数列の極限の例　：　トピック一覧

1.　1/n→0 (n→∞) 　→証明

2.  n
 n 
→1 (n→∞)  →証明 　

3.　an→α (n→∞) のとき、(a1+a2+…+an)/n →α (n→∞)
　　　　　　　　　　　→証明
4.　任意の定数aに対して、an/n! →0 (n→∞) 　→証明

5. 　任意の実数α>1、任意の自然数kに対して、
　　　　an/nk → +∞ (n→∞)　　
　　　　ax/xk → +∞ (x→∞)　　
 　　　→証明
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　1/n→0　　（　n→∞　）


　　　数列の収束・極限値の定義より、
　　　　　an =1/n→0 (n→∞) 　　
　　　とは、すなわち、　{ an }＝{ 1, 1/2, 1/3, 1/4,…, 1/n ,… } について、
 　　　　　任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　ある（十分大きな）自然数Nをとると、
　　　　　　　　| an －0 | = | 1/n －0 | ＜ε　( n ≧N )　※
　　　　　が成り立つ
　　　ということ。
　　　したがって、以下、
　　　任意の正の実数εに対して※式を満たす N∈Nが存在することを示す。
　　　| an －0 | = | 1/n －0 | = 1/n　（nは自然数なので常に正）なので、　
　　　　　※式⇔ 1/n ＜ε　( n ≧N )　
　　　したがって、1/N＜εを満たすＮ∈N、すなわち、N＞1/εが、※式を満たすN∈N。　
　　　では、
　　　正の実数εをどこまでも小さくしていっても、このようなN∈Nは存在するのだろうか。
　　　　アルキメデスの原理により、N∈Nは上に有界ではない。
　　　　ゆえに、1/N＜εの右辺に対して、どんなに小さな正のεがあたえられようとも、
　　　　　　　　　　　これよりも小さく左辺1/Nをしてしまう、
　　　　　　　　　　　大きなNは存在するのである。
　　　　あるいは、N＞1/εの右辺に対して、どんなに小さな正のεが与えられ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　右辺1/εがどんなに大きくなろうとも、
　　　　　　　　　　　これを左辺から凌駕する大きなNは存在するのである。
　　　∴任意の正の実数εに対して※式を満たすN∈Nは存在し、an = 1/n →0 (n→∞)

[黒田『微分積分学』§2.5.2例2.7(p.43);笠原『微分積分学』1.2例１(p.10-11);吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§2(I)(p.6) ]


 
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 n1/n → 1 ( n→∞ )　


  n
 n 
→1 (n→∞)　の証明　

＜設定＞

  n
 n 
　＝1＋hn  とおく。　…（１）

ここで、

  n
 n 
　≧ 1 より、hn ≧ ０　　…（２）　
　　　　　　　　　　　　　　

＜準備作業＞

　n = (1+hn )n   　∵(１)より　
　　≧ 1 + n hn + n (n-1) hn2 ／2　　　
　　　　　　　　　∵(2)より、定理「a＞0ならば、各n∈Nに対して (1+a)n≧1+na+n(n-1)a2／2」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　を適用できる。→証明　
　　　＞ n (n-1) hn2 ／2　　　∵(2)より 1 + n hn≧1　
　　　以上をまとめると、つまり、
　　　　n＞n (n-1) hn2 ／2　　　
　　　　1＞(n-1) hn2 ／2　　　（両辺をn≧1で割った）
　　　　2＞(n-1) hn2 　　　　（両辺に2をかけた）
　　∴　n≧２では、　hn2 ＜ 2／(n-1)　

n≧２では、0 ≦ hn ＜ 
2／(n-1)   　　∵（２）　

　(1)より　 hn ＝  n
 n  －1　なので

　ゆえにn≧２の全てのnについて、

 ０ ≦  n
 n  －1＜

 2／(n-1) 　…（３）
　　　　が成立する。

＜本題＞

　数列の収束・極限値の定義より、

  n
 n 
→1 (n→∞)　
　　　　　　　　
　　　とは、すなわち、

{ an } ＝ ｛ 1 ,  

2
,
3
 3   ,
4
 4
 　,　…　｝　について、

　　　　　任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　ある（十分大きな）自然数Nをとると、
　　　　　　　　　n ≧N ならば、

