n変数関数のテイラーの定理 ― トピック一覧
[数学についてのwebノート] |
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定理:1階のテイラーの定理/2階のテイラーの定理・一次の近似多項式/3階のテイラーの定理・二次の近似多項式/m階のテイラーの定理(一般形) 定理:n変数関数の2次テイラー展開・2次多項式近似の剰余項の評価/n変数関数のm次テイラー展開・m次多項式近似の剰余項の評価 |
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※テイラーの定理関連ページ:1変数関数のテイラーの定理/テイラー展開・マクローリン展開/2変数関数のテイラーの定理 →総目次 |
定理:n変数関数の1階のテイラーの定理(平均値の定理) |
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[文献] ・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.4(p.232).1次の項・二次の項までの展開 ※対照せよ→2変数関数の平均値の定理(1階のテイラーの定理) |
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行列・ベクトル・Σを用いない表現 | ||
設定 |
n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC1級とする。 | |
本題 |
f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * ![]() を、剰余項と呼ぶ。 |
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Σの表現 | ||
設定 | n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC1級とする。 | |
本題 | f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * ![]() を、剰余項と呼ぶ。 |
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ベクトル表現 | ||
設定
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x,a,h:実n次元数ベクトル つまり、x=(x1, x2, x3, …, xn) a=(a1, a2, a3, …, an) h=(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数 つまり、f :Rn⊃D→R n変数実数値関数y=f (x)をC1級とする。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル |
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本題
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(表現1) f (a+h)= f (a) + grad f (a+θh) ・h を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * grad f (a+θh) ・h を、剰余項と呼ぶ。 (表現2) f (x)= f (a) + grad f (a+θ(x-a)) ・(x-a) を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * grad f (a+θ(x-a)) ・(x-a) を、剰余項と呼ぶ。 |
→[トピック一覧:多変数関数のテイラーの定理] →総目次 |
定理:n変数関数の2階のテイラーの定理・一次の近似多項式 |
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→[行列・ベクトル・Σを使わない表現/Σの表現/ベクトル行列表現/2次形式] | [文献] ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2( ※活用例:極値問題―2階十分条件 ※対照→2変数関数の2階のテイラーの定理・1次近似多項式 |
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行列・ベクトル・Σを用いない表現 | ||
設定 |
n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。 |
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本題
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f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+ ![]() + ![]() ![]() ![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f (a1,a2,…,an)+ ![]() を、 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() ![]() ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 [→2階のテイラーの定理冒頭] |
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Σの表現 | [文献] ・松坂『解析入門3』14.2-C-定理2(p.155):一般;14.3-C(pp.167-171):ヘッセ行列が定める二次形式を用いた表現。 ・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。 ・杉浦『解析入門』定理7.2(p.147):一般 ・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列が定める二次形式の活用。 ・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.4(p.232).1次の項・二次の項までの展開。括弧の前の上についている記号は、転置記号。 ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2(p.120) |
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設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。 | |
本題
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f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+![]() + ![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f (a1,a2,…,an)+ ![]() を、 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 [→2階のテイラーの定理冒頭] |
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ベクトル・行列表現 | ||
設定
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x,a,h :実n次元数ベクトル(縦ベクトル) つまり、x=t(x1, x2, x3, …, xn) a=t(a1, a2, a3, …, an) h=t(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル Hf(〜) :〜におけるfのヘッセ行列 |
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本題
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f (a+h)= f (a) + grad f (a) h + (1/2) th Hf(a+θh)h を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f(a)+grad f (a)h を、 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 (1/2) th Hf(a+θh)h を、その剰余項と呼ぶ。 [→2階のテイラーの定理冒頭] |
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ベクトル・行列・2次形式を用いた表現 | ||
設定
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x,a,h :実n次元数ベクトル つまり、x=t(x1, x2, x3, …, xn) a=t(a1, a2, a3, …, an) h=t(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル Hf(〜) :〜におけるfのヘッセ行列 Hf(〜) [h] :「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まる h=t(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式 |
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本題
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f (a+h)= f (a) + grad f (a) h + (1/2) Hf(a+θh) [h] を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f(a)+grad f (a)h を、 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」 「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 (1/2) Hf(a+θh) [h] を、その剰余項と呼ぶ。 [→2階のテイラーの定理冒頭] |
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→[トピック一覧:多変数関数のテイラーの定理] →総目次 |
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定理:n変数関数の3階のテイラーの定理・2次近似多項式 |
