数列の極限の例 : トピック一覧1. 1/n→0 (n→∞) →証明
3. an→α (n→∞) のとき、(a1+a2+…+an)/n →α (n→∞) →証明 4. 任意の定数aに対して、an/n! →0 (n→∞) →証明 5. 任意の実数α>1、任意の自然数kに対して、 an/nk → +∞ (n→∞) ax/xk → +∞ (x→∞) →証明 →数列の収束・極限 →総目次 |
→トピック一覧:数列の収束・極限 →総目次 |
n |
n | →1 (n→∞) の証明 |
n |
n | =1+hn とおく。 …(1) |
n |
n | ≧ 1 より、hn ≧ 0 …(2) |
n≧2では、0 ≦ hn < | 2/(n-1) | ∵(2) |
(1)より hn = | n |
n | −1 なので |
0 ≦ | n |
n | −1< | 2/(n-1) | …(3) |
n |
n | →1 (n→∞) |
{ an } = { 1 , | 2 | , | 3 |
3 | , | 4 |
4 |
, … } について、 |
| an −1| = | | n |
n | −1 | < ε ※ |
※式左辺が | 2/(n-1) | を超えることはありえない。 |
ゆえに、n ≧N ⇒ | 2/(n-1) | < ε となるとき、 ※式成立。 |
したがって、 | 2/(n-1) | < ε を満たすような N∈N 、すなわち、N>1+2/ε2が※式を満たす N∈N 。 |
n |
n | →1 (n→∞) |
→トピック一覧:数列の収束・極限 →総目次 |
|bn−α| ≦ |
|
|
|
|ak−α| + |
|
|
|
|ak−α| …(2) |
|bn−α|
= |
| |
|
|
|
ak −α | | |
∵bn=(a1+a2+…+an)/n |
= |
| |
|
|
|
ak − |
|
nα | | |
= |
| |
|
( |
|
ak − nα | ) |
| | ∵分配則 |
= |
| |
|
|
|
(ak−α) |
| |
|
≦ |
|
|
|
|ak−α| | ∵ 絶対値の性質 |x+y|≦|x|+|y| |
= |
|
|
|
|ak−α| + |
|
|
|
|ak−α| |
|
|
|
|ak−α| < |
|
(n−N) |
|
∵ (1) |
< |
|
(∵ 0<(n−N)/n<1 ) …(3) |
|bn−α| ≦ |
|
|
|
|ak−α| + |
|
|
|
|ak−α| |
(2)式右辺第二項 |
|
|
|
|ak−α| < |
|
となっているので、 |
(2)式右辺第一項 |
|
|
|
|ak−α| < |
|
であるとき、 左辺 | bn −α | <ε は満たされることになる。 |
|
|
|
|ak−α| < |
|
⇒ ※式成立。 |
|
|
|
|ak−α| < |
|
…(4) |
(4)から、 |
|
|
|
|ak−α| < | N1 |
ゆえに、 |
|
|
|
|ak−α| < | N1 |
の左辺に対して、どんなに小さな正のεがあたえられ、 |
→トピック一覧:数列の収束・極限 →総目次 |
|cn| = |
|a|n | = |
|a|N | ・ |
|a|n-N | ∵絶対値の性質 | |
n! | N! | (N+1)(N+2)…(n-1)n |
|
≦ |
|a|N | ・ |
|a|n-N | = |
|a|N | ・ | ( | |a| | ) | n-N |
N! | Nn-N | N! | N | ∵(N+1)(N+2)…(n-1)n≧Nn-N と分子が小さくなっているため。 |
|
≦ |
|a|N | ・ | ( | 1 | ) | n-N |
N! | 2 | ∵@より |a|/N ≦1/2 |
|
0 ≦ |cn| ≦ |
|a|N | ・ | ( | 1 | ) | n-N |
N! | 2 |
→トピック一覧:数列の収束・極限 →総目次 |
→トピック一覧:数列の収束・極限 →総目次 |