  | an －1| = |  n
 n 
  －1 | ＜ ε　　※　　
　　　　　が成り立つ
　　　ということ。

　　　任意の正の実数εに対して※式を満たす N∈N が存在することを示す。
    （３）から、n≧２の全てのnについて、

※式左辺が 
2／(n-1)   　を超えることはありえない。

ゆえに、n ≧N ⇒  
2／(n-1)   　＜ ε　となるとき、　※式成立。

したがって、
2／(n-1)   　＜ ε　を満たすような N∈N 、すなわち、Ｎ＞1+2/ε2が※式を満たす N∈N 。
　　　　　
　　　では、正の実数εをどこまでも小さくしていっても、このような N∈N は存在するのだろうか。
　　　　アルキメデスの原理により、 N∈N は上に有界ではない。
　　　　ゆえに、Ｎ＞1+2/ε2の右辺に対して、どんなに小さな正のεがあたえられ、
　　　　　　　　　　　1+2/ε2がどこまでも大きくなったとしても、
　　　　　　　　　　　左辺からこれを凌駕する大きなNは存在する。
  　　　∴任意の正の実数εに対して※式を満たす N∈N は存在し、


 n
 n 
→1 (n→∞)　


 　[吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§2(I)例1(p.6);細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』 3章演習問題3(p.25)]

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　an→α（n→∞）のとき、　(a1+a2+…+an)/n →α　（n→∞）

　an→α (n→∞) のとき、

　　bn=(a1+a2+…+an)/n (n∈N)によって定義される{ bn }が、
　　bn→α (n→∞)

　を満たすことの証明。

【準備】
　　・an→α（　n→∞　）であるので、
　　　　任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　ある（十分大きな）自然数Nをとると、
　　　　| ak －α|＜ε／2　(k＞N)　　　　　　　　　　　　　　…(1)
　　　　が成り立つ。　　　　　　　　　（∵数列の収束の定義）
　　・「(1)を満たすN」よりも大きなnについて、

  ｜bn－α｜　≦　
１
 n 
　
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＋　 
１
 n 
　
n
Σ
k=N+1
 ｜ak－α｜ 　…(2)

　　　　　　　なぜなら、

  ｜bn－α｜　 ＝　
｜
１
 n 
 
n
Σ
k=1
ak　 －α ｜
 　 　∵bn=(a1+a2+…＋an)/n　


　　　　　＝　
｜
１
 n 
 
n
Σ
k=1
ak　－　
１
 n 
 nα ｜ 　


　　　　　＝　
｜
１
 n 
 (
n
Σ
k=1
ak　－ nα　 )
 ｜ 　　∵分配則

　　　　　　　　　　　　　　＝ ｜ ( a1+a2+…+an － nα )/n ｜
　　　　　　　　　　　　　　＝ ｜ ( a1－α+a2－α+…+an －α )/n ｜ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵ － nαを、n個の－αにバラした上で、a1の後ろ、a2の後ろ、…、anの後ろに分散配置。

 　　　　　　＝　
｜
１
 n 
 
n
Σ
k=1
(ak－α)
｜ 　　

　　　　　
　　　　　　≦　
１
 n 
 
n
Σ
k=1
｜ak－α｜ 　　∵　絶対値の性質　|x+y|≦|x|+|y|　　


 　　　　　　　＝　
１
 n 
 
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＋　 
１
 n 
　
n
Σ
k=N+1
 ｜ak－α｜ 　

　・「(1)を満たすN」よりも大きなnについて、


 　
１
 n 
 
n
Σ
k=N+1
 ｜ak－α｜　＜　
１
 n 
 （n－N） 
ε
 2 
 　　∵ (1)


　　　　　　　　　　　　　＜　
ε
 2 
 　　（∵ 0＜(n－N)/n＜1　）　　　…(3)　

【本題】

　　　数列の収束・極限値の定義より、
　　　　bn→α　　（　n→∞　）
　　　とは、すなわち、　
　　　　　任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　ある（十分大きな）自然数N1をとると、
　　　　　　　　| bn －α|＜ε　( n ≧N1 )　※
　　　　　が成り立つ
　　　ということ。
　　　任意の正の実数εに対して※式を満たすN∈Nが存在することを示す。
　　　(2)より、「(1)を満たすN」よりも大きなnについて、

