| 2変数2値ベクトル値関数とその属性：トピック一覧 |
|---|
|
・定義：2変数2値ベクトル値関数 ・定義：2変数2値ベクトル値関数の定義域/像･値/値域/逆像･原像/有界なベクトル値関数 |
|
※関数定義ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般 ※ベクトル値関数に関する諸概念の定義：極限/極限の性質/連続性/偏微分/方向微分/微分 ※2変数2値ベクトル値関数の具体例：一次変換『f :R2⊃D→R2』 ※2変数2値ベクトル値関数の一般化：n変数m値ベクトル値関数 →総目次 |
| 定義：2変数2値ベクトル値関数 | ||
|---|---|---|
| 定義 |
2変数2値ベクトル値関数とは、 「2個の実数の組(x,y)に対して、 2個の実数の組(x',y')を対応づける規則」 「平面R2上の点集合D（定義域）に属す各点にたいして、 平面R2に属す点を対応づける規則」 「平面R2の部分集合Dから、平面R2への、写像」 のこと。 (x',y')＝f (x,y) 、f : D→R2 、f :R2⊃D→R2 などと表す。 |
[文献] ・西村『経済数学早分かり』3章§1.1関数とは(p.105); ・笠原『微分積分学』1.4(pp.22-3)。 ・杉浦『解析入門I』I§6(p.50); ・黒田『微分積分学』8.2.1(p.276):図示の方法; ・髙木『解析概論』84写像(p.302); ・加古『自然科学の基礎としての微積分6.1(p.88); [一般化] ・n変数m値ベクトル値関数 [類概念] ・2変数実数値関数 [下位類型] ・一次変換『f :R2⊃D→R2』 |
|
ベクトル 表現 |
2個の実数の組(x,y)とは、実2次元数ベクトルのこと。 2個の実数の組(x',y')も、実2次元数ベクトルのこと。 だから、 |
|
|
2変数2値ベクトル値関数とは、 「実2次元数ベクトルv=(x,y)にたいして、実2次元数ベクトルw=(x',y')を対応づける規則」 「実2次元数ベクトル空間R2の部分集合D（「定義域」）の各元に対して、実2次元数ベクトル空間R2の元を対応づける規則」 「実2次元数ベクトル空間R2の部分集合Dから、実2次元数ベクトル空間R2への、写像」 などといっても同じ。 w＝f(v) 、f : D→R2 、f :R2⊃D→R2 などと表す。 |
||
|
2変数 実数値 関数 への 還元 |
2変数2値ベクトル値関数 (x',y')＝ f (x,y) は、 2個の2変数関数に還元できる。 つまり、 (x',y')＝ f (x,y) とは、 x'＝f1(x,y) y'＝f2(x,y) という2変数関数f1,f2の組に他ならない。 ここから、2変数2値ベクトル値関数 (x',y')＝ f (x,y)、w＝f(v) を、 (x',y')＝ f (x,y)＝( f1(x,y), f2(x,y) ) w＝f(v)＝( f1(v), f2(v) ) などと表すこともある。 |
|
| 図示 |
2変数2値ベクトル値関数のグラフを、 2変数関数のグラフ同様に描くことは、困難であるが、 《平面上の各点(x,y)を始点、その一次変 換fによる像f(x,y)を終点》とする矢印を、 平面上に描いていくことで、おおよその挙動を把握することはできる。 |
|
| 類概念 | 1変数関数/2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/n変数m値ベクトル値関数/写像一般 | |
| 定義：2変数2値ベクトル値関数の定義域domain | ||
|---|---|---|
|
2変数2値ベクトル値関数「f :R2⊃D→R2」の定義域とは、 点集合Dのこと。 |
[文献] ・黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276); ・笠原『微分積分学』1.4(p.22) |
|
| [一般化] | n変数m値ベクトル値関数の定義域 |
|
| [類概念] | 1変数関数の定義域/ 2変数関数の定義域/n変数関数の定義域/実数関数一般の定義域 |
|
|
→[トピック一覧：2変数2値ベクトル値関数とその属性] →総目次 |
