実数における不等式と加法乗法の関係　：　トピック一覧　

　定理：順序と加法1/順序と加法の性質2/差の正負/順序と乗法1/反数の順序/反数の正負/順序と乗法2/積の正負/0<1/逆数の正負/逆数の順序
　定理：二つの実数の平均値の順序/実数体の自己稠密性　　

※実数定義関連ページ：実数体･実数の定義/デデキントの連続性公理/実数体上の順序概念　
※実数の性質関連ページ：加法/乗法/加法･乗法の関係/不等式/不等式と加法･乗法の関係　　
→総目次

定理：順序と加法の基本性質

【設定】

　R:　実数体　
　＋ ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題1】


　どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、
　　　　　 x<y ならば、 x+z<y+zが成り立つ。

　つまり、　( ∀x,y,z∈R ) ( x<y ⇒ x+z<y+z )

【なぜ？】

　　
　実数体の定義-条件Cより、
　　・( ∀x,y,z∈X ) ( x<y ⇒ x+z < y+z )
　　　を満たす代数系X･順序集合(X,≦)を、
　　　　　実数体Rとよび　
　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　のだから、
　　( ∀x,y,z∈R ) ( x<y ⇒ x+z<y+z )
　は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、実数とは呼ばない。

【本題2】


　どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、
　　　　　x≦y ならば、 x+z≦y+zが成り立つ。

　つまり、　( ∀x,y,z∈R ) ( x≦y ⇒ x+z ≦ y+z )

【なぜ？】

　




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数[2]順序R15(p.3)
　・笠原『微分積分学』1.1実数(pp.1-7)
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.5公理5(p.48)　　　　　　　　　　　　　　　　

　・( ∀x,y ∈R ) ( x≦y ⇔ (x=yまたはx<y) )　　∵順序と狭義順序の関係　…(1)
　・( ∀x,y ∈R ) (x=y ⇒ x+z = y+z )　∵=の性質　　　　　　…(2)　
　・( ∀x,y,z∈R ) ( x<y ⇒ x+z < y+z )　　　∵上記の1.　　　　　…(3)
　・(2)(3)を、(1)とあわせると、
　　　　( ∀x,y,z∈R ) ( x≦y ⇔ x=yまたはx<y⇒ x+z=y+z または x+z<y+z)　…(4)　
　　・x+z=y+z または x+z<y+z ⇔ x+z≦y+z　　∵順序と狭義順序の関係　…(5)
　　・(4)と(5)をあわせると、
　　　　( ∀x,y,z∈R ) ( x≦y ⇔ x=yまたはx<y ⇒ x+z=y+z または x+z<y+z ⇔  x+z≦y+z　)　
　　　要するに、　( ∀x,y,z∈R ) ( x≦y ⇒ x+z≦y+z )　　
　[自力]　


→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


　

定理：順序と加法の性質

【設定】

　R:　実数体　
　＋ ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題1】

　　
 　どんなふうに、実数x,y,a,bを選んでも、
　　　 x<y かつ a<b ならば、 x+a<y+bが成り立つ。
　　つまり、
　　　( ∀x,y,a,b ∈R ) ( x<y かつ a<b ⇒ x+a<y+b )　
　　　　[自力]


【なぜ？】

　












[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数:2順序:問2v-vi(p.3);自力　　　　　　　　　

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.1(5)(6)(p.64)　　　　　　

　・順序と加法の基本性質より、( ∀x,y,a∈R ) ( x<y ⇒ x+a < y+a )　　　…(1)　　　
　・順序と加法の基本性質より、( ∀a,b,y∈R ) ( a<b ⇒ a+y<b+y ) 　　…(2)　
　　加法の可換則より、 a+y=y+a , b+y=y+b だから、　
　　(2)は、( ∀a,b,y∈R ) ( a<b ⇒ y+a < y+b ) 　　　　　　　　　　　　…(2')　　　
　　と書いてもよい。　　
　・(1)(2')より、　( ∀x,y,a,b ∈R ) (  x<y かつ a<b ⇒ x+a < y+a かつ y+a < y+b )　…(3)　　
　・狭義順序の推移律より、 x+a < y+a かつ y+a < y+b ⇒ x+a < y+b　　だから、　　　　　
　　これと、(3)より、　(∀x,y,a,b ∈R ) ( x<y かつ a<b ⇒ x+a<y+b )　　

　　　[自力]

【本題2】

　　
 　どんなふうに、実数x,y,a,bを選んでも、
　　　　　 x≦y かつ a<b ならば、 x+a < y+b
　が成り立つ。
　
　つまり、
　　( ∀x,y,a,b∈R ) ( x≦y かつ a<b ⇒  x+a<y+b )




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数:2順序:問2vi(p.3)　　　　　　　　

