設定 |
・集合A、集合B、集合C、 写像f:A→B、写像g:B→C、 が与えられているとする。 |
[文献]・松坂『集合・位相入門』1章§4-C写像の合成(pp.34-36);・永田『理系のための線形代数の基礎』(p.19); ※一般化:対応の合成 ※具体化:1変数関数の合成関数 |
定義 |
・「写像h:A→Cが、写像fと写像gとの合成写像である」とは、 写像hが、 集合Aの任意の元aに対して、 集合Cの元 g(f(a)) を定めること をいう。 |
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記号 |
・写像fと写像gとの合成写像を、 記号「g〇f」または「gf」であらわす。 論理記号で表すと、(∀a∈A)(g〇f (a) = g(f(a)) |
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設定 |
・集合A、集合B、集合C、 写像f:A→B、写像g:B→C、 が与えられているとする。 |
[文献]・松坂『集合・位相入門』1章§4-C定理5(p.35); |
定理
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1. 写像fも写像gも全射ならば、 写像fと写像gとの合成写像g〇fも全射となる。 2. 写像fも写像gも単射ならば、 写像fと写像gとの合成写像g〇fも単射となる。 3. 写像fも写像gも全単射ならば、 写像fと写像gとの合成写像g〇fも全単射となる。 |
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設定 |
・集合A、集合B、集合C、集合D、 写像f:A→B、写像g:B→C、写像h:C→D、 が与えられているとする。 |
[文献]・松坂『集合・位相入門』1章§4-C定理6(p.35); |
定理
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・写像fと「写像gと写像hとの合成写像」との合成写像、 「写像fと写像gとの合成写像」と写像hとの合成写像、 は等しい。 すなわち、 任意のa∈Aにたいして、( (h〇g)〇f )(a)=(h〇(g〇f))(a) |
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設定 |
・集合A、集合B、集合C、集合D、 写像f:A→B、写像g:B→C、写像h:C→D、 が与えられているとする。 |
[文献]・松坂『集合・位相入門』1章§4-C定理6(pp.35-6); |
定理
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1. 集合Aにおける恒等写像IAと、「写像f:A→B」との合成写像は、 「写像f: A→B」に等しい。 つまり、任意のa∈Aにたいして、 ( f〇IA)(a)=f(a) 2. 「写像f:A→B」と、集合Bにおける恒等写像IBとの合成写像は、 「写像f:A→B」に等しい。 つまり、任意のa∈Aにたいして、( IB〇f )(a)=f(a) 3. 「写像f:A→B」が全単射ならば、 「写像f:A→B」と、その逆写像との合成写像は、 集合Aにおける恒等写像IAに等しい。 つまり、任意のa∈Aにたいして、 ( f-1〇f )(a)=IA(a)=a 4. 「写像f:A→B」が全単射ならば、 「写像f:A→B」の逆写像と、写像fとの合成写像は、 集合Bにおける恒等写像IBに等しい。 つまり、任意のb∈Bにたいして、 ( f〇f-1 ) (b)=IB(b)=b |
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