発散数列との演算の極限 [トピック一覧]


A.発散数列に定数を足した数列の極限：
　　∞に発散する数列と定数の和/−∞に発散する数列と定数の和　
B.発散数列を定数倍した数列の極限：
　　発散数列の符号の反転
　　∞に発散する数列と正の定数の積/∞に発散する数列と負の定数との積−
　　∞に発散する数列と正の定数の積/−∞に発散する数列と負の定数との積　
C.発散数列anからつくった数列 zan+ｃ の極限：　
D.発散数列と数列とを足した数列の極限：
　　＋∞に発散する数列と下に有界な数列との和/＋∞に発散する数列と収束数列との和
　　−∞に発散する数列と上に有界な数列との和/−∞に発散する数列と収束数列との和
E.発散数列と数列とをかけた数列の極限：∞に発散する数列と正の数列との積　

※関連ページ： 数列の極限の定義/数列の上限sup下限infの性質/数列の極限の性質
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A.発散数列に定数を足した数列の極限

A-1

・数列{an}が∞に発散し、cを有限の定数とするならば、
　数列{an＋c}も∞に発散する

【関連項目】

　・数列{an}が収束するケース　
　　　
証明

　数列{an}は∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an>K)
　　これは、有限の定数cを用いて、次のように書き換えられる。
　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an>M−c ) 　…(1)
　　　　　∵K=M−cとおいた。
　　すると、∀K∈Rは、∀(M−c)∈Rであり、cは条件で既定だから、∀(M−c)∈Rとは、∀Mである。
　(1)と順序と加法の性質から、
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an+c>(M−c)+c=M ) 　　
　よって、　　
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an+c>M ) 　
　　これは、数列{an＋c}が∞に発散する ことの定義にほかならない。　




[文献]
　・証明は、D-1についての証明をカスタマイズしたもの　

　・


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A-2

・数列{an}が−∞に発散し、cを有限の定数とするならば、
　数列{an＋c}も−∞に発散する。　


【関連項目】

　・数列{an}が収束するケース　

証明

　[D-1についての証明をカスタマイズしたもの　]
　数列{an}は−∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an<K)
　　これは、有限の定数cを用いて、次のように書き換えられる。
　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an<M−c ) 　…(1)
　　　　　∵K=M−cとおいた。
　　　　すると、∀K∈Rは、∀(M−c)∈Rであり、cは条件で既定だから、∀(M−c)∈Rとは、∀Mである。
　(1)と順序と加法の性質から、
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an+c<(M−c)+c=M ) 　　
　よって、　　
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒  an+c<M ) 　
　　これは、数列{an＋c}が−∞に発散することの定義にほかならない。

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B.発散数列を定数倍した数列の極限
B-0. 発散数列の符号を逆転させた数列の極限

「数列{an}が∞に発散する」ことと、「数列{−an}が−∞に発散する」ことは同値。
　an→＋∞ ( n→＋∞ )　 ⇔　−an→−∞ ( n→＋∞ )　

【関連項目】

　・数列{an}が収束するケース　

（証明）
　[永倉宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.7(pp.96-7):証明付]　
・an→＋∞ ( n→＋∞ )　の定義は、
　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an>K ) …(1)
・実数の反数の順序の性質より、an>Kならば −an<−K　だから、
　(1)が成り立つならば、
　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒−an <−K ) …(2)
　が成り立つ。　
　(2)について。
　　　(∀K∈R)つまりKはどんな実数でもよいのだから、
　　　　　Kをいじって、−Kもどんな実数にでもできる、つまり、(∀−K∈R) 。
　−K=Mとおくと、
　(1)が成り立つならば、
　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒−an<M) …(2')
　が成り立つ。　　
・(2')は、−an→−∞ ( n→＋∞ )　の定義そのものだから、
　(1)が成り立つならば、−an→−∞ ( n→＋∞ )　　　
（証明：an→＋∞ ( n→＋∞ )⇒−an→−∞ ( n→＋∞ )　）
　[永倉宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.7(pp.96-7):証明付]　
・−an→−∞ ( n→＋∞ )の定義は、
　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒−an<M) …(1)
・実数の反数の順序の性質より、−an <Mならば  an>−M　だから、
　(1)が成り立つならば、
　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒an>−M) …(2)
　が成り立つ。
　(2)について。
　　　(∀M∈R)つまりMはどんな実数でもよいのだから、
　　　　　Mをいじって、−Mもどんな実数にでもできる、つまり、(∀−M∈R) 。
　−M=Kとおくと、
　(1)が成り立つならば、
　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an>K) …(2')
　が成り立つ。　　
・(2')は、an→＋∞ ( n→＋∞ )　　の定義そのものだから、
　(1)が成り立つならば、an→＋∞ ( n→＋∞ )　　




