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1変数関数y=1/xの性質 ：トピック一覧 |
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・グラフ/値域/有界性/最大最小/増減/単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/ 極大極小/ 凹凸 |
| ※1変数関数の具体例：y=x / y=x2/ y=x3 →べき関数 定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数 指数関数/対数関数 絶対値関数/三角関数 /ガンマ関数 ※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分 ※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般 ※総目次 |
| y=f(x)=1/x | ||
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| ・R＝(−∞,∞）で定義された対応y=f (x)=1/xは、関数の定義を満たさない。 なぜなら、 x＝0∈Rにおいて、 f(0)＝1/0＝φとなる（∵実数体の定義）から。 ・しかし、 R＝(−∞,∞）から0を除いたR−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された対応 y=f (x)=1/x は、関数の定義を満たす。 ・したがって、通常、「y=f (x)=1/xの定義域」は、 ０を除く実数全体(−∞,０)∪(０, ＋∞)とされる。 |
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・y=f(x)=1/xのグラフは、以下のとおり。 このグラフを、直角双曲線と呼ぶ。 |
[文献] ・『高等学校数学I』p.138 ・松坂『解析入門1』3.1-D(p.100) ・小林昭七『微分積分読本:1変数』第2章-1(p.39)：有理関数一般。 |
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一般化 |
べき関数 | |
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| y=1/xの値域range | ||
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・「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x の値域は、「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)。 |
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| y=1/xは非有界 | ||
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| ・０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x は、上にも下にも有界ではない。 |
[文献]・ |
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| y=1/xの最大値・最小値 | ||
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| ・０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x には、最大値も最小値も存在しない。 |
[文献]・ |
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| y=1/xの増減 | ||
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・開区間(−∞,０)で、y=1/xは、狭義単調減少。 ・開区間 (０, +∞)で、y=1/xは、狭義単調減少。 ・定義域全 体(−∞,０)∪(０, ＋∞)では、y=1/xは単調減少ではない。 |
[文献] ・松坂『解析入門1』3.1-D(p.100) |
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| y=f(x)= 1/x と全単射 | ||
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| ・「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x は、単射。 ・「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x は、Rの上への全射ではないが、R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)の上への全射ではある。 |
文献見当たらず。 |
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| y=1/xの極限 | ||
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・「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x に関して、以下が成り立つ。 (1) ０を除くどんな実数aに対しても、 f(x)→1/a (x→a) (2) f(x) →＋∞ (x→+０) なお、このように、y=f(x)=1/x が＋∞に発散するのは、 この「０における右極限」の場合に限られる。 (3) f(x) →−∞ (x→−０) なお、このように、y=f(x)=1/x が−∞に発散するのは、 この「０における左極限」の場合に限られる。 (2+3) 「０における右極限」「０における左極限」が一致しないので、 y=f(x)=1/xには、「０における極限」は存在しない。 （収束せず発散するが、発散方向も、0への接近路によって逆） (4) f(x) →０ (x→＋∞) (5) f(x) →０ (x→−∞) なお、このように、y=f(x)=1/x が０に収束するのは、 この(4)(5)のケースに限られる。 |
[文献]・松坂『解析入門1』3.1-F例1(p.103):(2)(3)について; G例2(p.104):(4)(5)について:証明無・和達『微分積分』例題2.4(p.29) ・黒田『微分積分学』例3.8(p.95);問題3.2.4;3.2.5(pp.99-100) ・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.1.5(p.109）:(1)について ・有理関数一般に関して。証明つき。 |
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※なぜ？ (1) ・y=g(x)=xの極限の性質より、 y=g(x)= xは、 どんな実数aに対しても、 g(x)→a (x→a)。 ・したがって、a=0ならば、 g(x)→0 (x→0)。 ・「関数のあいだの商」の極限は、分母0でない限り「関数の極限」の商 という定理と、 上記で得られた「g(x)の極限値」より、 a≠0ならば、1/g(x)→1/a (x→a) ・したがって、f (x)=1/g(x)=1/xは、 ０を除くどんな実数aに対しても、 f(x)→1/a (x→a) 。 |
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| y=1/xの連続性 | ||
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| ・「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x は、 開区間(−∞,０)で連続。 開区間 (０, +∞)で連続。 x=0において不連続。 |
[文献] ・青本『微分と積分1』例1.5.4(p.37):証明なし ・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.2.5(p.114） ・小林昭七『微分積分読本:1変数』第2章-1(p.39)：有理関数一般。証明つき。 |
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※なぜ？ ・y=f(x)=1/x という定義より、０を除くどんな実数aに対しても、f(a)=1/a ・y=f(x)=1/xの極限の性質(1)より、０を除くどんな実数aに対しても、 f(x)→1/a(x→a) ・以上二点より、０を除くどんな実数aに対しても、 f(x)→f(a) (x→a) つまり、 「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x は、０を除くどんな実数aにおいても、連続性の定義を満たす。 したがって、 「０を除く実数全体」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された1変数関数 y=f(x)=1/x は、開区間(−∞,０)および開区間(０, +∞)上の連続関数。 ・y=f(x)=1/xの極限の性質(2)(3)より、 y=f(x)=1/xには、「０における極限」は存在しないので、 y=f(x)=1/xは、x=0において不連続。 |
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| y=1/xの導関数 | ||
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[文献] 青本『微分と積分1』例2.9(p.63) |
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