ベクトル値連続関数と有界閉集合･連結：トピック一覧　　

　・有界閉集合上の性質：連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/
　　　　　　　　　　　　関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続　
　・連結な集合上の性質：連続関数の連結不変性　　　

　※ベクトル値関数の諸概念：ベクトル値関数の定義と諸属性/極限の性質/連続性の定義/　
　※ベクトル値関数の連続性の具体例：1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性/　
　※ベクトル値関数の連続性の一般化：距離空間上の写像/位相空間上の写像　
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定理：ベクトル値連続関数による有界閉集合の像は、有界閉集合

要旨

「Rⁿ上の有界な閉集合」Dで連続なベクトル値関数によるDの像は「R^m上の有界な閉集合」。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上でなされる。
Step1： n次元空間Rⁿ 、m次元空間R^mを用意する。
　　　* n次元空間Rⁿとは、
　　　　実数をn個並べた組 (x₁,x₂,…,x_n ) をすべてあつめた集合。
　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　* m次元空間R^mとは、
　　　　実数をm個並べた組 (y₁,y₂,…,y_m ) をすべてあつめた集合。
　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2-1： n次元空間Rⁿにユークリッド距離d_nを定めて、
　　　　　　　　　　ユークリッド空間(Rⁿ,d_n)を設定。
Step2-2： m次元空間R^mにユークリッド距離d_mを定めて、
　　　　　　　　　　ユークリッド空間(R^m,d_n)を設定。
Step3： n次元空間Rⁿ上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rⁿ」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。
Step4： n次元空間Rⁿの点集合D上の各点Pにたいして
　　　　 m次元空間R^m上の点を対応づける
　　　　ベクトル値関数fを用意。
　　　つまり、
　　　　f : D→R^m （D⊂Rⁿ ）
　　　ないし
　　　( f₁ (x₁,x₂,…,x_n), f₂ (x₁,x₂,…,x_n) ,…, f_m (x₁,x₂,…,x_n))= f (x₁,x₂,…,x_n)
　　　*fは
　　　「Dに属す各実n次元数ベクトルから
　　　　実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step5：「 n次元空間Rⁿの点集合D」に属す点を、
　　　　　　P= (x₁,x₂,…,x_n )と名づける。
　　　　　　つまり、「P∈D⊂Rⁿ」　　
　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。

[活用例]
・「有界閉集合で連続なベクトル値関数は有界」の証明

[具体例]1変数関数のケース/2変数関数のケース/ n変数関数のケース
[一般化]距離空間のあいだの写像のケース

[文献]
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』3.4.19 (p.90)
杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付;
ルディン『現代解析学』4.14(p.87)距離空間一般上。

定理

命題P
　「ベクトル値関数fが、Rⁿ上の点集合Dで連続である」
が成り立ち、
かつ
命題Q
　「Rⁿ上の点集合Dが有界な閉集合である」
が成り立つ
ならば、
命題R
　「ベクトル値関数f による点集合Dの像 f (D)が
　　　　R^m上の点集合として有界な閉集合である」
が成り立つ。

[予備情報]
・命題Q「Rⁿ上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「Rⁿ上の点集合Dが点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　
・命題R「ベクトル値関数f による点集合Dの像 f (D)が
　　　　　　　　R^m上の点集合として有界な閉集合」
　⇔命題R'「ベクトル値関数fによる点集合Dの像 f (D)が
　　　　　　　　　　　　　　R^m上点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　　

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定理：有界閉集合で連続なベクトル値関数は有界

要旨

「Rⁿ上の有界な閉集合」Dで連続なベクトル値関数はDで有界。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上でなされる。
Step1： n次元空間Rⁿ、 m次元空間R^mを用意する。
　　　　* n次元空間Rⁿとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x₁,x₂,…,x_n ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間R^mとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y₁,y₂,…,y_m ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2-1： n次元空間Rⁿにユークリッド距離d_nを定めて、
　　　　　　　　　　ユークリッド空間(Rⁿ,d_n)を設定。
Step2-2： m次元空間R^mにユークリッド距離d_mを定めて、
　　　　　　　　　　ユークリッド空間(R^m,d_n)を設定。
Step3： n次元空間Rⁿ上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rⁿ」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。
Step4： n次元空間Rⁿの点集合D上の各点Pにたいして
　　　　 m次元空間R^m上の点を対応づける
　　　　ベクトル値関数fを用意。
　　　つまり、
　　　　f : D→R^m （D⊂Rⁿ ）
　　　ないし
　　　( f₁ (x₁,x₂,…,x_n), f₂ (x₁,x₂,…,x_n) ,…, f_m (x₁,x₂,…,x_n))= f (x₁,x₂,…,x_n)
　　　*fは
　　　「Dに属す各実n次元数ベクトルから
　　　　実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step5：「 n次元空間Rⁿの点集合D」に属す点を、
　　　　　　P= (x₁,x₂,…,x_n )と名づける。
　　　　　　つまり、「P∈D⊂Rⁿ」　　
　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。

[具体例]　
　1変数関数のケース/2変数関数のケース/ n変数関数のケース
[一般化]距離空間のあいだの写像のケース　

[文献]
��木『解析概論』定理13(p.26);
小平『解析入門�U』定理6.3(p.263):証明付;
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160.
杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付;
ルディン『現代解析学』4.15(p.87)距離空間一般上。

定理

命題P
　「ベクトル値関数fが、Rⁿ上の点集合Dで連続である」
が成り立ち、
かつ
命題Q
　「Rⁿ上の点集合Dが有界な閉集合である」
が成り立つ
ならば、
命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」
が成り立つ。

