分布関数(一次元)
(discrete type)の確率変数X、確率分布PX
可算無限集合
D={xi|i=1,2,…}が存在し、P(X∈D) ≡ PX(D) ≡ P ( {ω∈Ω| X(ω) ∈D } ) = 1
となるとき、
(確率変数Xのとる値が高々可算無限個)確率変数
X、確率分布PX を「離散型」という。また、
Dの各点xiは、「確率変数Xの確率点(probability point)」あるいは「確率変数Xの分布関数の跳躍点( jump point )・増加点( point of increase )」と呼ばれる(野田宮岡p19) fx (probability function)P(X=xi)≡PX({xi}) ≡ P ( {ω∈Ω| X(ω)=xi } ) = fx(xi) , i=1,2,…
なる
fxを確率関数という。*柳川
(p.16)では「頻度関数あるいは離散型確率変数の密度関数」」※ 略記法
{ω∈Ω| a<X(ω)≦b}は{ a<X≦b }
{ω∈Ω| X (ω)∈B}は{ X∈B }
などと略記される。
野田・宮岡『数理統計学の基礎』p15. 確率関数fxに関する定理:
(1) fx(xi)≧0 (i=1,2,…)
(2)
(3)
あるいは、
によって定義される関数
Hを用いて、
*柳川
(p.16)ではこの分布関数を「離散型分布関数あるいは単に離散型分布」と呼ぶ。・定義:「退化」
(degenerate)野田宮岡p21
(geometric distribution)
・確率関数
P(X=x)=fx(x)=θ(1−θ)x , (0<θ<1), x = 0, 1, 2, …
・解釈
たとえば、
θ:不良品率、
X:最初に不良品が出るまでに出た良品の数と考えると、右辺は、
[(x+1)回目での不良品率]×[x回続けて良品の出る確率]
と解釈できるので、
P(X=x)とは、すなわち、(x+1)回目で初めて不良品が出る確率
である。
・グラフ
・定理
1. fx(x) ≧0 ( x=0,1,2… )
2.
・定理:幾何分布の無記憶性
P ( X > n+m | X > n ) = P( X≧m )
for ∀n, m=0,1,2,…
(解釈)
(証明)
(
reference)文献
1.『岩波数学辞典(第三版)』項目47C(p.128).文献
2. 佐藤坦『はじめての確率論 測度から確率へ』共立出版、1994、p.28;101.文献
3. 鈴木武・山田作太郎『数理統計学―基礎から学ぶデータ解析―(第二版)』内田老鶴圃、1998年、pp.26-27; 91-101。文献
4. 柳川堯『統計数学』近代科学社、1990年,pp.15-19.文献
5. 野田一雄・宮岡悦良『数理統計学の基礎』共立出版、1992年、pp.19-22 。