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定義： 1変数m値ベクトル値関数の収束convergence・極限値limit |
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→ はじめに読むべき定義/ε-δ論法による定義/近傍概念による定義
cf.１変数関数の収束･極限値/2変数関数の収束･極限値/ n変数関数の収束･極限値
n変数ベクトル値関数の収束･極限値/距離空間上の関数の収束･極限値 |
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はじめに
読むべき
定義 |
「 実数tを実数aに近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数 (y1 , y2 , … , ym )=f (t) が、点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、
１変数m値ベクトル値関数 (y1 , y2 , … , ym )=f (t)の極限は、点B(b1,b2,…,bm)である」
f ( t )→(b1,b2,…,bm) ( t→a)
「R上の点tを点aに近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数f ( t ) が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「R上の点tを点aに近づけたときの、
１変数m値ベクトル値関数f ( t )の極限は、 m次元空間Rm上の点Bである」
f ( t )→B ( t→a)
とは、
R上の点tを点aと一致させることなく点aに近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数 (y1 ,y2 , …, ym )= f (t)の値(y1 ,y2 , …, ym )が
Rm上の点B(b1,b2,…,bm)に近づくことをいう。 |
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※ 留意点
(1)極限の定義において、実数tを実数aが一致することは除外している。
実数aが１変数m値ベクトル値関数 (y1 ,y2 , …, ym ) = f (t)の定義域に含まれているとは限らない。
(2) 実数tを「実数aより大きな値」にセットしたうえで、
実数tを減らしていって実数aへ近づけた場合（「右から」近づけた場合）
と、
実数tを「実数aより小さな値」にセットしたうえで、
実数tを増やしていって実数aへ近づけた場合（「左から」近づけた場合）
とで、
１変数m値ベクトル値関数 (y1 ,y2 , …, ym )= f (t)が近づく値が異なるときには、
「実数tを実数aに近づけたとき、
ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が点B(b1,b2,…,bm)に収束しない」
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
ベクトル値関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)に極限値は存在しない」という。
※この定義は一見わかりやすい。
ところが、「近づく」とはいかなる事態を指すのか、という点が、
明らかにされておらず、
この「収束」「極限」定義は、実のところは不正確で、
証明での使用に耐えられない。
そこで、
「近づく」の意味を明確化するために、
「収束」「極限」概念は、次のように厳密に定義される。 |
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→ 「ベクトル値関数の収束・極限の定義」先頭 |
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厳密な
定義：
ε -δ
論法 |
「 実数tを実数aに近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数f (t)が m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、
１変数m値ベクトル値関数f (t)の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
f ( t )→B ( t→a)
「実数tを実数aに近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数f (t)が点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、
１変数m値ベクトル値関数f (t)の極限は点B(b1,b2,…,bm)である」
f ( t )→(b1,b2,…,bm) ( t→a )
とは、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
０＜| t−a |＜δ ⇒ dm ( f (t), B )＜ε
が成り立つ
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀t∈R）（０＜| t−a |＜δ⇒dm ( f (t), B )＜ε ）
となる。
＊ dm ( f (P), B )は、 m次元空間Rm上のf (t)と点B(b1,b2,…,bm)との距離を表す。 |
[ 文献]
杉浦
『解析入門I』
I§6定義2-3(pp.51-2);
黒田
『微分積分学』
定義8.6(p.277); |
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※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間 Rmにおける極限概念
１変数m値ベクトル値関数 (f1 (t),f2 (t),…,fm (t)) =f (t)について、
収束・極限を扱う際には、
特別な目的がない限り、
m次元空間Rmの上の距離をユークリッド距離で定めて、 m次元空間Rmををユークリッド空間Rmとする設定
のもとで考えるのが普通。
この設定下では、
だから、
「実数tを実数aに近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数 ( f1 (t), f2 (t) , … , fm (t) ) = f ( t )が点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、
１変数m値ベクトル値関数 ( f1 (t), f2 (t) , … , fm (t) ) = f ( t )の極限は点B(b1,b2,…,bm)である」
「f ( t )→(b1,b2,…,bm) ( t→a )」
の定義は、具体的には
┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
｜ある正の実数δが存在して、
｜ 「 ０＜| t−a |＜δ ならば
｜  」
└を成り立たせる
(∀ε>０) (∃δ>０) (∀t∈R)
(０＜| t−a |＜δ
⇒
)
となる。 |
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※ m次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間Rmにおける極限概念
・ m次元空間Rmに
ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖mが定義されており、
m次元空間Rmを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
任意の実m次元数ベクトルx', y'∈Rmのユークリッド距離は‖x−y‖m と表せる。
このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rmのもとでは、
dm( f (t), B )＝‖f (t)−B‖m
・したがって、
「実数tを実数aに近づけたとき、１変数m値ベクトル値関数f (t)が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、１変数m値ベクトル値関数f (t)の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
「 f (t)→B ( t →a ) 」
の定義は、具体的には
┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
｜ある正の実数δが存在して、
｜ 「 ０＜| t−a |＜δ ならば ‖f (t)−B‖m＜ε 」
｜
└を成り立たせる
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀ t∈R）（０＜| t−a |＜δ⇒‖f (t)−B‖m＜ε ）
と表せる。
ただし、上記のBは、「点B(b1,b2,…,bn)」を表す実m次元数ベクトル(b1,b2,…,bn)
である。 |
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→ 「ベクトル値関数の収束・極限の定義」先頭 |