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→[行列・ベクトル・Σを使わない表現/Σの表現/ベクトル行列表現/2次形式] | ※対照→2変数関数の3階のテイラーの定理・2次近似多項式 |
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行列・ベクトル・Σを用いない表現 | ||
設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC3級とする。 |
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本題
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f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+![]() + ![]() ![]() ![]() + ![]() ![]() : ![]() ![]() ![]() : ![]() ![]() ![]() : ![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f (a1,a2,…,an)+ ![]() + ![]() ![]() ![]() を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() ![]() : ![]() ![]() ![]() : ![]() ![]() ![]() : ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 [→3階のテイラー定理冒頭] |
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Σの表現 | [文献] ・松坂『解析入門3』14.2-C-定理2(p.155):一般;14.3-C(pp.167-171):ヘッセ行列が定める二次形式を用いた表現。 ・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。 ・杉浦『解析入門』定理7.2(p.147):一般 ・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列が定める二次形式の活用。 ・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.4(p.232).1次の項・二次の項までの展開。括弧の前の上についている記号は、転置記号。 ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2(p.120) |
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設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC3級とする。 | |
本題 | f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+![]() + ![]() + ![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f (a1,a2,…,an)+ ![]() ![]() を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 [→3階のテイラー定理冒頭] |
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ベクトル・行列表現 | ||
設定
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x,a,h :実n次元数ベクトル(縦ベクトル) つまり、x=t(x1, x2, x3, …, xn) a=t(a1, a2, a3, …, an) h=t(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC3級とする。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル Hf(〜) :〜におけるfのヘッセ行列 |
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本題 | f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)th Hf(a)h +![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f(a)+grad f (a)h+(1/2)th Hf(a)h を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 [→3階のテイラー定理冒頭] |
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ベクトル・行列・2次形式を用いた表現 | ||
設定
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x,a,h :実n次元数ベクトル つまり、x=t(x1, x2, x3, …, xn) a=t(a1, a2, a3, …, an) h=t(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC3級とする。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル Hf(〜) :〜におけるfのヘッセ行列 Hf(〜) [h] :「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まるh=t(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式 |
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本題 | f(a+h)= f(a)+grad f (a)h+(1/2)Hf(a)[h]+![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f(a)+grad f (a)h+(1/2)Hf(a)[h] を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 [→3階のテイラー定理冒頭] |
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→[トピック一覧:多変数関数のテイラーの定理] →総目次 |
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定理:n変数関数の2次テイラー展開・2次多項式近似の剰余項の評価 |
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要旨 | (a1,a2,…,an)におけるfの2次近似多項式の剰余項は、 (a1,a2,…,an)までの距離の2乗より、高位の無限小。 |
[文献] ・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列の活用。 ・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.5(p.234). ※活用例:極値問題―2階十分条件 ※対照→2変数関数の2次テイラー展開 |
行列・ベクトル・Σを用いない表現 | ||
設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。 | |
本題 | f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an) + ![]() + ![]() ![]() : … ![]() +o(‖(h1,h2,…,hn)‖2) (‖(h1,h2,…,hn)‖→0) これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。 f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an) + ![]() + ![]() ![]() … : … ![]() +R3 とおくと、 (1) R3 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) かつ (2) ‖(h1,h2,…,hn)‖2 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) かつ (3) R3 / ‖(h1,h2,…,hn)‖2 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない] |
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勾配ベクトル・ヘッセ行列・2次形式を用いた表現 | ||
設定
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f (x1,x2,…,xn):n変数実数値関数。C2級。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル Hf(〜) :〜におけるfのヘッセ行列 Hf(〜) [h1,h2,…,hn] :「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まる(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式 |
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本題 | f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an) + gradf(a1,a2,…,an)・(h1, h2, h3, …, hn) +(1/2)Hf(a1,a2,…,an)[h1,h2,…,hn]+o(‖(h1,h2,…,hn)‖2) (‖(h1,h2,…,hn)‖→0) これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。 f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+gradf(a1,a2,…,an)・(h1, h2, h3, …, hn)+(1/2)Hf(a1,a2,…,an)[h1,h2,…,hn]+R3 とおくと、 (1) R3 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) かつ (2) ‖(h1,h2,…,hn)‖2 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) かつ (3) R3 / ‖(h1,h2,…,hn)‖2 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) が満たされる |