[文献]
　・永倉宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.7(pp.96-7):証明付　

　


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B-1.正の無限大に発散する数列と正の定数との積の極限
　　[黒田『微分積分学』問題2.5.6略解(p.411)はこれを前提している]
条件1:数列{an}が∞に発散する
かつ
条件2:定数z>0を満たす
ならば、
数列{zan}も∞に発散する　　　

【関連項目】

　・数列{an}が収束するケース　

（証明）
[自力]
・条件1:数列{an}は∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒  an>K) …(1)
・条件2：z>0と(1)より、実数における順序と乗法の性質　より、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan>zK)
　ここで、(∀K∈R)つまりKはどんな実数でもよいのだから、
　　　　　Kをいじって、zKもどんな実数にでもできる、つまり、(∀zK∈R) 。
　zK=Mとおくと、
　　　　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan>M)
　これは、数列{zan}が∞に発散することの定義にほかならない。　
※　z≧1,an≧0ならば、zan ≧an だから、
　　＋∞に発散する数列より小さくならない数列は＋∞に発散するを用いて、
　　zan→∞　
　　と簡単にいえるが、0<z<1でzan<an のときもあるので、上のような論理になる。　　

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B-2.正の無限大に発散する数列と負の定数との積の極限　

条件1:数列{an}が∞に発散する、かつ、条件2:定数z<0を満たす
ならば、
数列{zan}は−∞に発散する　　　

【関連項目】

　・数列{an}が収束するケース　

（証明）
[自力]
・条件1:数列{an}は∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒  an>K) …(1)
・条件2：z<0と(1)より、実数における順序と乗法の性質から、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan<zK)
　ここで、(∀K∈R)つまりKはどんな実数でもよいのだから、
　　　　　Kをいじって、zKもどんな実数にでもできる、つまり、(∀zK∈R) 。
　zK=Mとおくと、
　　　　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan<M)
　これは、数列{zan}が−∞に発散することの定義にほかならない。
　
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B-3.負の無限大に発散する数列と正の定数との積の極限

条件1:数列{an}が−∞に発散し、
かつ
条件2:定数z>0を満たす
ならば、
数列{zan}も−∞に発散　　　

【関連項目】

　・数列{an}が収束するケース　

（証明）
[自力]
・条件1:数列{an}は−∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an<K) …(1)
・条件2：z>0と(1)より、実数における順序と乗法の性質　より、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan<zK)
　ここで、(∀K∈R)つまりKはどんな実数でもよいのだから、
　　　　　Kをいじって、zKもどんな実数にでもできる、つまり、(∀zK∈R) 。
　zK=Mとおくと、
　　　　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan<M)
　これは、数列{zan}が−∞に発散ことの定義にほかならない。　　

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B-4.負の無限大に発散する数列と負の定数との積の極限


条件1:数列{an}が−∞に発散し
かつ
条件2:定数z<0を満たす
ならば、
数列{zan}も∞に発散する　　

【関連項目】

　・数列{an}が収束するケース　

（証明）
[自力]
・条件1:数列{an}は−∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an<K) …(1)
・条件2：z<0と(1)より、実数における順序と乗法の性質から、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan>zK　)
　ここで、(∀K∈R)つまりKはどんな実数でもよいのだから、
　　　　　Kをいじって、zKもどんな実数にでもできる、つまり、(∀zK∈R) 。
　zK=Mとおくと、
　　　　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒zan>M)
　これは、数列{zan}が∞に発散することの定義にほかならない。　　
　
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C.発散数列を定数倍した数列の極限
C-1.
条件1:数列{an}が∞に発散する、
かつ、
条件2:有限の定数z>0、
かつ、
条件3:cは有限の定数
が満たされるならば、
数列{zan+ｃ}も∞に発散する　　　
C-2.
条件1:数列{an}が∞に発散する、
かつ、
条件2:有限の定数z<0を満たす、
かつ、
条件3:cは有限の定数
が満たされるならば、
数列{zan+ｃ}は−∞に発散する　
Ｃ-3.
条件1:数列{an}が−∞に発散し、
かつ、
条件2:有限の定数z>0を満たす、
かつ、
条件3:cは有限の定数
が満たされるならば、
数列{zan+ｃ}も−∞に発散　　

