ベクトル値関数の極限の定義：トピック一覧　　

　　・定義：ベクトル値関数の収束･極限値　
　　・定理：ベクトル値関数の極限の多変数関数の極限への言い換え/ ベクトル値関数の収束と点列の収束の関連　

　※ベクトル値関数の諸概念：ベクトル値関数の定義と諸属性/極限の性質/連続性/偏微分/方向微分/微分　
　※ベクトル値関数の極限の具体例：１変数関数の収束・極限値/2変数関数の収束･極限値/ n変数関数の収束･極限値
　※ベクトル値関数の極限の一般化：距離空間上の関数の収束･極限値　
　→総目次

定義：ベクトル値関数の収束convergence・極限値limit　

→はじめに読むべき定義/ε-δ論法による定義/近傍概念による定義　
cf.１変数関数の収束･極限値/2変数関数の収束･極限値/ n変数関数の収束･極限値/距離空間上の関数の収束･極限値　

はじめに
読むべき
定義

「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　ベクトル値関数 (y1 , y2 , … , ym )=f ( x1 ,x2 , … , xn ) が、点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、
　ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (x1,x2,…,xn)の極限は、点B(b1,b2,…,bm)である」
　　f ( x1 , x2 ,…, xn )→(b1,b2,…,bm) ( x1→a1 , x2→a2 ,… ,xn→an )　
　　　　　　
　　　
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたとき、
　ベクトル値関数 f ( P ) が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたときの、
　ベクトル値関数 f ( P ) の極限は、 m次元空間Rm上の点Bである」
　　　　　f ( P )→B ( P → A )　　
　　　　　　　　
とは、
点P(x1,x2,…,xn)を、点A(a1,a2,…,an)と一致させることなく点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
点P(x1,x2,…,xn)の点A(a1,a2,…,an)への接近経路にかかわらず、
ベクトル値関数 (y1 ,y2 , …, ym )= f ( x1 , x2 ,…,xn )の値(y1 ,y2 , …, ym )が
同じ１つの点B(b1,b2,…,bm)に近づくことをいう。

※留意点　　
　　　(1)極限の定義において、点Pと点Aが一致することは除外している。　　
　　　　　点Aがベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の定義域に含まれているとは限らない。　
　　　(2) 点Pの点Aへの接近経路によって、
　　　　　ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が近づく値が異なるときには、
　　　　　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　　　　　　　ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が点B(b1,b2,…,bm)に収束しない」
　　　　　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　　　　　　　ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)に極限値は存在しない」という。　
※この定義は一見わかりやすい。
　ところが、「近づく」とはいかなる事態を指すのか、という点が、
　明らかにされておらず、
　この「収束」「極限」定義は、実のところは不正確で、
　証明での使用に耐えられない。
　そこで、
　「近づく」の意味を明確化するために、
　「収束」「極限」概念は、次のように厳密に定義される。　

→「ベクトル値関数の収束・極限の定義」先頭

厳密な
定義：
ε-δ
　論法

「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたとき、
　　　ベクトル値関数f (P)が m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたときの、
　　　ベクトル値関数f (P)の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
　　　　　f ( P )→B ( P → A )　　
　　　　　　　　
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　　ベクトル値関数 f (x1,x2,…,xn)が点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの
　　　ベクトル値関数 f (x1,x2,…,xn)の極限は点B(b1,b2,…,bm)である」
　　　　f ( x1 , x2 ,…, xn )→(b1,b2,…,bm) ( x1→a1 , x2→a2 ,… ,xn→an )　
　　
とは、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
　　０＜dn( P, A )＜δ ⇒ dm ( f (P), B )＜ε　　　
が成り立つ
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rn ）（０＜dn ( P, A )＜δ⇒dm ( f (P), B )＜ε ）　
となる。
＊dn ( P, A )は、 n次元空間Rn上での点P(x1,x2,…,xn)と点A(a1,a2,…,an)との距離を、
　dm ( f (P), B )は、 m次元空間Rm上のf (P)と点B(b1,b2,…,bm)との距離を表す。　

[文献]
杉浦
『解析入門I』
I§6定義2-3(pp.51-2);
黒田
『微分積分学』
定義8.6(p.277);