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(6)(p.64)　　　　　　


【本題3】

　　
 　どんなふうに、実数x,y,a,bを選んでも、
　　　　　x≦y かつ a≦b ならば、 x+a≦ y+b
　が成り立つ。
　
　つまり、
　　( ∀x,y,a,b∈R ) ( x≦y かつ a≦b ⇒ x+a ≦ y+b )




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数:2順序:問2v(p.3)　　　　　　　　

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(5)(p.64)　　　　　　

 
→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　

定理：差の正負

【設定】

　R:　実数体　
　＋ ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題1】


　どんなふうに、実数x,yを選んでも、
　　　　　　　x<y ならば、 0<y−xが成り立ち、
　　　　　　0<y−x ならば、 x<y が成り立つ。

　つまり、　( ∀x,y∈R ) ( x<y ⇔ 0<y−x )

【なぜ？】

　　
　黒田『微分積分学』2.2.2命題2.1(p.25)に証明が掲載

【本題2】


　どんなふうに、実数x,yを選んでも、
　　　　　　　 x≦y ならば、　0≦y−x　が成り立ち、
　　　　　　　0≦y−x ならば、 x≦y　　が成り立つ。

　　つまり、　( ∀x,y∈R ) ( x≦y ⇔ 0≦y−x)

【なぜ？】

　
　黒田『微分積分学』2.2.2命題2.1(p.25)に証明が掲載




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数:2順序:問2i(p.3)
　・黒田『微分積分学』2.2.2命題2.1(p.25)　　　　　　　　

　・松坂『解析入門1』1.3命題4(c)(p.31)　　　　　　　　　　　　　


→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


定理：順序と乗法の基本性質(1)

【設定】

　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題】


　どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、
　　　　 x<y かつ 0<z ならば、 xz<yz
　が成り立つ。
　つまり、
　　( ∀x,y,z∈R ) ( x<y かつ 0<z ⇒ xz<yz )

【なぜ？】




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数(pp.1-8)
　・笠原『微分積分学』1.1実数(pp.1-7)
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)　
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1節(pp.53-65)　　　　

　・赤『実数論講義』§2.5公理5(p.48)　　　　　　　　　　　


　実数体の定義‐条件Dより、
　　　・　( ∀x,y,z∈X ) ( x<y かつ 0<z ⇒ xz<yz )を満たす代数系X･順序集合(X,≦)を、実数体Rとよび、
　　　・　実数体Rの元を実数と呼ぶ
　のだから、
　　　( ∀x,y,z∈R ) ( x<y かつ 0<z ⇒ xz<yz )
　は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、実数とは呼ばない。


→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


定理：2つの実数の反数の順序　

【設定】

　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題1】


　どんなふうに、実数x,yを選んでも、
　　　 x<y ならば、 −y<−x
　が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y ∈R ) ( x<y ⇒ −y<−x )

【なぜ？】




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数:2順序:問2ii(p.3)　　

　・赤『実数論講義』§2.5定理2.5.1(p.48)　　　　　　　　


　・x<y ならば、 x+(-x) < y+(-x) ∵順序と加法の基本性質で、z=-x とおいた。
　　したがって、x<y ならば、 0<(-x)+y　∵実数とその反数との和はゼロ、可換則　
　・0 < (-x)+y ならば、 0+(-y)<(-x)+y+(-y)　∵順序と加法の基本性質で、z=-y とおいた。
　　したがって、0 <(-x)+y ならば、 -y<-x　∵ゼロとの和の性質、実数とその反数との和はゼロ　

【本題2】


　どんなふうに、実数x,yを選んでも、
　　　　x≦y ならば、 −y≦−x が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y ∈R) ( x≦y ⇒ −y≦−x )


→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


定理：反数の正負　

【設定】

　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題1】


  どんなふうに、実数aを選んでも、
　　　　 0<a ならば、 −a<0
　が成り立つ。
　つまり、　( ∀a∈R ) ( 0<a ⇒ −a<0 )

【なぜ？】


　二つの実数の反数の順序:( ∀x,y∈R ) ( x<y ⇒ −y<−x )で、
　　x=0, y=a∈Rとおくと、
　　 0<a ⇒ −a<−0=0 　　

【本題2】


　どんなふうに、実数aを選んでも、
　　　　 a<0 ならば、 0<−a
　が成り立つ。
　　つまり、　( ∀a∈R ) ( a<0 ⇒ 0<−a )　

【なぜ？】


　二つの実数の反数の順序:( ∀x,y∈R ) ( x<y ⇒ −y<−x )で、
　　y=0, x=a∈Rとおくと、
　　 a<0 ⇒ −0<−a




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数:2順序:問2iv(p.3)
　・松坂『解析入門1』1.3命題4(p.31)　　　　　