| 定義：2変数2値ベクトル値関数の像・値 | ||
|---|---|---|
|
点 の 像 |
「2変数2値ベクトル値関数f による点P＝(x,y)∈R2の像」f (x,y) 「2変数2値ベクトル値関数f による実2次元数ベクトルv=(x,y)∈R2の像」f(v) 「点P＝(x,y)におけるf の値」f(P) とは、 2変数2値ベクトル値関数f によって 点P＝(x,y)∈R2 ないし 実2次元数ベクトルv=(x,y)∈R2 に対応付けられた 点P'=(x',y')∈R2 ないし 実2次元数ベクトルw=(x',y')∈R2 のこと。 |
[一般化] ・n変数m値ベクトル値関数の像 [下位類型] ・一次写像『f :R2⊃D→R2』の像(Image) [類概念] ・1変数関数の像･値/2変数関数の像･値/n変数関数の像･値/実数値関数一般の像･値/写像の「像」 [文献] ・黒田『微分積分学』3.1.2(p.86；87);8.2.1(p.276); |
|
集合 の像 |
「2変数2値ベクトル値関数fによる『定義域の部分集合A』の像」f (A)とは、 『定義域の部分集合A』に属す点のfによる像を、全部集めて出来る集合のこと。 つまり、f :R2⊃D→R2 、A⊂D⊂R2にたいして、 f (A)={ f (x,y)∈R2| (x,y)∈A } と定義される。 |
|
| 定義：2変数2値ベクトル値関数の値域range | ||
|---|---|---|
|
2変数2値ベクトル値関数「f :R2⊃D→R2」の値域とは、 f による定義域の像 f (D)={ f(x,y)∈R2 | (x,y)∈D⊂R2 } のこと。 |
[文献] ・黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276); ・笠原『微分積分学』1.4(p.22); |
|
| 一般化 | n変数m値ベクトル値関数の値域 | |
| 類概念 | 1変数関数の値域/2変数関数の値域/n変数関数の値域/実数値関数一般の値域 | |
| 定義：2変数2値ベクトル値関数の逆像・原像inverse image | ||
|---|---|---|
|
点の 逆像 |
「点P＝(x,y)∈R2が、 2変数2値ベクトル値関数「f :R2⊃D→R2」による 点P'=(x',y')∈R2の逆像 である」 P＝f －1(P') とは、 点P＝(x,y)のf による像が点P'=(x',y')∈R2であるということ f (P)=P' をいう。 ※点P'=(x',y')∈R2のf による逆像は、R2上に複数存在しうる。 |
[一般化] ・n変数m値ベクトル値関数の逆像 [具体例] ・一次変換『f :R2⊃D→R2』の核(Kernel) [類概念] ・1変数関数の逆像 ・2変数関数の逆像 ・n変数関数の逆像 ・実数値関数一般の逆像 ・写像の「逆像」 [文献] ・黒田『微分積分学』3.1.2(p.86;87) |
|
集合 の 逆像 |
「2変数2値ベクトル値関数『f :R2⊃D→R2』による『R2上の点集合B』の逆像」 f －1 (B) とは、 定義域Dに属す点のうち、その像が『R2上の点集合B』に属すもの全体の集合のこと。 つまり、f :R2⊃D→R2、B⊂R2にたいして、 f －1 (B)＝{ (x,y)∈D⊂R2 | f (x,y)∈B⊂R2} と定義される。 |
|
| 定義：2変数2値ベクトル値関数が有界 | ||
|---|---|---|
| 有界 |
「2変数2値ベクトル値関数『f :R2⊃D→R2』が有界である」とは、 f の値域がR2上の点集合として有界であるということ、 |
[文献] ・Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。 ・杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55); [一般化] ・n変数m値ベクトル値関数の有界 |
|
点集合 で 有界 |
「2変数2値ベクトル値関数『f :R2⊃D→R2』が点集合Aで有界である」とは、 「f による『定義域Dの部分集合A』の像」f (A)がR2上の点集合として有界であるということ。 |
|