※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間Rn, Rmにおける極限概念　　　　　
ベクトル値関数(f1 (x1,x2,…,xn),f2 (x1,x2,…,xn),…,fm (x1,x2,…,xn)) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)について、
収束・極限を扱う際には、
特別な目的がない限り、
 n次元空間Rn上の距離をユークリッド距離で定めて、 n次元空間Rnをユークリッド空間Rnとし、　
 m次元空間Rmの上の距離をユークリッド距離で定めて、 m次元空間Rmををユークリッド空間Rmとする、
設定のもとで考えるのが普通。　
この設定下では、
　　
　　
だから、
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　ベクトル値関数( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) , … , fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn)が点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、
　ベクトル値関数( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) , … , fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn)の極限は点B(b1,b2,…,bm)である」
「f ( x1 , x2 ,…, xn )→(b1,b2,…,bm) ( x1→a1 , x2→a2 ,… ,xn→an )」
の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　「　
　　｜　　　　ならば 　
　　｜　　　　」
　　└を成り立たせる
　(∀ε>０) (∃δ>０) (∀x1,x2,…,xn∈R)
　　　　　　　　 (
　　　　　　　　　　⇒　　
　　　　　　　　　　　　)　
となる。

※n次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間R2における極限概念　　　　　
・ n次元空間Rnに
　ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖nが定義されており、
　 n次元空間Rnを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　任意の実n次元数ベクトルx, y∈Rnのユークリッド距離は‖x−y‖n　と表せる。
　このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rnのもとでは、　
　dn( P, A )＝‖P−A‖n　　　
・ m次元空間Rmに
　ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖mが定義されており、
　 m次元空間Rmを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　任意の実m次元数ベクトルx', y'∈Rmのユークリッド距離は‖x−y‖m　と表せる。
　このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rmのもとでは、　
　dm( f (P), B )＝‖f (P)−B‖m　　　
・したがって、
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたとき、ベクトル値関数f (P) が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたときの、ベクトル値関数f (P) の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
「　f ( P )→B ( P → A )　」　
の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　「　０＜‖P−A‖n＜δ　ならば 　‖f (P)−B‖m＜ε　」　
　　｜　　　　　　　　　　
　　└を成り立たせる
　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rn ）（０＜‖P−A‖n＜δ⇒‖ f (P)−B‖m＜ε ）　
と表せる。　　　
　ただし、上記のPは、「点P(x1,x2,…,xn)」を表す実n次元数ベクトル(x1,x2,…,xn)、
　　　　　上記のAは、「点A(a1,a2,…,an)」を表す実n次元数ベクトル(a1,a2,…,an)、
　　　　　上記のBは、「点B(b1,b2,…,bn)」を表す実m次元数ベクトル(b1,b2,…,bn)
　である。　　　

→「ベクトル値関数の収束・極限の定義」先頭

近傍を
用いた
定義

「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が、
　 m次元空間Rm上の点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、
　ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の極限は
　 m次元空間Rm上の点B(b1,b2,…,bm)である」
　　　　　　
　　　
　　　
とは、
　点Bの任意の「Rm上のε近傍 Uε(B)」に対して（でも）、
　ある「Rn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)」が存在して、
　　　　　f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε(B)　
　を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δが存在して、
　　　　　　　　「　f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε(B)　　」
　　　　すなわち「　P∈ U*δ(A) ならば、　f (P) ∈Uε(B)　」
　を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀Uε(B)）（∃ U*δ(A) ）（ f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε(B) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε(B) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rn ）（ P∈ U*δ(A) ⇒ f (P) ∈Uε(B)）　
となる。

[文献]

※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間Rnにおける極限概念　　　　　
　ベクトル値関数f (P) について、
　収束・極限を扱う際には、
　特別な目的がない限り、
　 n次元空間Rn上の距離をユークリッド距離で定めて、 n次元空間Rnをユークリッド空間Rnとし、　
　実数体Rの距離をユークリッド距離で定めて、Rを1次元ユークリッド空間Rとする、
　設定のもとで考えるのが普通。　
　この設定のもとでは、
　点A(a1,a2,…,an)の「Rn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)」は、
　　　　　　
　点B(b1,b2,…,bn)の「Rm上のε近傍 Uε(B)」は、
　　　　
　だから、
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたとき、ベクトル値関数f (P) が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたときの、ベクトル値関数f (P) の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
「　f ( P )→B ( P → A )　」　
　の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　　
　　｜　　　　ならば
　　｜　　　　　　　
　　└を成り立たせる
　となる。