　・赤『実数論講義』§定理2.5.2(p.48)　　　　　　　　　　　　　　　　


→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　

定理：順序と乗法の基本性質(2)

【設定】

　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題1】


　どんなふうに、実数x,y,cを選んでも、
　　　　 x<y かつ c<0 ならば、 yc<xc
　が成り立つ。
　つまり、( ∀x,y,c∈R ) ( x<y かつ c<0 ⇒ yc<xc )




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数:2順序:問2iii(p.3)
　・松坂『解析入門1』1.3命題4(f)(p.31)　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.5問4(p.49)　　　　　　　　　　　　　　　　


【なぜ？】


　・x<y かつ c<0 ならば、 x<y かつ 0<−c 　∵反数の正負　
　・x<y かつ 0<−c ならば、 x(−c)<y(−c)　
　　　∵順序と乗法の基本性質(1)：( ∀x,y,z∈R ) ( x<y かつ 0<z ⇒ xz<yz )　
　　したがって、x<y かつ 0<−c ならば、 −(xc)< −(yc)　　∵積と符号(1)　　
　・−(xc)<−(yc)ならば、 −(−(yc) )<−(−(xc) ) 　∵二つの実数の反数の順序　
　　したがって、−(xc)<−(yc)ならば、 yc<xc　　∵反数の順序　　　
　　　[自力]　


【本題2】


　どんなふうに、実数x,y,cを選んでも、 x≦y かつ c≦0 ならば、 yc≦xcが成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y,c∈R ) ( x≦y かつ c≦0 ⇒ yc≦xc )

→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


定理：積の正負　

【設定】

　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題】


　どんなふうに、実数を二つ選んでも、同符号の積は正、異符号の積は負。
　　つまり、
　( ∀x,y∈R ) ( 0<x かつ 0<y ⇒ 0<xy )
　( ∀x,y∈R ) ( 0<x かつ y<0 ⇒ xy<0 )
　( ∀x,y∈R ) ( x<0 かつ 0<y ⇒ xy<0 )
　( ∀x,y∈R ) ( x<0 かつ y<0 ⇒ 0<xy )

【なぜ？】


　順序と加法の性質、順序と乗法の性質を用いる。
　　　　　詳しくは、赤『実数論講義』§2.5定理2.5.3証明(p.50)




[文献]
　・松坂『解析入門1』1.3命題4(d)(p.31)　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.5定理2.5.3(p.49)　　　　　　　　　　　　　　　　


→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


定理：0 < 1　

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題】


　実数体に定義された加法の単位元0（実数体の定義条件A-1-3）は、
　実数体に定義された乗法の単位元1（実数体の定義条件A-2-3）より小さい。　　
　つまり、
　　0 < 1　

【なぜ？】


　　まず、　0 < 1・1　　∵同符号の実数の積は正　　
　　次に、　1・1=1　　　∵1との積　
　　以上2点から、0 < 1・1=1　
　　　　[赤『実数論講義』§2.5定理2.5.7(p.51)]




[文献]
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』例2.1.3(3)(p.63)　
　・松坂『解析入門1』1.3命題4(g)(p.31)　　　　

　・赤『実数論講義』§2.5定理2.5.7(p.51)　　　　　　　　　　　　　　　





※常識的には、0<1は自明だが、

　アカデミックな数学は、
　実数定義の段階では、0を加法の単位元として、1を乗法の単位元として定義するだけ。
　だから、0<1は自明ではない。
　「0<1」は、単なる加法の単位元とされたものと、単なる乗法の単位元とされたものとのあいだに、順序関係があることのは、それはそれで、驚くべきこと。





→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　

 

定理：逆数の正負　

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題】


　どんな正の実数の逆数も正、どんな負の実数の逆数も負。
　つまり、
　( ∀x∈R−{0}) ( 0<x ⇒ 0<x-1 )
　( ∀x∈R−{0}) ( x<0 ⇒ x-1<0 )

【なぜ？】


　　神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(7)の解答(p.362);
　　赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.1(p.53)
　　




[文献]
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(7)(p.64)　　

　・赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.1(p.53)　　　　　　　　　　　　　　



→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　

定理：逆数の順序　

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題】


　二つの正の実数の順序は、それらの逆数をとると、反転する。　
　(∀x,y∈R) (0<xかつ0<yかつx<y ⇒ y-1<x-1 )

【なぜ？】


　→神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(8)解答(p.362)
　→赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.2(p.54)を参照。




[文献]
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(7)(p.64)
　・松坂『解析入門1』1.3命題4(h)(p.31)

　・赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.1(p.53)　　　　　　　　　　　　　　



→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


定理：二つの実数の平均値の順序　

【設定】


　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題】


　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ x< (x+y)/(1+1) <y )

