「自然対数の底」「ネピア数」 e : トピック一覧

 ・eの存在証明 
 ・eの定義  
 ・定理
lim
x→∞, xR
  (  1 + 
 x
  )
x

 = e 
 ・定理:
lim
x→−∞, xR
  (  1 + 
 x
  )
x

 = e 

総目次

 

定理:eの存在

 数列an=( 1 + 1/n ) n (n =1,2,3…) は収束する

(証明)
 吹田・新保『理工系の微分積分学p.11
 
   
 an = 
n
Σ
k=0
{  nC k  (
 n
)
k

}

   
  =nC0 
(
 n
)
0

 + 
n
Σ
k=1
{  nC k   (
 n
)
k

}  

   
   = 1 + 
n
Σ
k=1
(
n!
 k! (n−k)! 
 
nk
)
   ∵combinationの定義 

   
   = 1 + 
n
Σ
k=1
(
1
 k! 
 
n!
nk(n−k)
)
   

   
   = 1 + 
n
Σ
k=1
(
1
 k! 
 
 n(n−1)(n−2)…{n−(k−1)} 
 nk
)
   

   
   = 1 + 
n
Σ
k=1
(
1
 k! 
 
 n−
 n
 
 n−
 n
 
 n−
 n
 … 
 n−(k−1) 
 n
)
   

   
   = 1 + 
n
Σ
k=1
{
1
 k! 
 ( 1 − 
0
n
 )  ( 1 − 
1
n
 )  ( 1 − 
2
n
 ) … ( 1 − 
k−1
n
 ) 
}
   

               ※ { } 内は、k≧4を想定して書いてしまったので、ちょっと…。

   
   = 1 + 
 1 
 1! 
 ( 1 − 
0
n
 ) + 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
n
 ) + 
 1
 3! 
 ( 1 − 
1
n
 ) ( 1 − 
2
n
 ) + … + 
{
1
 n! 
 ( 1 − 
1
n
 )  ( 1 − 
2
n
 ) … ( 1 − 
n−1
n
 ) }     …(1)  

  つまり、

   
 a1 = 1 + 
 1 
 1! 
 ( 1 − 
0
1
 ) = 2    

   
 a2 = 1 + 
 1 
 1! 
 ( 1 − 
0
2
 ) + 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
2
 )  = 2 + 
 1 
 2 
 
1
 2 
 

   
 a3 = 1 + 
 1 
 1! 
 ( 1 − 
0
3
 ) + 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
3
 ) + 
 1 
 3! 
 ( 1 − 
1
3
 ) ( 1 − 
2
3
 ) = 2 + 
1
2
 
2
3
 + 
1
3・2
 
2
3
 
1
3
   
   
 a4 = 1 + 
 1 
 1! 
 ( 1 − 
0
4
 ) + 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
4
 ) + 
 1 
 3! 
 ( 1 − 
1
4
 ) ( 1 − 
2
4
 ) + 
1
4!
 ( 1 − 
1
4
 )  ( 1 − 
2
4
 ) ( 1 − 
3
4
 )  

 
 = 2 + 
1
2
 
3
4
 + 
 1 
 3・2 
 
3
4
 
2
4
 + 
1
4・3・2
 
3
4
 
2
4
 
1
4
 
 
 
    : 
    : 
   
 an   =  1  +  
 1 
 1! 
 ( 1 − 
0
n
 )  +  
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
n
 ) + 
 1
 3! 
 ( 1 − 
1
n
 ) ( 1 − 
2
n
 ) + … +  
{
1
 n! 
 ( 1 − 
1
n
 )  ( 1 − 
2
n
 ) … ( 1 − 
n−1
n
 ) }  
    : 
    : 
 数列{an} は、増加列。 …(2)
 なぜなら、
  1. 展開式の全ての項は正である。
  2. nが増えるに従い、展開式の同じ位置にある項の大きさは大きくなる。

