合成写像

[トピック一覧：写像]
　・定義：合成写像　
　・定理：合成写像と全射･単射/合成写像の結合律/恒等写像との合成写像　　
※関連ページ：対応の合成/写像/配置集合　
→参考文献・集合論目次・総目次

定義：合成写像　　　

設定

 ・集合A、集合B、集合C、
　写像f:A→B、写像g:B→C、
　が与えられているとする。

[文献]

　・松坂『集合・位相入門』1章§4-C写像の合成(pp.34-36);
　・永田『理系のための線形代数の基礎』(p.19);


※一般化：対応の合成　
※具体化：1変数関数の合成関数　　　

定義

 ・「写像h:A→Cが、写像fと写像gとの合成写像である」とは、　　
　　　写像hが、
　　　集合Aの任意の元aに対して、
　　　集合Cの元 g(f(a)) を定めること
　をいう。

記号

 ・写像fと写像gとの合成写像を、
　記号「g〇f」または「gf」であらわす。　　　
　論理記号で表すと、（∀a∈A）（g〇f (a) ＝ g(f(a))

→[トピック一覧：合成写像]
→集合論目次・総目次

定理：合成写像が全射・単射・全単射であるための十分条件

設定

 ・集合A、集合B、集合C、
　写像f:A→B、写像g:B→C、
　が与えられているとする。

[文献]

　・松坂『集合・位相入門』1章§4-C定理5(p.35);

定理

 1. 写像fも写像gも全射ならば、
　　写像fと写像gとの合成写像g〇fも全射となる。　　
2. 写像fも写像gも単射ならば、
　　写像fと写像gとの合成写像g〇fも単射となる。　　
3. 写像fも写像gも全単射ならば、
　　写像fと写像gとの合成写像g〇fも全単射となる。　

→[トピック一覧：合成写像]
→集合論目次・総目次

定理：合成写像の結合律　

設定

 ・集合A、集合B、集合C、集合D、
　写像f:A→B、写像g:B→C、写像h:C→D、
　が与えられているとする。

[文献]

　・松坂『集合・位相入門』1章§4-C定理6(p.35);

定理

 ・写像fと「写像gと写像hとの合成写像」との合成写像、
  「写像fと写像gとの合成写像」と写像hとの合成写像、
　は等しい。
　すなわち、　
　　任意のa∈Aにたいして、( (h〇g)〇f )(a)＝(h〇(g〇f))(a) 　

→[トピック一覧：合成写像]
→集合論目次・総目次

定理：恒等写像との合成写像

設定

 ・集合A、集合B、集合C、集合D、
　写像f:A→B、写像g:B→C、写像h:C→D、
　が与えられているとする。

[文献]

　・松坂『集合・位相入門』1章§4-C定理6(pp.35-6);

定理

 1.　集合Aにおける恒等写像IAと、「写像f:A→B」との合成写像は、
　　　「写像f: A→B」に等しい。
　　　　つまり、任意のa∈Aにたいして、　( f〇IA)(a)＝f(a)　　
2.　「写像f:A→B」と、集合Bにおける恒等写像IBとの合成写像は、
　　　「写像f:A→B」に等しい。　
　　　　つまり、任意のa∈Aにたいして、( IB〇f )(a)＝f(a)　　
3.　「写像f:A→B」が全単射ならば、
　　「写像f:A→B」と、その逆写像との合成写像は、
　　　　　　　　　　集合Aにおける恒等写像IAに等しい。
　　　　つまり、任意のa∈Aにたいして、　( f-1〇f )(a)＝IA(a)＝a　
4.　「写像f:A→B」が全単射ならば、
　　「写像f:A→B」の逆写像と、写像fとの合成写像は、
　　　　　　　　　　　集合Bにおける恒等写像IBに等しい。
　　　　つまり、任意のb∈Bにたいして、　( f〇f-1 ) (b)＝IB(b)＝b　

→[トピック一覧：合成写像]
→集合論目次・総目次

reference

　日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目162C(pp.429-430)。
　松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第1章§4.C(pp.34-36)。
→[トピック一覧：合成写像]
→集合論目次・総目次