※n次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間Rnにおける極限概念　　
・ n次元空間Rnに
　ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖nが定義されており、
　 n次元空間Rnを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　任意の実n次元数ベクトルx, y∈Rnのユークリッド距離は‖x−y‖n　と表せる。
　このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rnのもとでは、　
　点A(a1,a2,…,an)の「Rn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)」は、U*δ(A)＝{ Q∈Rn | ０＜‖Q−A‖＜ε }　
・ m次元空間Rmに
　ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖mが定義されており、
　 m次元空間Rmを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　任意の実m次元数ベクトルx', y'∈Rmのユークリッド距離は‖x−y‖m　と表せる。
　このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rmのもとでは、　
　点B(b1,b2,…,bn)の「Rm上のε近傍 Uε(B)」は、Uε(B)＝{ Q∈Rm | ‖Q−B‖＜ε }　
・だから、
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたとき、ベクトル値関数f (P) が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「 n次元空間Rn上の点Pを点Aに近づけたときの、ベクトル値関数f (P) の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
「　f ( P )→B ( P → A )　」　
　の定義は、
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　P∈U*δ(A)＝{ Q∈Rn | ０＜‖Q−A‖＜δ }　
　　｜　　　ならば 　　
　　｜　　　f (P) ∈Uε(B)＝{ Q∈Rm | ‖Q−B‖＜ε }　　
　　└を成り立たせる
　と表せる。　　　
　ただし、上記のPは、「点P(x1,x2,…,xn)」を表す実n次元数ベクトル(x1,x2,…,xn)、
　　　　　上記のAは、「点A(a1,a2,…,an)」を表す実n次元数ベクトル(a1,a2,…,an)、
　　　　　上記のBは、「点B(b1,b2,…,bn)」を表す実m次元数ベクトル(b1,b2,…,bn)
　である。　　　

→[トピック一覧:ベクトル値関数の極限の性質]
→総目次

定理：「ベクトル値関数の極限」の「n変数関数の極限」への言い換え

定理

次の命題Pと命題Qは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q。

命題P：
　　点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　ベクトル値関数 ( y1 ,y2 , …, ym )=f ( x1 , x2 , … , xn )が、
　　点B(b1,b2,…,bm)に収束する。
　　すなわち、f (x1,x2,…,xn)→(b1,b2,…,bm) ( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )

命題Q：ベクトル値関数 　( y1 ,y2 , …, ym )=f ( x1 , x2 , … , xn )を、
　　　　 m個の n変数関数の組
　　　　　　 y1 = f1 ( x1 , x2 , … , xn )
　　　　　　 y2 = f2 ( x1 , x2 , … , xn )
　　　　　　　：　
　　　　　　 ym =fm ( x1 , x2 , … , xn )　
　　　　として表したときに、　　
　　　　　f1 (x1,x2,…,xn)→b1　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )　　
　　　　　かつ
　　　　　f2 (x1,x2,…,xn)→b2　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )　　
　　　　　かつ
　　　　　：
　　　　　かつ
　　　　　fm (x1,x2,…,xn)→bm　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )　　
　　　　が満たされる。


[文献]
杉浦『解析入門I』I章§6定理6.8-1(p.59);
杉浦『解析演習』I章§2要綱2.16(p.11);

[活用例]
ベクトル値関数の連続性の
多変数関数の連続性への言い換え　

証明

証明は、杉浦『解析入門I』I章§6定理6.8-1(p.59)参照。

 　
　 　 　
→[トピック一覧:ベクトル値関数の極限の性質]
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定理：ベクトル値関数の収束の、点列の収束への言い換え　
　

具体例：1変数関数の収束の、数列の収束への言い換え/ 2変数関数の収束の、点列･数列の収束への言い換え
　　　　 n変数関数の収束の、点列･数列の収束への言い換え　
一般化：距離空間の間の写像の収束の、点列の収束への言い換え　