C-4.
条件1:数列{an}が−∞に発散し、
かつ、
条件2:有限の定数z<0を満たす、
かつ、
条件3:cは有限の定数
が満たされるならば、
数列{zan+ｃ}も∞に発散する　　　
　　（証明）
　　　条件1,2より、数列{zan}は∞に発散する（∵）。
　　　これと条件3より、数列{zan+ｃ}も∞に発散する（∵）。


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D.発散数列と数列との和の数列の極限
D-1.＋∞に発散する数列と下に有界な数列との和の極限　
条件1:数列{an}が∞に発散し、
かつ、
条件2:数列{bn}が下に有界
ならば、
数列{an＋bn}も∞に発散する　　　

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース　

（証明）

・数列{bn}は下に有界だから、(∀n∈N) ( bn≧L )を満たす実数L(下界)が存在する。 …(1)
・数列{an}は∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an >K)
　　これは、(1)のLを用いて、次のように書き換えられる。
　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an>M−L ) 　…(2)
　　　∵K=M−Lとおいた。
　　　　すると、∀K∈Rは、∀(M−L)∈Rであり、Lは(1)で既定だから、∀(M−L)∈Rとは、∀Mである。
(1)(2)より、
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an+bn>(M−L)+L=M ) 　　
よって、
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an+bn>M ) 　
　　これは、数列{an＋bn}が∞に発散することの定義にほかならない。





[文献]
　・黒田『微分積分学』問題2.5.6(p.55;p.411):証明つき
　・永倉宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.7(pp.96-7):証明付　

　・坂田･萬代･山原『基礎コース微分積分』§2.1数列の極限,定理2.2(p.30)証明なし



D-1'.＋∞に発散する数列と収束数列との和の極限　
条件1:数列{an}が∞に発散し、かつ、
条件2:数列{bn}が収束する　
ならば、
数列{an＋bn}も∞に発散する　　　


【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース　


（証明）
　収束する数列は有界だから、数列{bn}は有界。
　ゆえに、D-1より、数列{an＋bn}も∞に発散する。




[文献]
　・永倉宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.7(pp.96-7):証明付　

　


→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
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D-2.−∞に発散する数列と上に有界な数列との和の極限　
条件1:数列{an}が−∞に発散し、
かつ、
条件2:数列{bn}が上に有界
ならば、
数列{an＋bn}も−∞に発散する。　　　

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース　

（証明）
・数列{bn}は上に有界だから、(∀n∈N) ( bn≦L )を満たす実数L(上界)が存在する。 …(1)
・数列{an}は−∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an<K)
　　これは、(1)のLを用いて、次のように書き換えられる。
　　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an<M−L ) 　…(2)
　　　∵K=M−Lとおいた。
　　　　すると、∀K∈Rは、∀(M−L)∈Rであり、Lは(1)で既定だから、∀(M−L)∈Rとは、∀Mである。
(1)(2)より、
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an+bn<(M−L)+L=M ) 　　
よって、　　
　　(∀M∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an+bn<M ) 　
　　これは、数列{an+bn}が−∞に発散することの定義にほかならない。





[文献]
　・永倉宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.7(pp.96-7):証明付　

　・


→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
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D-2'.−∞に発散する数列と収束数列との和の極限　
条件1:数列{an}が−∞に発散し、かつ、条件2:数列{bn}が収束する　
ならば、
数列{an+bn}も−∞に発散する。

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）

　収束する数列は有界だから、数列{bn}は有界。
　ゆえに、D-2より、数列{an+bn}も−∞に発散。




[文献]
　・永倉宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.7(pp.96-7):証明付　

　・


→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
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　E.発散数列と数列との積の数列の極限


E1.∞に発散する数列と正の数列との積の極限

条件1:数列{an}が∞に発散する
かつ、
条件2:数列{bn}の任意の項について、bn≧δ>0を満たす
ならば、
数列{anbn}も∞に発散する　　


【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）　
・条件1:数列{an}は∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒an>K )
　　　∀K∈Rだから、K=0とおいても、これは成り立つので、
　　　　　　(∃N0∈N) (∀n∈N) ( n≧N0⇒ an>0 ) 　　…(1)　
・条件2: (∀n∈N) (bn≧δ>0)と(1)より、
　　　　　　 (∀n∈N) ( n≧N0⇒ anbn≧anδ) 　　…(2)　
・　　anδは∞に発散する　　（∵）　　…(3)　
・＋∞に発散する数列より小さくならない数列は＋∞に発散するから、
　(2)と(3)より、数列{anbn}から、第1項〜第(N0−1)項を除いた数列は、∞に発散する。　　
つまり、　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N>N0⇒ anbn>K )
これが成り立つならば、「数列{anbn}が∞に発散する」の定義
　　　　　(∀K∈R ) (∃N∈N ) (∀n∈N ) ( n≧N⇒ anbn>K ) 　
も成り立つ。