   たとえば、

   ・展開式の第3項は、

   
  n =2 で、 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
2
 )  

   
  n =3 で、 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
3
 )  

   
  n =4 で、 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
4
 ) 
    :
    :
   
  n =n で、 
 1 
 2! 
 ( 1 − 
1
n
 ) 
    :
    :
    つまり、1/2・1/2, 1/2・2/3, 1/2・3/4,…,1/2・(n−1) n,…
    1/2にかける相手が、nの増大に伴い1/2から1に近づいていくので、
    展開式の第3項全体は、nが増えるに従い、確かに大きくなっていっている。

   ・展開式の第4項目は

   
  n =3 で、 
 1 
 3! 
 ( 1 − 
1
3
 ) ( 1 − 
2
3
 ) 
   
   
  n =4 で、 
 1 
 3! 
 ( 1 − 
1
4
 ) ( 1 − 
2
4
 ) 
    : 
    : 
   
  n =n で、  
 1
 3! 
 ( 1 − 
1
n
 ) ( 1 − 
2
n
 )  
    : 
    : 
    つまり、1/3!・2/3・1/3,  1/3!・3/4・2/4,
        1/3!・4/5・3/5 ,…,1/3!・99/100・98/100 ,…,1/3!・999/1000・998/1000 ,…  
    1/3!にかける相手が、nの増大に伴い2/3・1/3から1に近づいていくので、
    第4項全体は、nが増えるに従い、確かに大きくなっていっている。

  3. nが増えるに従い、このような性格をもつ項の総数も増えてゆく
   たとえば、n =2で anの展開式は3項からなる、
       n =3で anの展開式は4項からなる、
       n =4で anの展開式は5項からなる、
         :
         : 
 数列{an} は、上に有界。 …(3)

  なぜなら、


 an   ≦  1 + 
 1! 
 + 
2!
 + 
1
3!
  + … +  
1
 n! 
    ∵@で、1/k! と掛け合わせる相手は0より大きく1以下。 


 ≦  1 + 
1
1
 + 
1
2
 + 
1
22
  + … +  
1
2n-1
    ∵  k!k・(k−1)・(k−2)・…・3・2>2・2・2…・2・2=2k-1     


  =  1 + 
 1 −  (
1
2
) n

 1 − 
1
2
 
   ∵ 等比数列の和  


  = 1 + 2 
{
 1 −  (
1
2
) n
}   = 1 + 2 − 2 
1
2n
    


   = 3 − 
1
2n-1
 <3       ∵ n=1で3−1、n=2で3−1/2、…、n→∞で3−0   
  
  (2)(3)より、数列{an} は収束する。 
    ∵定理:有界な単調数列は収束する


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定義:eの定義

 
 数列 an =   (  1 + 
 n
  )
n

 は収束するが (→この数列が収束することの証明)、

 その極限値


lim
n→∞, nN
  (  1 + 
 n
  )
n



 をeで表し、これを「自然対数の底」、あるいは「ネピアNapier」という。

      [吹田・新保『理工系の微分積分学p.11;青本『微分と積分1pp.24-25]

 ※小平『解析入門Ipp.43-44, 青本『微分と積分1 pp.24-25では、
     

Σ
n=0
 
n!
 = 1 + 
!
 + 
2!
 + 
3!
 + … + 
n!
 + …  
  をeの定義とし、これが上記の式と等しくなることを示している。 

  青本『微分と積分1 pp.24-25は、かなり一般的なかたちで論を展開しており、非常に有益。  


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定理:  


lim
x→∞, xR
  (  1 + 
 x
  )
x

 = e 


(証明)  吹田・新保『理工系の微分積分学p.29、和達『微分積分p.30; 
 
  実数x>1として、n = [x] とおく。  
              *  [x] ガウス記号実数xに対して、xを超えない最大の整数を表す。
  すなわち、1≦ nxn+1        …(1)
  (1)より、 0< 1/(n+1) < 1/x ≦1/n ≦1 …(2)
  (1)(2)より、 
(  1 + 
 n+1 
 )
n

