数列の極限の性質：トピック一覧

・収束数列の性質：極限値の唯一性/収束列の部分列も収束/収束列は有界　
・収束数列間の演算と極限：定数との和/反数/定数倍/和/積/逆数/商　
・発散数列との演算と極限：　　
・数列間の大小と極限：収束列の大小と極限/発散列との大小と極限/はさみうちの原理
・数列の収束の十分条件：有界単調数列の収束定理/ボルツァノ・ワイエルストラスの定理
・数列の収束の必要十分条件：コーシー列/コーシーの判定法
→関連ページ：
　　・数列の定義/数列の極限の定義
　　・数列の上限sup下限infの性質　
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収束数列の性質
1.  極限の一意性

・収束列の極限値は、存在するならば唯一つ。

　すなわち、
　　　an→α (n→∞)  かつ an→β (n→∞) ならば、α＝β




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理1-1(p.7)
　・杉浦『解析入門I』命題2.3(p.13)
　・小平『解析入門I』§1.4-a(p.24)
　・笠原『微分積分学』1.2命題1.7(p.9）:証明付
　・黒田『微分積分学』§2.5.2命題2.8(p.45)
　・赤『実数論講義』定理5.2.1(p.118)
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.３命題1(p.53)：証明略。順序体一般において

　
　


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2.  収束数列の部分列の収束

・収束する数列の任意の部分列も収束する。
　
　すなわち、
　　　an→α (n→∞)　⇒　anの任意の部分列ak(n)について、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ak(n)→α (n→∞)
　なお、この対偶も成り立つ。
　すなわち、
　　　anの部分列に一つでも収束しないものがある⇒ anも収束しない。


　※収束しない数列については、
　　その部分列が収束しないこともあるが、
　　収束することもあるので、注意。　　
 
　　cf. ボルツァノ・ワイエルストラスの定理：有界な数列は収束部分列を含む。




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』(p.１１)
　・杉浦『解析入門I』3.18(p.23)
　・高木『解析概論』定理3(p.6)
　・松坂『解析入門1』2.1-D-定理2(p.72):証明付。
　・小平『解析入門I』§1.4-c(p.26):証明なし
　・黒田『微分積分学』§2.5.9定理2.12(p.54)
　・赤『実数論講義』定理5.7.2(pp.143-4):証明付。
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』5章定理5.3(p.43)：証明付。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』3.2.6-i(p.106)
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.３命題2(p.53)：証明略。順序体一般において
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』練習2.2.1(p.74)

　
　


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3.  収束数列は有界

・収束する数列は有界数列である。
　すなわち、　an→α(n→∞) ⇒　(∃M) ( |an|<M)


・逆に、有界数列が、収束するとは限らない。　　

・対偶：有界でない数列は、収束しない。
　　　　→発散の定義[; 杉浦『解析入門I』定義2,p.18]

　　cf. 定理：有界な単調数列は収束する
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理：有界な数列は収束部分列を含む。




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理1 (2),p.7
　・杉浦『解析入門I』命題2.4,p.13
　・松坂『解析入門1』2.1-C-定理2(p.61)
　・黒田『微分積分学』§2.5.2定理2.6(p.46
　・赤『実数論講義』定理5.2.3(p.121):証明付
　・高木『解析概論』定理４(p.6)
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』5章定理5.5(p.45)：証明付。
　・青本『微分と積分1』命題1.23(p.18)
　・小平『解析入門I』§1.5-a末尾(p.３７)
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』3.1.5(p.91)

　
　
　

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収束列の演算と極限
　




【意義】

　「収束数列に四則演算をほどこしてから極限をとった値」と
　「収束数列の極限をとってから四則演算を施した値」とが
　等しくなる
　─このような極限と四則演算との交換可能性を
　　収束数列において保証するのが、
　　下記公式。






0.収束列に定数を加えた数列の極限

・数列{an}が収束列ならば、
　それに定数を加えた数列{an+c}も収束列。

・数列{an}が実数αに収束するならば、
　それに定数を加えた数列{an+c}は、実数α+cに収束する。
　
　記号を用いて表現すると、

　　　　an→α (n→∞)  ⇒　an+c→α+c (n→∞) 
　

 　
 　



　　　　　 lim an＝α 　⇒　 lim (an+c)＝a+c＝  lim an + c
n→∞ n→∞ n→∞

　　　　　　　　　　　　[赤『実数論講義』§5.3問2(p.126)]

【関連項目】

　・数列{an}が収束しないケース　




[文献−解析]
　・高木『解析概論』定理5(p.7):和差積商のみ。証明は積商のみ。
　・小平『解析入門I』定理1.15; 1.19 (p.26;33)
　・杉浦『解析入門I』定理2.5(p.14);
　・笠原『微分積分学』1.2命題1.8(p.11）
　・松坂『解析入門1』2.1-E-定理3(p.63):証明付
　・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.8(pp.47-8):定数倍,和差積商。証明詳。商の証明は逆数。
　・赤『実数論講義』§5.3定理5.3.1(p.123);問2(p.126)
　・青本『微分と積分1』命題1.16(p.13):定数倍,和差積商。証明は数列の具体例についてのみ。
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理2(pp.8-9)
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』3.1.7(p.91):定数倍,和差積商。証明略。