[文献]
　・黒田『微分積分学』問題2.5.6(p.55;p.411):証明つき

　・ 坂田･萬代･山原『基礎コース微分積分』§2.1数列の極限,定理2.2(p.30)証明なし



→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
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E2.∞に発散する数列と負の数列との積の極限


条件1:数列{an}が∞に発散する
かつ、
条件2:数列{bn}の任意の項について、bn≦δ<0を満たす
ならば、
数列{anbn}も−∞に発散する。　　　

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）
[黒田『微分積分学』問題2.5.6略解(p.411)をカスタマイズ。　]

・条件1:数列{an}は∞に発散するから、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒an>K)
　　　∀K∈Rだから、K=0とおいても、これは成り立つので、
　　　　　　(∃N0∈N) (∀n∈N) ( n≧N0⇒  an>0) 　　…(1)　
・条件2: (∀n∈N) (bn≦δ<0)と(1)と、実数の公理･条件Dより、
　　　　　　 (∀n∈N) ( n≧N0⇒ anbn≦anδ) 　　…(2)　
・anδは−∞に発散　　（∵）　　…(3)　
・−∞に発散する数列より大きくならない数列は−∞に発散するから、
　(2)と(3)より、数列{anbn}から、第1項〜第(N0−1)項を除いた数列は、−∞に発散。　　
つまり、　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N>N0⇒ anbn<K)
これが成り立つならば、「数列{anbn}が−∞に発散」の定義
　　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ anbn<K) 　
も成り立つ。




[次の文献をカスタマイズ。]
　・黒田『微分積分学』問題2.5.6(p.55;p.411) 証明付

　・坂田･萬代･山原『基礎コース微分積分』§2.1数列の極限,定理2.2(p.30)証明なし



→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
→総目次


 

E3.∞に発散する数列と正の値に収束する数列との積の極限

条件1:数列{an}が∞に発散する
かつ、
条件2:数列{bn}がβに収束し、かつ、β>0　
ならば、
数列{anbn}も∞に発散する　

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）
[鈴木『例解微分積分学演習』§1.1問題14(p.9);永倉宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』ex3.1.9(p.98)]




[文献]
　・鈴木『例解微分積分学演習』§1.1問題14(p.9)証明つき　

　・永倉宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.9(p.98):証明付



→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
→総目次


　

E4.∞に発散する数列と負の値に収束する数列との積の極限

条件1:数列{an}が∞に発散する
かつ、
条件2: 数列{bn}がβに収束し、かつ、β<0　
ならば、
数列{anbn}は−∞に発散する。　　　

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）

[永倉宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』ex3.1.9(p.98)]




[文献]
　・鈴木『例解微分積分学演習』§1.1問題14(p.9)証明つき　

　・永倉宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』§3.1-ex3.1.9(p.98):証明付s

　

→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
→総目次



E5.−∞に発散する数列と正の数列との積の極限
　
条件1:数列{an}が−∞に発散し、
かつ、
条件2:数列{bn}の任意の項について、bn≧δ>0を満たす
ならば、
数列{anbn}も−∞に発散　

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース
 
（証明）
[黒田『微分積分学』問題2.5.6略解(p.411)をカスタマイズ]
・条件1:数列{an}は−∞に発散から、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an<K)
　　　∀K∈Rだから、K=0とおいても、これは成り立つので、
　　　　　　(∃N0∈N) (∀n∈N) ( n≧N0⇒  an<0) 　　…(1)　
・条件2: (∀n∈N) (bn≧δ>0)と(1)より、
　　　　　　 (∀n∈N) ( n≧N0⇒ anbn≦anδ) 　　…(2)　
・　　anδは−∞に発散する　　（∵）　　…(3)　
・−∞に発散する数列より大きくならない数列は−∞に発散するから、
　(2)と(3)より、数列{ anbn}から、第1項〜第(N0−1)項を除いた数列は、−∞に発散。　　
つまり、　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N>N0⇒ anbn<K)
これが成り立つならば、「数列{anbn}が−∞に発散」の定義
　　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ anbn<K) 　
も成り立つ。




以下の文献を自力でカスタマイズ。
　・黒田『微分積分学』問題2.5.6(p.55;p.411)

