２変数関数の逆関数定理
cf. 1変数関数の逆関数/n変数関数の逆関数　
→参考文献・総目次　

2変数関数の逆関数[小形『多変数の微分積分』p192]
　cf.逆関数、
y₁= f₁ ( x₁, x₂ )、y₂= f₂ ( x₁, x₂ )　
として、( x₁ , x₂ )→( y₁ , y₂ )　を対応付ける二つの関数f₁、f₂があるとする。
x₁= g₁ ( y₁ , y₂ )、x₂= g₂ ( y₁, y₂ )　
というように、( y₁ , y₂ ) →( x₁ , x₂ )を対応付ける二つの関数g₁、g₂があれば、
それをf₁、f₂の逆関数という。　
→逆関数の存在条件、

逆像・逆写像[小平『解析入門II』362]

連続写像[小平『解析入門II』362]

連続微分可能な写像[小平『解析入門II』362]

定理：開集合の、連続写像による逆像は、開集合[小平『解析入門II』362]

逆関数の定理[小形『多変数の微分積分』199-200; 小平『解析入門II』363-364]
C¹級の関数y₁=f₁(x₁,x₂)、y₂=f₂(x₁,x₂)を考える。
ヤコビアンが0でなければ、(x₁,x₂)と(y₁,y₂)は1対1対応し、
逆関数 x₁= g₁ ( y₁ , y₂ )、x₂= g₂ ( y₁, y₂ )が存在する。
逆関数g₁、g₂の偏導関数は、

　　　　　　
(ルーズな解説) [小形『多変数の微分積分』199-200]
g₁ ( y₁ , y₂ )、g₂ ( y₁, y₂ )をf₁(x₁,x₂)、f₂(x₁,x₂)の逆関数とすると、以下が成立しなければならない。　　
　　g₁ ( f₁(x₁,x₂) , f₂(x₁,x₂) ) = x₁…�@
　　g₂ ( f₁(x₁,x₂) , f₂(x₁,x₂) ) = x₂…�A
�@の両辺を、x₁で偏微分する。
　∂g₁ ( f₁(x₁,x₂) , f₂(x₁,x₂) )/∂x₁=∂x₁/∂x₁　
　合成関数の微分則を用いて、　
　…�B
�@の両辺を、x₂で偏微分する。
　∂g₁ ( f₁(x₁,x₂) , f₂(x₁,x₂) )/∂x₂=∂x₁/∂x₂　
　合成関数の微分則を用いて、　
　…�C
�Aの両辺を、x₁で偏微分する。
　∂g₂ ( f₁(x₁,x₂) , f₂(x₁,x₂) )/∂x₁=∂x₂/∂x₁　
　合成関数の微分則を用いて、　
　…�D
�Aの両辺を、x₂で偏微分する。
　∂g₂ ( f₁(x₁,x₂) , f₂(x₁,x₂) )/∂x₂=∂x₂/∂x₂　
　合成関数の微分則を用いて、　
　…�E
�B〜�Eは、以下のようにも書ける。　
　
左辺2番目の行列は、いわゆるヤコビ行列となっているが、
この行列式（ヤコビアン）がゼロでなければ、その逆行列を計算できるので、
左辺1番目の行列、すなわち、逆関数g₁、g₂の偏導関数が、すべて求まる。

この行列式（ヤコビアン）がゼロならば、その逆行列を計算できないので、
左辺1番目の行列、すなわち、逆関数g₁、g₂の偏導関数は、出てこない。
(証明) [小平『解析入門II』363-364]

（reference）下るほど難易度があがる。

小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、pp.192-201.
小平邦彦『解析入門II』(軽装版)岩波書店、2003年、pp.362-370。
高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 299-302.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.235-252.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.139-141. 　ただし、f:Rⁿ→Rⁿの逆関数（逆写像）。
杉浦光夫『解析入門II』岩波書店、1980年、pp.16-18. 　ただし、f:Rⁿ→Rⁿの逆関数（逆写像）。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.255-260. 逆写像定理。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、pp.105-115。
住友洸（たけし）『大学一年生の微積分学』現代数学社、1987年,pp.92-102「逆写像存在定理」。