定理1

次の命題P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q⇔命題R。
命題P：
点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
ベクトル値関数 f (P) = f (x1,x2,…,xn)が、
 m次元空間Rm上の点B(b1,b2,…,bm)に収束する」　
これを記号で表すと、
　　・f ( P )→B ( P → A )　
　　・f (x1,x2,…,xn)→(b1,b2,…,bm) ( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )
　　　　
　など。　

[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53):証明付;

命題Q：
どんなRn上の点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}についてであれ、
　1. その点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}が点A(a1,a2,…,an)に収束し、
　かつ 　
　2. その点列の各項 P1 , P2 , P3 , … がどれも点Aと一致しない　
　限り、　
　その点列の各項 P1 , P2 , P3 , …をベクトル値関数f によりRm上に写した像の点列　
　　　　{ f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
　は点B(b1,b2,…,bm)に収束する。
　つまり、
　　任意のRn上の点列{ PI }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}について、
　　　Pi→A (i→∞) かつ　P1≠A , P2≠A , P3≠A ,…ならば、f ( Pi )→B (i→∞)　　
　論理記号で表すと、
　　　（∀{ Pi }）（（ Pi→A (i→∞)かつ(∀i) ( Pi ≠A) ）⇒ f ( Pi )→B (i→∞) ）

命題R：
いかなる
　　「実数a1に収束する数列{ x11 , x21 , x31 ,…}」（ただし、x11≠a1 , x21≠a1 , x31≠a1 ,… ）
　　「実数a2に収束する数列{ x12 , x22 , x32 ,…}」（ただし、x12≠a2 , x22≠a2 , x32≠a2 ,… ）
　　　　　：　
　　「実数anに収束する数列{ x1n , x2n , x3n ,…}」（ただし、x1n ≠an , x2n ≠an , x3n ≠an ,… ）
に対しても、
点列 { f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
が点B(b1,b2,…,bm)に収束する。
つまり、
（∀ { xi1 } ,{ xi2 }, …, { xin } ）
　（（(∀i) (xi1≠a1かつxi2≠a2かつ…かつxin≠an)かつxi1→a1 (i→∞)かつxi2→a2 (i→∞)かつ…かつxin→an (i→∞)）
　　　　　　　　　⇒ f ( xi1,xi2,…,xin ) →B (i→∞)）
※なぜ？
　・「命題P⇒命題Q」となるわけ→[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53)]　
　・「命題Q⇒命題P」となるわけ→[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53)]　　
　・「命題Q⇔命題R」となるのは、点列の収束と数列の収束の関係による。　

定理2

次の命題P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q⇔命題R。
命題P：
点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
ベクトル値関数 f (P) = f (x1,x2,…,xn)が収束する」　
すなわち、
　　　　
が存在する
　　※極限値の値をだしていないことに注意。

　

[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.2系(p.54):証明付

命題Q：
どんなRn上の点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}についてであれ、
　1. その点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}が点A(a1,a2,…,an)に収束し、
　かつ 　
　2. その点列の各項 P1 , P2 , P3 , … がどれも点Aと一致しない　
　限り、　
　その点列の各項 P1 , P2 , P3 , …をベクトル値関数f によりRm上に写した像の点列　
　　　　{ f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
　が収束する。
　論理記号で表すと、
　　　（∀{ Pi }）（（ Pi→A (i→∞)かつ(∀i) ( Pi ≠A) ）⇒ が存在する）
　　※極限値の値をだしていないことに注意。

命題R：
いかなる
　　　　「収束数列{ x11 , x21 , x31 ,…}」（ただし、x11≠a1 , x21≠a1 , x31≠a1 ,… ）
　　　　「収束数列{ x12 , x22 , x32 ,…}」（ただし、x12≠a2 , x22≠a2 , x32≠a2 ,… ）
　　　　　　　：　
　　　　「収束数列{ x1n , x2n , x3n ,…}」（ただし、x1n ≠an , x2n ≠an , x3n ≠an ,… ）　　　
に対しても、
点列 { f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
が収束する。

活用例

コーシーの判定法

→[トピック一覧:ベクトル値関数の極限の性質]
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