[予備情報]
・命題Q「Rⁿ上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「Rⁿ上の点集合Dが点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　
・命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」
　⇔命題R'「『ベクトル値関数f による点集合Dの像』f (D)
　　　　　　が、R^m上の点集合として有界」
　　　　　　（∵有界関数の定義）　

証明

・定理より、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』 f (D)は、R^m上の点集合として有界な閉集合」。
　つまり、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、R^m上の有界な点集合」。
・有界関数の定義より、
　「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」とは、
　「『f による点集合Dの像』f (D)が、R^m上の有界な点集合である」の意。
・以上2点から、命題Pかつ命題Qならば、命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」が成り立つといえる。

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ハイネの定理：有界閉集合上連続な関数はそこで一様連続

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上でなされる。
Step1： n次元空間Rⁿ、 m次元空間R^mを用意する。
　　　　* n次元空間Rⁿとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x₁,x₂,…,x_n ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間R^mとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y₁,y₂,…,y_m ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2-1： n次元空間Rⁿにユークリッド距離d_nを定めて、
　　　　　　　　　　ユークリッド空間(Rⁿ,d_n)を設定。
Step2-2： m次元空間R^mにユークリッド距離d_mを定めて、
　　　　　　　　　　ユークリッド空間(R^m,d_n)を設定。
Step3： n次元空間Rⁿ上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rⁿ」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。
Step4： n次元空間Rⁿの点集合D上の各点Pにたいして
　　　　 m次元空間R^m上の点を対応づける
　　　　ベクトル値関数fを用意。
　　　つまり、
　　　　f : D→R^m （D⊂Rⁿ ）
　　　ないし
　　　( f₁ (x₁,x₂,…,x_n), f₂ (x₁,x₂,…,x_n) ,…, f_m (x₁,x₂,…,x_n))= f (x₁,x₂,…,x_n)
　　　*fは
　　　「Dに属す各実n次元数ベクトルから
　　　　実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step5：「 n次元空間Rⁿの点集合D」に属す点を、
　　　　　　P= (x₁,x₂,…,x_n )と名づける。
　　　　　　つまり、「P∈D⊂Rⁿ」　　
　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。

cf.D上で連続：δが各A∈D毎にちがっていてもよい。
[文献]
黒田『微分積分学』定理8.6(p.279);
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』3.4.18 (p.90)
杉浦『解析入門I』�W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226):ベクトル値関数一般･証明付;
ルディン『現代解析学』4.19(p.88):距離空間一般上:証明付。
加古『自然科学の基礎としての微積分』定理6.2(p.92);

定理

命題P「ベクトル値関数fが、Rⁿ上の点集合Dで連続」
　が成り立ち、
かつ
命題Q「Rⁿ上の点集合Dが有界な閉集合である」
　が成り立つ
ならば、
命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで一様連続」

[予備情報]
命題Q「Rⁿ上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「Rⁿ上の点集合Dが点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　

証明

2変数関数に限定：小平『解析入門�U』定理6.2(p.262)
n変数関数一般：
ベクトル値関数一般：杉浦『解析入門I』�W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226)
距離空間から距離空間への関数一般：ルディン『現代解析学』4.19(p.88)

※

関連事項：点での連続性、D上で連続 / 1変数関数の一様連続性　
Cf．D上で連続：δが各A∈D毎にちがっていてもよい。

定理：ベクトル値連続関数の連結不変性

要旨

連結な点集合を連続なベクトル値関数で写した像は連結。

舞台設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1： n次元空間Rⁿ、 m次元空間R^mを用意する。
　　　　* n次元空間Rⁿとは、
　　　　実数をn個並べた組 (x₁,x₂,…,x_n ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間R^mとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y₁,y₂,…,y_m ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rⁿに距離d_nを定めて、距離空間(Rⁿ,d_n)を設定。
　　　　*普通は、 n次元空間Rⁿにユークリッド距離を与えた
　　　　　　　　　　　　　　　　　ユークリッド空間を考える。
　　　 m次元空間R^mに距離d_mを定めて、距離空間(R^m,d_m)を設定。
　　　　*普通は、 m次元空間R^mにユークリッド距離を与えた
　　　　　　　　　　　　　　　　　ユークリッド空間を考える。　　
Step3： n次元空間Rⁿ上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rⁿ」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。
Step4： n次元空間Rⁿの点集合D上の各点Pにたいして
　　　　 m次元空間R^m上の点を対応づける
　　　　ベクトル値関数fを用意。
　　　つまり、
　　　　f : D→R^m （D⊂Rⁿ ）
　　　ないし
　　　( f₁ (x₁,x₂,…,x_n), f₂ (x₁,x₂,…,x_n) ,…, f_m (x₁,x₂,…,x_n))= f (x₁,x₂,…,x_n)
　　　*fは
　　　「Dに属す各実n次元数ベクトルから
　　　　実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step5：「 n次元空間Rⁿの点集合D」に属す点を、
　　　　　　P= (x₁,x₂,…,x_n )と名づける。
　　　　　　つまり、「P∈D⊂Rⁿ」　　
　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。

[具体例]
1変数関数の中間値定理/2変数関数の中間値定理/ n変数関数の中間値定理　

[文献]
杉浦『解析入門I』�T章§8問題5(p.79):ベクトル値関数一般;
ルディン『現代解析学』4.22(p.91):証明付。
矢野『距離空間と位相構造』定理5.5(p.168):位相空間間の写像で。
松坂『集合・位相入門』5章§1定理1(p.196):位相空間間の写像で。
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』5.3.4 (p.161):位相空間間の写像で;

定理

命題P「ベクトル値関数fが、Rⁿ上の点集合Dで連続」
かつ
命題Q「Rⁿ上の点集合Dが連結」
ならば、
命題R「『ベクトル値関数f による点集合Dの像』 f (D)は連結」