実数値関数の最大値最小値定理･中間値定理：トピック一覧　　

・コンパクト空間上の性質：連続関数によるコンパクト空間の像は有界閉集合/コンパクト空間上の連続関数は有界/
　　　　　　　　　　　　　最大値・最小値定理/関数f (x)をコンパクト空間D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続
・連結な集合上の性質：中間値定理　　

　※実数値関数に関する諸概念の定義：実数値関数の定義と諸属性/実数値関数の極限/連続性の定義/可測関数/　　
　※実数値関数の連続性の具体例：1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性
　※実数値関数の連続性の一般化：ベクトル値関数の連続性/距離空間の間の写像の連続性/位相空間の間の写像の連続性
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定理：実連続関数によるコンパクト空間の像は、有界閉集合

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で、成立する。　
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに位相を与えて、
　　　　集合Xを位相空間として扱えるように設定。
　　　　これにより、
　　　　集合Xには、
　　　　その開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
　　　　が設定されることになる。
　　　　※集合Xに距離d_X を定めて、
　　　　　集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定したのでもよい。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、R上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」　

[具体例]1変数関数/2変数関数/ n変数関数

[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース

[活用例]
・「コンパクト空間上の実連続関数は有界」の証明
・最大値最小値定理の証明

[文献]
松坂『集合・位相入門』5章§2-D定理16系2の上方4行(p.218):位相空間からRへの写像について;
ルディン『現代解析学』4.15(p.87):距離空間からRⁿへの写像について。

[予備情報]
　命題R「実数値関数f によるＸの像 f (X)が
　　　　　　　R上の点集合として有界な閉集合」
⇔命題R'「実数値関数f によるＸの像 f (X)が
　　　　　　　　　　　　　　　R上点列コンパクト」
⇔命題R''「実数値関数f によるＸの像 f (X)が
　　　　　　　　　　　　　　　R上コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　　

定理

命題P「実数値関数『 f：X→R』実連続関数」が成り立ち、
かつ
命題Q「Xはコンパクト」が成り立つ
ならば、
命題R「実数値関数f によるXの像 f (X)は、
　　　　　　R上の点集合として有界な閉集合」
が成り立つ。

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定理：コンパクト空間上の実連続関数は有界

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で、成立する。　
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに位相を与えて、
　　　　集合Xを位相空間として扱えるように設定。
　　　　これにより、
　　　　集合Xには、
　　　　その開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
　　　　が設定されることになる。
　　　　※集合Xに距離d_X を定めて、
　　　　　集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定したのでもよい。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、R上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」　

[具体例]1変数関数のケース/2変数関数のケース/ n変数関数
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース　

[文献]
ルディン『現代解析学』4.15(p.87):距離空間からRⁿへの写像について。

[予備情報]
　命題R「実数値関数f：X→R は有界」
⇔命題R'「実数値関数f によるXの像 f (X)が
　　　　　　　　　　　　R上の点集合として有界」
　　　（∵有界関数の定義）　

定理

命題P「実数値関数『 f：X→R』実連続関数」が成り立ち、
かつ
命題Q「Xはコンパクト」が成り立つ
ならば、
命題R「実数値関数fは有界」が成り立つ。

証明

・定理より、命題Pかつ命題Qならば、「実数値関数f によるXの像 f (X)は、R上の点集合として有界な閉集合」。
　つまり、命題Pかつ命題Qならば、「実数値関数f によるXの像 f (X)は、R上の有界な点集合」。
・有界関数の定義より、
　「実数値関数f は有界」とは、
　「実数値関数f によるXの像 f (X)が、R上の点集合として有界」の意。
・以上2点から、命題Pかつ命題Qならば、命題R「実数値関数fは有界」が成り立つといえる。

実数値関数の最大値・最小値定理

要旨

コンパクト空間上の実連続関数には、最大値･最小値が存在する。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で、成立する。　
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに位相を与えて、
　　　　集合Xを位相空間として扱えるように設定。
　　　　これにより、
　　　　集合Xには、
　　　　その開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
　　　　が設定されることになる。
　　　　※集合Xに距離d_X を定めて、
　　　　　集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定したのでもよい。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、R上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」　

[具体例]1変数関数の最大値最小値定理/2変数関数関数の最大値最小値定理/ n変数関数の最大値最小値定理　
[一般化]距離空間のあいだの写像のケース

[文献-位相空間で定義された実数値関数]
　松坂『集合・位相入門』5章§2-D定理16系2(p.218);
　矢野『距離空間と位相構造』系4.8(p.132) :証明付
[文献-距離空間で定義された実数値関数]
　ルディン『現代解析学』4.16(p.87)。

定理

命題P「実数値関数『 f：X→R』は実連続関数」が成り立ち、
かつ
命題Q「Xはコンパクト」が成り立つ
ならば、
命題R「実数値関数f には、Xにおける最大値･最小値が存在する」
が成り立つ。

証明

・定理より、命題Pかつ命題Qならば、「実数値関数f によるXの像 f (X)は、R上の点集合として有界な閉集合」。
・定理より、R上の点集合として有界な閉集合には、その最大元・最小元が存在する。
・上記２点より、
　命題Pかつ命題Qならば、
　　実数値関数f によるXの像 f (X)には、その最大元 max f (X)・最小元 min f (X)が存在する。
・「実数値関数f のXにおける最大値･最小値」の定義は、max f (X)・min f (X)であったから、
　上記は、
　　命題Pかつ命題Qならば、命題R「実数値関数f には、Xにおける最大値･最小値が存在する」
　と言換えてよい。　

ハイネの定理：コンパクト距離空間上連続な関数はそこで一様連続

　距離空間の間の連続写像のケース

　1変数関数のケース　
　2変数関数のケース　
　 n変数関数のケース　

[文献]
該当文献、見当たらず。

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中間値定理 intermediate value theorem

要旨

実連続関数『 f：X→R』は、f (Q)≠f (R)とすると、f (Q)とf (R)の間の全ての値をとる。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で、成立する。　
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」　
Step4：集合Xに位相を与えて、
　　　　集合Xを位相空間として扱えるように設定。
　　　　これにより、
　　　　集合Xには、
　　　　その開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
　　　　が設定されることになる。
　　　　※集合Xに距離d_X を定めて、
　　　　　集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定したのでもよい。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、R上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」属す点を、P, Q, R, Sと名づける。
　　　　　　　　つまり、「P, Q, R, S∈X」

[文献：位相空間で定義された実数値関数について]
松坂『集合・位相入門』5章§1-E定理7系:位相空間上の実連続関数についての中間値定理(p.202):証明付;
矢野『距離空間と位相構造』系5.6(p.169)

*Rudinは、1変数実数値関数についてのみ。

定理

命題P「実数値関数『 f：X→R』は実連続関数」
かつ
命題Q「Xは連結位相空間」
ならば、
命題R「f (Q)<f (R)を満たす限りで任意のQ,R∈Xにたいして、
　　　　　『 f (Q)< c <f (R)を満たす限りで任意の実数cにたいして、f (S)=cを満たすS∈Xが存在する』
　　　　が成立する」