【なぜ？】




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2.2命題2.1(p.25)

　・赤『実数論講義』§2.7(pp.54-5)　　　　　　　　　　　　　　



　　※　(∀x,y∈R) ( x<y ⇒ x< (x+y)/(1+1))なのは、なぜ？　→赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.1(p.53)を参照。
　　　　　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ x+x<y+x )　　∵順序と加法の性質　
　　　　　　　　　( ∀x∈R ) ( 1x=x )　（∵）をもちいて、上記を書きなおすと、
　　　　 　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ 1x+1x<y+x )　
　　　　　　　　　分配則より1x+1x=(1+1)x　となることを用いて、上記を書きなおすと、
　　　　　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ (1+1)x<y+x )　　　　
　　　　　　　　　加法の可換則より、y+x =x+y となることを用いて上記を書きなおすと、
　　　　　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ (1+1)x<x+y )　　　　
　　　　　　　　0<1(∵)より、0<1<(1+1)(∵)、さらに、0<(1+1)-1　∵逆数の正負　　　　　
　　　　　　　　この点と、順序と乗法の性質を用いると、
　　　　　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ (1+1)x<x+y ⇒ (1+1)x(1+1)-1<(x+y )(1+1)-1 )　　　　
　　　　　　　　・(1+1)x(1+1)-1=x(1+1)(1+1)-1　∵乗法の可換則　
　　　　　　　　　　　　　　=x{(1+1)(1+1)-1}　∵乗法の結合則　　
　　　　　　　　　　　　　　=x1　∵自らの逆数との積　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　=x　　∵1との積　
　　　　　　　　・(x+y )(1+1)-1＝(x+y )／(1+1)-1　　　∵商の定義　　
　　　　　　　　以上２点を用いて上記を書き直すと、
　　　　　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ (1+1)x<x+y ⇒ x<(x+y )／(1+1)-1 )　　
　　
　　※　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ (x+y)/(1+1)<y )なのは、なぜ？　→赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.1(p.53)を参照。
　　　　(∀x,y∈R) (x<y ⇒ x+y<y+y )　　∵順序と加法の性質　
　　　　　　　　( ∀x∈R ) ( 1x=x )　（∵）をもちいて、上記を書きなおすと、
　　　 　(∀x,y∈R) ( x<y ⇒ x+y<1y+1y )　　　　　　　　
　　　　　　　　分配則より1y+1y=(1+1)y　となることを用いて、上記を書きなおすと、
　　　　(∀x,y∈R) ( x<y ⇒ x+y<(1+1)y )　　　　
　　　　　　　0<(1+1)より(∵)、0<(1+1)-1　∵逆数の正負　　　　　
　　　　　　　この点と、順序と乗法の性質を用いると、
　　　　(∀x,y∈R) ( x<y ⇒ x+y<(1+1)y ⇒ (x+y) (1+1)-1<(1+1)y(1+1)-1 )　　　　
　　　　　　　・(1+1)y(1+1)-1=y(1+1)(1+1)-1　∵乗法の可換則　
　　　　　　　　　　　　　=y{(1+1)(1+1)-1}　∵乗法の結合則　　
　　　　　　　　　　　　　=y1　∵自らの逆数との積　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　=y　　∵1との積　
　　　　　　　・(x+y)(1+1)-1＝(x+y)／(1+1)-1　　　∵商の定義　　
　　　　　　　以上２点を用いて上記を書き直すと、
　　　　(∀x,y∈R) ( x<y ⇒ x+y<(1+1)y ⇒ (x+y)／(1+1)-1<y )　　　　


→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　

 

定理：実数体の自己稠密性



【本題】


　実数体 は、自己稠密である。
　すなわち、
　実数体Rの任意の元x,yにたいして、x<z<yを満たすRの元zが存在する。
　すなわち、(∀x,y∈R) (∃z∈R) (∀x,y∈R) ( x<z<y )

【なぜ？】


　定理より、(∀x,y∈R) ( x<y ⇒ x< (x+y)/(1+1) <y )　であるから、
　 zとして、少なくとも、(x+y)/(1+1) が存在する。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2.2(OD)(p.26)
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§5定義2.5.1(p.52)

　・赤『実数論講義』§2.7(pp.54-5)　　　　　　　　　　　　　　



→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次　


　

reference

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p. 475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13 (p.58)
永田雅宜『代数学入門』培風館、1996年、定理1.4.2(p.12)。

【解析学テキストのなかで】

小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
松坂和夫『解析入門1』岩波書店、1997年、1.3節順序体(p.29)。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)。
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

【数理経済学テキストのなかで】

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

→[トピック一覧：実数における不等式と加法乗法の関係]
→総目次