1変数ベクトル値関数の極限の定義:トピック一覧  

  定義1変数ベクトル値関数の収束・極限値/右極限/左極限 
  
定理ベクトル値関数の極限の1変数関数の極限への言い換え/ ベクトル値関数の収束と点列の収束の関連 

 ※1変数ベクトル値関数の諸概念:1変数ベクトル値関数の定義/連続性/微分 
 ※ベクトル値関数の極限の具体例:1変数関数の収束・極限値/2変数関数の収束・極限値/ n変数関数の収束・極限値
 ベクトル値関数の極限の一般化:距離空間上の関数の収束・極限値 
 
総目次

定義:1変数m値ベクトル値関数の収束convergence・極限値limit 

はじめに読むべき定義/ε-δ論法による定義/近傍概念による定義 
cf.1変数関数の収束・極限値/2変数関数の収束・極限値/ n変数関数の収束・極限値
   
n変数ベクトル値関数の収束・極限値/距離空間上の関数の収束・極限値 

はじめに
読むべき
定義

実数t実数aに近づけたとき、
 
1変数m値ベクトル値関数 (y1 , y2 , , ym )=f (t) が、B(b1,b2,,bm)収束する
実数t実数aに近づけたときの、
 
1変数m値ベクトル値関数 (y1 , y2 , , ym )=f (t)極限は、B(b1,b2,,bm)である」
  f ( t )(b1,b2,,bm) ( ta) 
   
   
R上の点tを点aに近づけたとき、
 
1変数m値ベクトル値関数f ( t ) が、 m次元空間Rm上のB収束する
R上の点tを点aに近づけたときの、
 
1変数m値ベクトル値関数f ( t )極限は、 m次元空間Rm上のBである」
     f ( t )B ( ta)  
 
     
      
とは、
R上の点tを点a一致させることなくaに近づけたとき、
1変数m値ベクトル値関数 (y1 ,y2 , , ym )= f (t)(y1 ,y2 , , ym )
Rm上のB(b1,b2,,bm)に近づくことをいう。

留意点  
 
(1)極限の定義において、実数t実数aが一致することは除外している。
   
実数a1変数m値ベクトル値関数 (y1 ,y2 , , ym ) = f (t)定義域に含まれているとは限らない。
 
(2) 実数tを「実数aより大きな値」にセットしたうえで、
     
実数tを減らしていって実数aへ近づけた場合(「右から」近づけた場合)
   と、
   
実数tを「実数aより小さな値」にセットしたうえで、
     
実数tを増やしていって実数aへ近づけた場合(「左から」近づけた場合) 
   とで、
   
1変数m値ベクトル値関数 (y1 ,y2 , , ym )= f (t)が近づくが異なるときには、
   「
実数t実数aに近づけたとき、
      
ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,,xn)B(b1,b2,,bm)収束しない
  
 「P(x1,x2,,xn)A(a1,a2,,an)に近づけたとき、
      
ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,,xn)極限値は存在しない」という。 
この定義は一見わかりやすい。
 ところが、「近づく」とはいかなる事態を指すのか、という点が、
 明らかにされておらず、
 この「収束」「極限」定義は、実のところは不正確で、
 証明での使用に耐えられない。
 そこで、
 「近づく」の意味を明確化するために、
 「収束」「極限」概念は、次のように厳密に定義される。 

「ベクトル値関数の収束・極限の定義」先頭

厳密な
定義:
ε
-δ
 論法

実数t実数aに近づけたとき、
   
1変数m値ベクトル値関数f (t) m次元空間Rm上のB収束する
実数t実数aに近づけたときの、
   
1変数m値ベクトル値関数f (t)極限 m次元空間Rm上のBである」
     f ( t )B ( ta)  
 
     
      

実数t実数aに近づけたとき、
   
1変数m値ベクトル値関数f (t)B(b1,b2,,bm)収束する
実数t実数aに近づけたときの、
   
1変数m値ベクトル値関数f (t)極限B(b1,b2,,bm)である」
    f ( t )(b1,b2,,bm) ( ta ) 
     
     
とは、
任意の(どんな)実数εに対して(でも)、ある実数δをとると、
  0<
| ta |<δ dm ( f (t), B )<ε   
が成り立つ
ということ。
この定義を、
論理記号で表せば、
ε>0)(δ>0)(tR)(0<| ta |<δdm ( f (t), B )<ε ) 
となる。
* 
dm ( f (P), B )は、 m次元空間Rm上のf (t)B(b1,b2,,bm)との距離を表す。 

[文献]
杉浦
解析入門I
I§6定義2-3(pp.51-2);
黒田
微分積分学
定義
8.6(p.277);

※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間Rmにおける極限概念     
1変数m値ベクトル値関数 (f1 (t),f2 (t),,fm (t)) =f (t)について、
収束・極限を扱う際には、
特別な目的がない限り、
m次元空間Rmの上の距離ユークリッド距離で定めて、 m次元空間Rmををユークリッド空間Rmとする設定
のもとで考えるのが普通。 
この設定下では、
  