  < (  1 + 
 x 
 )
x

 < ( 
 1 + 
 n 
 )
n+1

   …(3)


   
lim
n→∞
 (  1 + 
 n+1 
 )
n

 = 
lim
n→∞
  { (  1 + 
 n+1 
 )
n+1

 
 1 + 
 n+1
 )
-1

 } 


   
 = 
lim
n→∞
   (  1 + 
 n+1 
 )
n+1


lim
n→∞
 
 1 + 
 n+1
 )
-1

 ∵定理:数列の積の極限値  


   
 = 
lim
n→∞
   (  1 + 
 n+1 
 )
n+1




lim
n→∞
 
1+
 n+1
 )
 ∵定理:数列の商の極限値  


   
 = 
lim
n→∞
   (  1 + 
 n+1 
 )
n+1

1 
 1 + 
lim
n→∞
 n+1


 
 ∵定理:数列の和の極限値 

                      = e    …(4)       ∵eの定義1/(n+1)→0 (n→∞) 


   
lim
n→∞
 (  1 + 
 n 
 )
n+1

 = 
lim
n→∞
  { (  1 + 
 n 
 )
n

 
 1 + 
 n
 )  } 


   
 = 
lim
n→∞
   (  1 + 
 n 
 )
n


lim
n→∞
 
 1 + 
 n
 )  ∵定理:数列の積の極限値  



 =  
lim
n→∞
  (  1 + 
 n 
 )
n

  ( 1 + 
lim
n→∞
 n 
 
    
   ∵定理:数列の和の極限値  

                      = e    …(5)  ∵eの定義1/n→0 (n→∞) 

  x→∞のとき、n→∞だから、(4)(5)より、
   《(3)の左右の項》→e  
  つまり、x→∞で、

  e < (  1 + 
 x 
 )
x

 < e 


  よって、
lim
x→∞, xR
  (  1 + 
 x
  )
x

 = e 


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定理:


lim
x→−∞, xR
  (  1 + 
 x
  )
x

 = e 

(証明)  吹田・新保『理工系の微分積分学p.29、和達『微分積分p.30; 

  t= −xとおく。

  すると、
  x→−∞のとき、t→∞。  …(1)
  
(  1 + 
 x 
 )
x

 =(  1 − 
 t 
 )
-t

=( 
 t−1 
 t
 )
-t

=(
 t  
 t−1 
 )
t

=(
 t−1+1 
 t−1 
 )
t

=(  1 + 
 1 
 t−1 
 )
t

=(  1 + 
 1 
 t−1 
 )
t-1

 (  1 +   
 1 
 t−1 
 )    …(2)


lim
x→−∞
  (  1 + 
 x
  )
x

  


 = 
lim
t→∞
  { (  1 + 
 t−1
 )
t-1

   1 + 
 t−1
 ) }
    
   ∵(1)(2)  


 =  
lim
t→∞
  (  1 + 
 t−1
 )
t-1

 ・ 
lim
t→∞
  (  1 + 
 t−1
 
    
   ∵定理:数列の積の極限値  


 =  
lim
t→∞
  (  1 + 
 t−1
 )
t-1

  ( 1 + 
lim
t→∞
 t−1
 
    
   ∵定理:数列の和の極限値  

    = e     ∵ (1+1/x)xe (x→∞) 、 1/n→0 (n→∞)     


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(reference)

吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用 高等学校 微分・積分 新訂版』啓林館.pp.60-62.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年, p.11(eに収束する証明);29;38(微分);47(級数展開,無理数であることの証明) 。
矢野・田代『社会科学者のための基礎数学 改訂版』裳華房、1993年.p.84-85.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年,p.21;30-31;49(微分);
青本和彦『岩波講座現代数学への入門:微分と積分1』 岩波書店、1995年、pp.24-25。
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp.43-44。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984.pp.274-282.