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近傍を
用いた
定義 |
「 実数tを実数aに近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数f (t)が、
m次元空間Rm上の点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、
１変数m値ベクトル値関数f (t)の極限は
m次元空間Rm上の点B(b1,b2,…,bm)である」
f ( t )→B ( t→a)
f ( t )→(b1,b2,…,bm) ( t→a )
とは、
点Bの任意の「Rm上のε近傍 Uε(B)」に対して（でも）、
ある「実数aの除外δ近傍U*δ(a)」が存在して、
f ( U*δ(a) ) ⊂ Uε(B)
を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δが存在して、
「 f ( U*δ(a) )⊂ Uε(B) 」
すなわち「 t∈ U*δ(a) ならば、 f (t) ∈Uε(B) 」
を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀Uε(B)）（∃ U*δ(a)）（ f ( U*δ(a) ) ⊂ Uε(B) ）
（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U*δ(a) )⊂ Uε(B) ）
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀t∈R））（ t ∈ U*δ(a) ⇒ f (t) ∈Uε(B)）
となる。 |
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※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間 Rmにおける極限概念
１変数m値ベクトル値関数f (t) について、
収束・極限を扱う際には、
特別な目的がない限り、
m次元空間Rmの上の距離をユークリッド距離で定めて、 m次元空間Rmををユークリッド空間Rmとする設定
のもとで考えるのが普通。
この設定のもとでは、
実数aの除外δ近傍U*δ(a)＝ (a−δ,a )∪(a,a＋δ)
点B(b1,b2,…,bn)の「Rm上のε近傍 Uε(B)」は、
だから、
「実数tを実数aに近づけたとき、１変数m値ベクトル値関数f (t)が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、１変数m値ベクトル値関数f (t)の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
「 f (t)→B ( t→a) 」
の定義は、具体的には
┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
｜ある正の実数δが存在して、
｜ t ∈ U*δ(a) ＝ (a−δ,a )∪(a,a＋δ)
｜ ならば
｜ 
└を成り立たせる
となる。 |
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※ m次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間Rmにおける極限概念
・実数aの除外δ近傍U*δ(a)＝ (a−δ,a )∪(a,a＋δ)
・ m次元空間Rmに
ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖mが定義されており、
m次元空間Rmを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
任意の実m次元数ベクトルx', y'∈Rmのユークリッド距離は‖x−y‖m と表せる。
このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rmのもとでは、
点B(b1,b2,…,bn)の「Rm上のε近傍 Uε(B)」は、Uε(B)＝{ Q∈Rm | ‖Q−B‖＜ε }
・だから、
「実数tを実数aに近づけたとき、１変数m値ベクトル値関数f (t) が、 m次元空間Rm上の点Bに収束する」
「実数tを実数aに近づけたときの、１変数m値ベクトル値関数f (t) の極限は m次元空間Rm上の点Bである」
「 f ( t )→B ( t → A ) 」
の定義は、
┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
｜ある正の実数δが存在して、
｜ t∈U*δ(A)＝(a−δ,a )∪(a,a＋δ)
｜ ならば
｜ f (t) ∈Uε(B)＝{ Q∈Rm | ‖Q−B‖＜ε }
└を成り立たせる
と表せる。
ただし、上記のBは、「点B(b1,b2,…,bn)」を表す実m次元数ベクトル(b1,b2,…,bn)
である。 |
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定理：ベクトル値関数の収束の、点列の収束への言い換え |
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具体例： 1変数関数の収束の、数列の収束への言い換え/ 2変数関数の収束の、点列･数列の収束への言い換え
n変数関数の収束の、点列･数列の収束への言い換え
一般化：距離空間の間の写像の収束の、点列の収束への言い換え |
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定理 1 |
次の命題 P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q⇔命題R。
命題P：
実数tを実数a に近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数f (t)が、
m次元空間Rm上の点B(b1,b2,…,bm)に収束する」
これを記号で表すと、
・f ( t )→B ( t→a )
・f ( t )→(b1,b2,…,bm) ( t→a )
・
など。 |
[ 文献]
杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53):証明付;
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命題 Q：
いかなる
「実数aに収束する数列{ x1 , x2 , x3 ,…}」（ただし、x1≠a , x2≠a , x3≠a ,… ）
に対しても、
その数列の各項 x1 , x2 , x3, …を１変数m値ベクトル値関数f によりRm上に写した像の点列
{ f ( xi ) }={f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ),… }
は点B(b1,b2,…,bm)に収束する。
つまり、
任意の数列{ x1 , x2 , x3 ,…}について、
xi →a (i→∞)かつ x1≠a , x2≠a , x3≠a ,…ならば、f ( xi ) →B (i→∞)
論理記号で表すと、
（∀ {xi} ）（（ xi →a (i→∞) かつ(∀i) ( xi≠a) ）⇒ f ( xi ) →B (i→∞) ）
※ なぜ？
・「命題P⇒命題Q」となるわけ→[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53)]
・「命題Q⇒命題P」となるわけ→[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53)]
・「命題Q⇔命題R」となるのは、点列の収束と数列の収束の関係による。 |
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定理 2 |
次の命題 P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q⇔命題R。
命題P：
実数tを実数a に近づけたとき、
１変数m値ベクトル値関数f (t)が収束する
すなわち、
が存在する
※極限値の値をだしていないことに注意。 |
[ 文献]
杉浦『解析入門I』定理6.2系(p.54):証明付 |
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命題 Q：
いかなる
「実数aに収束する数列{ x1 , x2 , x3 ,…}」（ただし、x1≠a , x2≠a , x3≠a ,… ）
に対しても、
その数列の各項 x1 , x2 , x3, …を１変数m値ベクトル値関数f によりRm上に写した像の点列
{ f ( xi ) }={f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ),… }
が収束する。 |
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活用例 |
コーシーの判定法 |
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