  ｜bn－α｜　≦　
１
 n 
　
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＋　 
１
 n 
　
n
Σ
k=N+1
 ｜ak－α｜ 　
　　　　　　　　　　　　　
　　　となっている。

　　　（3）より、「(1)を満たすN」よりも大きなnについて、


 (2)式右辺第二項　
１
 n 
 
n
Σ
k=N+1
 ｜ak－α｜　＜　
ε
 2 
　となっているので、 


　(2)式右辺第一項　
１
 n 
 
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＜　
ε
 2 
　であるとき、　左辺 ｜ bn －α ｜ ＜ε　は満たされることになる。  

　　　ゆえに、N1≧N、
１
 N1 
 
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＜　
ε
 2 
　⇒　※式成立。  


　　　では、正の実数εをどこまでも小さくしていっても、
１
 N1 
 
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＜　
ε
 2 
　　　…(4) 

　　　を満たすN1は存在するのだろうか。


(4)から、　
2
 ε 
 
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＜　   N1 
　　

　　　アルキメデスの原理により、N∈N は上に有界ではない。

ゆえに、　
2
 ε 
 
N
Σ
k=1
 ｜ak－α｜　＜　   N1 
　の左辺に対して、どんなに小さな正のεがあたえられ、　

　　　2／εがどこまでも大きくなったとしても、
　　　右辺からこれを凌駕する大きなNは存在する。

　　　∴任意の正の実数εに対して※式を満たすN∈Nは存在し、bn→α　（　n→∞　）　

【文献】
　　和達『微分積分』p.12;
　　吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§2(I)例2(pp.6-7);
　　高木『解析概論』p.9;
　　細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理5.6(pp.46-8)


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　任意の定数aに対して、an/n! → 0 (n→∞)　

　  an/n! →0 (n→∞)
　　　※指数関数のマクローリン展開の証明に使われる。

　直感的に把握するために、ざっと状況を読むと…
　　　　　cn= an／n!とする。
　　　　　　cn= { an－1／(n―1)! }×(a/n)=cn－1×a/n　なので、
　　　　　　　|cn|=|cn－1|×|a/n|=|cn－1|×|a|/ n　　∵絶対値の性質　
　　　　　　　　n→∞では、|a|/n→0　　∵1/n→0
　　　　　　これなら、|cn|→０でしょう。

(証明)　[高木・押切『解析Ｉ・微分』p.18。]　　[笠原『微分積分学』1.2問１-ii(p.16)]
　　
  cn= an／n!とする。
  n→∞に至る途中のどこかで、自然数nは「定数aの絶対値の2倍」をこえる。
  この「定数aの絶対値の2倍」をこえた最初の自然数をNと置こう。
　すなわち、N≧2|a| 　　…①　

　n≧ Nを満たす自然数nについて、　


 |cn| ＝ 
|a|n ＝
|a|N  ・
  |a|n-N　  　　∵絶対値の性質

n! N! (N+1)(N+2)…(n-1)n
　　　　　
 
 　 ≦ 
|a|N ・
 |a|n-N  ＝
  |a|N　  ・　(   |a|  ) n-N 

N! Nn-N N!N 　　　∵(N+1)(N+2)…(n-1)n≧Nn-N　と分子が小さくなっているため。
　
 
 　 ≦ 
  |a|N　  ・　( 1 ) n-N 

N!2 　　　　　　　　　　∵①より　 |a|／N ≦1／2　　

　以上から　　　　　　
 
 　0 ≦ |cn| ≦  
  |a|N　  ・　( 1 ) n-N 

N!2 　　　　　　　　

　n→∞で、最右辺→0となるので、いわゆる「はさみうちの原理」から、
　　|cn| →0 (n→∞) 　
　　∴　cn= an/n! →0 (n→∞)  

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5. 　α>1である限りで任意の実数α、任意の自然数kに対して、　
　　　　an/nk →+∞(n→+∞)
　※利用例：以下の事項の証明。
　　　　an/xk →+∞(x→+∞)

　　　　　　　
(証明)　小平邦彦『解析入門I』を参照。　
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(reference)

高木斉・押切源一『解析Ｉ・微分』共立出版株式会社、1995年。
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年 pp. -。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、p.12.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。p.6.
高木貞治『解析概論改訂第3版』岩波書店、1983年、p.9。