[文献−数学−解析以外]
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.３命題3(p.53)：証明略。順序体一般において。和差積商。
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』2章例2.3(pp.16-17):定数倍、符号反転、逆数。証明付。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　演習問題2-3(p.18):和差積商。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5章定理5.1定理5.2(p.43):再録

[文献−数理経済]
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.1(p.69):符号反転,和積,逆数。証明付。
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.2(p.6)和差積商。証明付。商の証明は逆数。

　
　

※以下で、数列{an}、数列{bn}が収束しない場合→詳細　

cf.数列の上限下限と、数列の演算との順序交換　

1.収束列の符号を反転した数列の極限

・数列{an}が収束列ならば、
　その符号を逆転した数列{−an}も収束列。

・数列{an}が実数αに収束するならば、
　数列{−an}は、実数−αに収束する。
　
　記号を用いて表現すると、

　　　　an→α (n→∞)  ⇒　−an→−α (n→∞) 
　

 　
 　



　　　　　 lim an＝α 　⇒　 lim −an＝−α＝ − lim an
n→∞ n→∞ n→∞

　※なぜ？→証明

・以上の教訓：　
　　収束列については、符号反転と極限操作の順序は入れ替え可能。


【関連項目】

　・数列{an}が収束しないケース　 		　

2.収束列の定数倍の極限

・数列{an}が収束列ならば、
　それを定数c倍した数列{can}も収束列。

・数列{an}が実数αに収束するならば、
　それを定数c倍した数列{can}は、実数cαに収束する。

　記号を用いて表現すると、

　　∀c∈Rにたいして、「an→α (n→∞)  ⇒　can→cα (n→∞)」　

 　
 　



　　∀c∈Rにたいして、「　 lim an＝α 　⇒　 lim can＝cα＝c lim an　」
n→∞ n→∞ n→∞

　※なぜ？→証明

【関連項目】

　・数列{an}が収束しないケース　

　

→[トピック一覧：数列の極限の性質]
→総目次





3.収束列の和の極限

・「数列{an}が収束列」かつ「数列{bn}が収束列」ならば、
　それらの和の数列{an＋bn}も収束列。

・「数列{an}が実数αに収束」かつ「数列{bn}が実数βに収束」ならば、
　数列{an＋bn}は、実数α＋βに収束する。
　
　　記号を用いて表現すると、

　　　　「an→α (n→∞) かつ bn→β (n→∞) 」⇒「an＋bn→α＋β (n→∞)」　 
　

 　
 　
 　
 　





　　 lim an＝αかつ lim bn＝β ⇒  lim (an+bn)＝α＋β＝ lim an+
lim bn
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

※なぜ？→証明

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束しないケース　
　

４.収束列の積の極限

・「数列{an}が収束列」かつ「数列{bn}が収束列」ならば、
　それらの積の数列{anbn}も収束列。

・「数列{an}が実数αに収束」かつ「数列{bn}が実数βに収束」ならば、
　それらの積の数列{anbn}は、実数αβに収束する。
　
　　記号を用いて表現すると、

　　「an→α (n→∞) かつ bn→β (n→∞) 」⇒「anbn→αβ (n→∞)」　 
　

 　
 　
 　
 　





　　 lim an＝αかつ lim bn＝β ⇒  lim (anbn)＝αβ＝ lim an 
lim bn
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

※なぜ？→証明 

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束しないケース

　

５.収束列の逆数の極限

・どの項も0にならない数列{an}が実数α≠0に収束するならば、
　その逆数をとった数列{1/an}は、実数1/αに収束する。
　
　記号を用いて表現すると、
　
　　　　「『任意のn∈Nにたいしてan≠0』  かつ an→α (n→∞) かつα≠0」　⇒「1/an→1/α (n→∞)」　

　　　　ないし
  (∀n∈N) (an≠0) かつ 


lim an
n→∞
＝α≠0　 ⇒　 
lim
n→∞
1 ＝
　 		1 ＝
　 		1

an α
lim an
n→∞



　※なぜ？→証明


６.収束列の商の極限

・「どの項も0にならない数列{an}が実数α≠0に収束」
　かつ　
　「数列{bn}が収束列」
　ならば、
　それらの商の数列{bn/an}も収束列。

・どの項も0にならない「数列{an}が実数α≠0に収束」
　かつ
　「数列{bn}が実数βに収束」ならば、
　それらの商の数列{ bn/an}は、実数β/αに収束する。

　記号を用いて表現すると、
　
　　　　「『(∀n∈N) (an≠0)』 かつ『an→α (n→∞)』かつ『α≠0』かつ『bn→β (n→∞)』」　⇒ 　「bn/an→β/α (n→∞)」

　　　　ないし
  (∀n∈N) (an≠0) かつ 


lim an
n→∞
＝α≠0　 ⇒　 
lim
n→∞
bn ＝ β ＝
lim bn
n→∞


an α
lim an
n→∞



　※なぜ？→証明　　　

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