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Σの表現 | ||
設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。 | |
本題 | f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+![]() ![]() これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。 f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+ ![]() ![]() とおくと、 (1) R3 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) かつ (2) ‖(h1,h2,…,hn)‖2 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) かつ (3) R3 / ‖(h1,h2,…,hn)‖2 → 0 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ 0 ) が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない] |
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ベクトル・行列表現 | ||
設定
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x,a,h :実n次元数ベクトル(縦ベクトル) つまり、x=t(x1, x2, x3, …, xn) a=t(a1, a2, a3, …, an) h=t(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル Hf(〜) :〜におけるfのヘッセ行列 |
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本題 | f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)th Hf(a)h +o(‖h‖2) (‖h‖→0) これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。 f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)th Hf(a)h +R3 とおくと、 (1) R3 → 0 ( ‖h‖→ 0 ) かつ (2) ‖h‖2 → 0 ( ‖h‖→ 0 ) かつ (3) R3 / ‖h‖2 → 0 ( ‖h‖→ 0 ) が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない] |
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ベクトル・行列・2次形式を用いた表現 | ||
設定
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x,a,h :実n次元数ベクトル つまり、x=t(x1, x2, x3, …, xn) a=t(a1, a2, a3, …, an) h=t(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。 grad f (〜) : 〜におけるfの勾配ベクトル Hf(〜) :〜におけるfのヘッセ行列 Hf(〜) [h] :「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まるh=t(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式 |
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本題 | f(a+h)= f(a)+grad f (a)h+(1/2)Hf(a)[h]+o(‖h‖2) (‖h‖→0) これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。 f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)Hf(a)[h] +R3 とおくと、 (1) R3 → 0 ( ‖h‖→ 0 ) かつ (2) ‖h‖2 → 0 ( ‖h‖→ 0 ) かつ (3) R3 / ‖h‖2 → 0 ( ‖h‖→ 0 ) が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない] |
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→[トピック一覧:多変数関数のテイラーの定理] →総目次 |
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定理:n変数関数のテイラーの定理,テイラー多項式 − 一般形 |
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※対照→2変数関数のテイラーの定理(一般) |
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Σを用いない表現 | ||
設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC m級とする。 | |
本題
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f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)+![]() + ![]() ![]() ![]() +… …+ ![]() + ![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f (a1,a2,…,an)+ ![]() +… …+ ![]() を、「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 |
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Σの表現 | ||
設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC m級とする。 | |
本題
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f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an) + ![]() + ![]() +… …+ ![]() + ![]() を満たす実数θ∈(0,1)が存在する。 * * * * * * * 上記等式中の f (a1,a2,…,an)+ ![]() + ![]() +… …+ ![]() を、「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次のテイラー多項式」と呼ぶ。 また、 ![]() を、その剰余項と呼ぶ。 |
[文献] ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2(p.120) ・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。 下記は、特殊な記号をつかう。 ・杉浦『解析入門』定理7.2(p.147):一般 ・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列が定める二次形式の活用。 ・松坂『解析入門3』14.2-C-定理2(p.155):一般 ・;加藤『微分積分学原論』定理16.8(p.202) |
設定
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本題
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→[トピック一覧:多変数関数のテイラーの定理] →総目次 |
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定理:n変数関数のm次テイラー展開。m次多項式近似の剰余項の評価。 |
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要旨 |
(a1,a2,…,an)におけるfのm次近似多項式の剰余項は、 (a1,a2,…,an)までの距離のm乗より、高位の無限小。 |
[文献] ・松坂『解析入門3』14.2-C-定理3(p.157) ・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。 ※対照→2変数関数のテイラー展開 |
非ベクトル表現 | ||
設定
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n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC m級とする | |
本題
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f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an) + ![]() + ![]() +… : …+ ![]() +o(‖(h1,h2,…,hn)‖m) (‖(h1,h2,…,hn)‖→0) |
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ベクトル表現 | ||
設定
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x,a,h :実n次元数ベクトル つまり、x=t(x1, x2, x3, …, xn) a=t(a1, a2, a3, …, an) h=t(h1, h2, h3, …, hn) f : n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC3級とする。 |
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本題
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f (a+h)= f (a)+![]() ![]() ![]() +o(‖h‖m) (‖h‖→0) |
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→[トピック一覧:多変数関数のテイラーの定理] →総目次 |