　・ 坂田･萬代･山原『基礎コース微分積分』§2.1数列の極限,定理2.2(p.30)証明なし



→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
→総目次




　
E6.−∞に発散する数列と負の数列との積の極限

条件1:数列{an}が−∞に発散し、
かつ、
条件2:数列{bn}の任意の項について、bn≦δ<0を満たす
ならば、
数列{anbn}も∞に発散する　　　

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）

[黒田『微分積分学』問題2.5.6略解(p.411)をカスタマイズ]
・条件1:数列{an}は−∞に発散から、
　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ an <K)
　　　∀K∈Rだから、K=0とおいても、これは成り立つので、
　　　　　　(∃N0∈N) (∀n∈N) ( n≧N0⇒ an <0) 　　…(1)　
・条件2: (∀n∈N) (bn≦δ<0)と(1)より、
　　　　　　 (∀n∈N) ( n≧N0⇒ anbn≧anδ) 　　…(2)　
・　　anδは∞に発散するする　　（∵）　　…(3)　
・＋∞に発散する数列より小さくならない数列は＋∞に発散するから、
　(2)と(3)より、数列{anbn}から、第1項〜第(N0−1)項を除いた数列は、∞に発散する。　　
つまり、　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N>N0⇒ anbn>K)
これが成り立つならば、「数列{anbn}が∞に発散する」の定義
　　　　　(∀K∈R) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ anbn>K) 　
も成り立つ。




以下の文献を自力でカスタマイズ。
　・黒田『微分積分学』問題2.5.6(p.55;p.411)

　・ 坂田･萬代･山原『基礎コース微分積分』§2.1数列の極限,定理2.2(p.30)証明なし



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E7.−∞に発散する数列と正の値に収束する数列との積の極限

条件1:数列{bn}が−∞に発散
かつ、
条件2:数列{an}がα>0に収束
ならば、
数列{anbn}も−∞に発散

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）
[松坂『解析入門1』§2.1数列-E-定理3-注意(pp.64-5)　]




[文献]
　・松坂『解析入門1』§2.1数列-E-定理3-注意(pp.64-5)　

　



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E8.−∞に発散する数列と負の値に収束する数列との積の極限

条件1:数列{bn}が−∞に発散
かつ、
条件2:数列{an}がα<0に収束
ならば、
数列{anbn}も＋∞に発散

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース

（証明）

[松坂『解析入門1』§2.1数列-E-定理3-注意(pp.64-5)　]




[文献]
　・松坂『解析入門1』§2.1数列-E-定理3-注意(pp.64-5)をカスタマイズ　

　

 
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F.発散数列と数列との商

  anが正の∞に発散、bn＞０かつ上に有界ならば、an/bnも正の無限大に発散

【関連項目】

　・数列 {an} {bn} が収束するケース　
　
→[トピック一覧：発散数列との演算の極限]
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（reference）

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年。項目166(pp436).
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、pp.6-11.
解析学のテキスト
小平邦彦『解析入門I』岩波書店、2003年、p.22；26;38-40。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.7-13.
高木貞治『解析概論改訂第三版』岩波書店
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.173-174.
杉浦光夫『解析入門Ｉ』東京大学出版会、1980年、pp.23-29.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、§2.5.4極限と順序の関係(pp.49-51)。
（未入手文献：駒場図書館）
坂田定久･萬代武史･山原英男『基礎コース微分積分』学術図書出版社、2003年。Isbn:4-87361-272-1.駒場図書館413.3:Sa37.。§2.1数列の極限,定理2.2(p.30)証明なし。
鈴木義也（東北大教授）他編『例解　微分積分学演習』共立出版、1992年。Isbn:4-320-01456-1.駒場図書館413.3:R25。§1.1実数と数列―演習問題・問題14(p.9)。証明つき。
永 倉安次郎･宮岡悦良（1927年生まれ北大卒の元理科大教授。1955年生まれバークレイPh.Dの理科大教授）『解析演習ハンドブック[1変数関数 編]』朝倉書店、2004年。Isbn:4-254-11103-7. 駒場図書館413:N14:1。§3.1数列―演習問題3.1-ex3.1.7和:証明つき(pp.96-7);ex3.1.9:積:証明つき (p.98)。
松坂和夫『解析入門1』岩波書店、1997年。Isbn:4-00-006611-0.駒場図書館:413:Ma92:1。§2.1数列-D.拡大実数系(p.62)。-E四則と極限-定理3-注意(pp.64-5)。証明は、積についてのみ。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64
岡田章『経済学・経営学のための数学』東洋経済新報社、2001年、1.2節数列の極限(pp.5-15)。
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