析概論』p.325-6; Lang.Undergraduate Analysis471;　
　　黒田『微分積分』348.は連続関数に限定して議論するゆえ、すべて可積分に。
　　杉浦『解析入門I』213:n次元区間一般;　　　　　]
　　　　cf. リーマン可積分条件の検討におけるfの下積分・上積分　
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　Kij :　Kの分割⊿によってできたmn個の小矩形を
　　　　　　Kij ={ (x ,y ) | xi－1≦x≦xi , yj－1≦y≦yj }=[ xi－1, xi ]×[ yj－1, yj ]　(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )
　　　　　　　　ただし、x0= a, xm=b, y0= c, yn =d、
　　　で表すとする。
　f(x ,y ):　ここでは、関数f(x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（文脈）
R2上の閉区間(閉矩形) Kの分割⊿の採り方によって、
Kにおけるf(x,y)の不足和s[⊿]・過剰和S[⊿]の大きさは変わってくる。
特に、不足和・過剰和の性質2.でみたように、分割⊿を細分して行くほど、
不足和s[⊿]は大きくなり、過剰和S[⊿]は小さくなる。

（定義）
・Kにおけるf(x,y) の下積分sとは、
　　Kの分割⊿の採り方に応じて不足和s[⊿]がとりうる様々な値の上限のこと。
・Kにおけるf(x,y) の上積分Sとは、
　　Kの分割⊿の採り方に応じて過剰和S[⊿]がとりうる様々な値の下限のこと。
すなわち、
Dで、R2上の閉区間(閉矩形) Kにたいして採りうるあらゆる分割⊿の集合を表すなら、
　　


定理：閉矩形における有界関数f(x,y)の下積分と上積分の性質

　　[吹田・新保『理工系の微分積分学』190; 杉浦『解析入門I』式3.4(p.213):n次元区間一般;]　
　1.　R2上の閉区間(閉矩形) Kにおける有界関数f(x,y)の下積分s≦上積分S　
　2. 不足和・過剰和・上積分・下積分の関係
　　　下積分・上積分の定義から、不足和・過剰和との関係も絡めると、
　　　任意の分割⊿の採り方に対して、
　　　R2上の閉区間(閉矩形) Kにおける有界関数f(x,y)の不足和s[⊿]≦下積分s≦上積分S≦過剰和S[⊿]
　　　　　　すなわち、　　0≦S－ｓ≦S[⊿]－s[⊿]　
　3. 不足和・過剰和・上積分・下積分・リーマン和の関係
　　不足和・過剰和・リーマン和の関係：
　　　　　　　　任意の(どんな)「小矩形Kijの代表点{Pij }のとりかた」にたいして(でも)、
　　　　　　　　　　　　s[⊿]≦R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]≦S[⊿]　
　　と上記2.の不等式から、
　　　　　　下積分s, 上積分S, リーマン和R[ f ; ⊿ ; {Pij } ] ∈閉区間[ s[⊿], S[⊿] ]　となるから、
　　任意の(どんな) 「小矩形Kijの代表点{Pij }のとりかた」にたいして(でも)、

　　|S－リーマン和R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]|≦S[⊿]－s[⊿]　、　|R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]－s|≦S[⊿]－s[⊿]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[杉浦『解析入門I』356:定理17.7証明のなかで; .]　　
　
→[トピック一覧：矩形上の二重積分]
→総目次

(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第8章90-92節pp.325-332. .
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第7章1節(pp.189-196).
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、第7章(pp.317-330.)。連続関数に限定
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第10章1節(pp.346-352.)。連続関数に限定。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、第3章3.8節I(pp. 106-108):矩形上ではなく、いきなり一般の積分範囲上。
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.205-229:矩形上;pp.254-279:一般の積分範囲。（2重積分についてというよりもむしろ、主にn変数関数全般についてリーマン積分を論じている。）
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ－ルタ－・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第9章9.28-: n変数関数。
片山孝次『微分積分学』(現代数学レクチャーズB-8)、培風館、1980年、p.202.極めて簡潔な要約。　
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、5章2節(pp.138-146.):。このテキストは、リーマン積分とルベーク積分の間という特殊な立場を進んで行っている気がする。ついていってよいのかどうか。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.138-9. アイデアだけ。厳密な議論なし。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、87-89. アイデアだけ。厳密な議論なし。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (pp.468-482.)。