だから、
実数t実数aに近づけたとき、
 
1変数m値ベクトル値関数 ( f1 (t), f2 (t) , , fm (t) ) = f ( t )B(b1,b2,,bm)収束する
実数t実数aに近づけたときの、
 
1変数m値ベクトル値関数 ( f1 (t), f2 (t) , , fm (t) ) = f ( t )極限B(b1,b2,,bm)である」
f ( t )(b1,b2,,bm) ( ta )
の定義は、具体的には
  ┌
任意の(どんな)実数εに対して(でも)、
  |ある
実数δが存在して、
  |  「 0<
| ta |<δ ならば  
  |    

  └を成り立たせる
 
(ε>) (δ>) (tR)
         (0<| ta |<δ
          
  
           
 ) 
となる。

m次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間Rmにおける極限概念     
m次元空間Rm
 
ベクトルの加法スカラー乗法自然な内積(標準内積)ユークリッドノルム‖‖mが定義されており、
 
m次元空間Rmn次元数ベクトル空間計量実ベクトル空間ノルム空間として扱える場合、
 
任意のm次元数ベクトルx', y'Rmのユークリッド距離はxym と表せる。
 このユークリッド距離を定義した
ユークリッド空間Rmのもとでは、 
 
dm( f (t), B )f (t)Bm   
・したがって、
実数t実数aに近づけたとき、1変数m値ベクトル値関数f (t)が、 m次元空間Rm上のB収束する
実数t実数aに近づけたときの、1変数m値ベクトル値関数f (t)極限 m次元空間Rm上のBである」
「 f (t)B ( t a ) 」 
の定義は、具体的には
  ┌
任意の(どんな)実数εに対して(でも)、
  |ある
実数δが存在して、
  |   「 0<
| ta |<δ ならば  f (t)Bm<ε 」 
  |          
  └を成り立たせる
  (
ε>0)(δ>0)( tR)(0<| ta |<δf (t)Bm<ε ) 
と表せる。   
 ただし、上記の
Bは、「B(b1,b2,,bn)」を表すm次元数ベクトル(b1,b2,,bn)
 である。   

「ベクトル値関数の収束・極限の定義」先頭

近傍を
用いた
定義

実数t実数aに近づけたとき、
 
1変数m値ベクトル値関数f (t)が、
 
m次元空間Rm上のB(b1,b2,,bm)収束する
実数t実数aに近づけたときの、
 
1変数m値ベクトル値関数f (t)極限
 
m次元空間Rm上のB(b1,b2,,bm)である」
   
 f ( t )B ( ta)  
 
    
     

    f ( t )(b1,b2,,bm) ( ta ) 
     
     
とは、
 
B任意のRm上のε近傍 Uε(B)」に対して(でも)、
 ある「
実数aの除外δ近傍U*δ(a)」が存在して、
     
f ( U*δ(a) ) Uε(B) 
 を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
 
任意の(どんな)実数εに対して(でも)、ある実数δが存在して、
        「 
f ( U*δ(a) ) Uε(B)  」
    すなわち「 
t U*δ(a) ならば、 f (t) Uε(B) 」
 を成り立たせる、
ということ。
この定義を、
論理記号で表せば、
Uε(B))( U*δ(a))( f ( U*δ(a) ) Uε(B) ) 
ε>0)(δ>0)( f ( U*δ(a) ) Uε(B) ) 
ε>0)(δ>0)(tR))( t U*δ(a) f (t) Uε(B)) 
となる。

※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間Rmにおける極限概念     
 
1変数m値ベクトル値関数f (t) について、
 収束・極限を扱う際には、
 特別な目的がない限り、
 
m次元空間Rmの上の距離ユークリッド距離で定めて、 m次元空間Rmををユークリッド空間Rmとする設定
 のもとで考えるのが普通。 
 この設定のもとでは、
 
実数aの除外δ近傍U*δ(a) (a−δ,a )(a,a+δ) 
 
B(b1,b2,,bn)の「Rm上のε近傍 Uε(B)」は、
    
 だから、
実数t実数aに近づけたとき、1変数m値ベクトル値関数f (t)が、 m次元空間Rm上のB収束する
実数t実数aに近づけたときの、1変数m値ベクトル値関数f (t)極限 m次元空間Rm上のBである」
「 f (t)B ( ta)  」 
 の定義は、具体的には
  ┌
任意の(どんな)実数εに対して(でも)、
  |ある
実数δが存在して、
  |    
t U*δ(a) (a−δ,a )(a,a+δ)
  |    
ならば
  |       
  └を成り立たせる
 となる。

m次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間Rmにおける極限概念  
実数aの除外δ近傍U*δ(a) (a−δ,a )(a,a+δ) 
m次元空間Rm
 
ベクトルの加法スカラー乗法自然な内積(標準内積)ユークリッドノルム‖‖mが定義されており、
 
m次元空間Rmn次元数ベクトル空間計量実ベクトル空間ノルム空間として扱える場合、
 
任意のm次元数ベクトルx', y'Rmのユークリッド距離はxym と表せる。
 このユークリッド距離を定義した
ユークリッド空間Rmのもとでは、 
 
B(b1,b2,,bn)の「Rm上のε近傍 Uε(B)」は、Uε(B){ QRm | QB<ε } 
・だから、
実数t実数aに近づけたとき、1変数m値ベクトル値関数f (t) が、 m次元空間Rm上のB収束する
実数t実数aに近づけたときの、1変数m値ベクトル値関数f (t) 極限 m次元空間Rm上のBである」
「 f ( t )B ( t A ) 」 
 の定義は、
  ┌
任意の(どんな)実数εに対して(でも)、
  |ある
実数δが存在して、
  |   
tU*δ(A)(a−δ,a )(a,a+δ)  
  |   
ならば   
  |   
f (t) Uε(B){ QRm | QB<ε }  
  └を成り立たせる
 と表せる。   
 ただし、上記の
Bは、「B(b1,b2,,bn)」を表すm次元数ベクトル(b1,b2,,bn)
 である。   

[トピック一覧:1変数m値ベクトル値関数の極限の定義]
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定理:「ベクトル値関数の極限」の「1変数関数の極限」への言い換え

定理

次の命題Pと命題Qは互いに言い換え可能である。
つまり、命題
P命題Q

命題P
  
実数t実数a に近づけたとき
  
1変数m値ベクトル値関数 (y1 , y2 , , ym )=f ( t ) が、
  
B(b1,b2,,bm)に収束する
  すなわち、
f ( t )(b1,b2,,bm) ( ta )
命題
Q1変数m値ベクトル値関数 (y1 , y2 , , ym )=f ( t )を、
    
m個の 1変数関数の組
      
y1 = f1 (t)
       y2 = f2 (t)
       : 
      
ym = fm (t) 
    として表したときに、  
     
f1 (t)b1 ( ta )  
     
かつ
     f2 (t)b2 ( ta )  
     
かつ
     :
     
かつ
     fm (t)bm ( ta )  
    が満たされる。


[文献]
杉浦『
解析入門II章§6定理6.8-1(p.59);
杉浦『解析演習I章§2要綱2.16(p.11);


証明

証明は、杉浦『解析入門II章§6定理6.8-1(p.59)参照。

 
     

[トピック一覧:1変数m値ベクトル値関数の極限の定義]
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定理:ベクトル値関数の収束の、点列の収束への言い換え 

 

具体例:1変数関数の収束の、数列の収束への言い換え/ 2変数関数の収束の、点列・数列の収束への言い換え
    
n変数関数の収束の、点列・数列の収束への言い換え 
一般化:
距離空間の間の写像の収束の、点列の収束への言い換え 

定理1

次の命題P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題
P命題Q命題R
命題P
実数t実数a に近づけたとき
1変数m値ベクトル値関数f (t)が、
m次元空間Rm上のB(b1,b2,,bm)に収束する」 
これを記号で表すと、
  ・
f ( t )B ( ta ) 
  ・
f ( t )(b1,b2,,bm) ( ta )
  ・  
 など。 

[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53):証明付;

命題Q
いかなる
  「
実数a収束する数列{ x1 , x2 , x3 ,…}」(ただし、x1a , x2a , x3a ,
に対しても、
 その
数列の各項 x1 , x2 , x3, …を1変数m値ベクトル値関数f によりRm上に写した像点列 
    {
f ( xi ) }={f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), }
 はB(b1,b2,,bm)収束する
 つまり、
  
任意の数列{ x1 , x2 , x3 ,…}について、
   
xi a (i→∞)かつ x1a , x2a , x3a ,ならばf ( xi ) B (i)  
 
論理記号で表すと、
   
{xi} )( xi a (i→∞) かつ(i) ( xia) f ( xi ) B (i)

なぜ?
 ・「命題
P命題Q」となるわけ→[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53)] 
 ・「命題
Q命題P」となるわけ→[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53)]  
 ・「命題
Q命題R」となるのは、点列の収束と数列の収束の関係による。 

定理2

次の命題P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題
P命題Q命題R
命題P
実数t実数a に近づけたとき
1変数m値ベクトル値関数f (t)収束する 
すなわち、
  

が存在する
  
極限値の値をだしていないことに注意。

 

[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.2(p.54):証明付

命題Q
いかなる
  「
実数a収束する数列{ x1 , x2 , x3 ,…}」(ただし、x1a , x2a , x3a ,
に対しても、
 その
数列の各項 x1 , x2 , x3, …を1変数m値ベクトル値関数f によりRm上に写した像点列 
    {
f ( xi ) }={f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), }
 が収束する

活用例

コーシーの判定法

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[YouTube]

定義:1変数m値ベクトル値関数の右極限

定義

 


[文献]


     
     

 

定義:1変数m値ベクトル値関数の左極限

定義

 


[文献]