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【設定】R: 実数体 x+y : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。 xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 【本題】どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、( x+y ) z = xz+yz , z( x+y )= zx+zy が成り立つ。 つまり、 ∀x,y,z∈R にたいして、 ( x+y ) z = xz+yz ∀x,y,z∈R にたいして、 z( x+y )= zx+zy 【なぜ?】実数体の定義-条件A-4より、 ・( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) z = xz+yz , z( x+y )= zx+zy ) ) を満たす代数系Xを実数体Rとよび、 ・実数体Rの元を実数と呼ぶ のだから、 ( ∀x,y,z∈R ) ( ( x+y ) z = xz+yz , z( x+y )= zx+zy ) ) は必ず成り立つ。 成り立たなければ、それらは実数ではない。。 |
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【設定】R: 実数体 xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 【本題】どんな実数でも、0との積は0。 つまり、 ∀x∈R にたいして、 0x=x0=0 【なぜ?】step1: 0+0=0 ∵任意の実数と0との和は0 だから、 (0+0)x=0x …(1) step2: 分配則より、(0+0)x=0x+0xだから、 これで、(1)の左辺を書きかえると、 0x+0x=0x …(2) step3: (2)の両辺に、‐(0x)を加えて、 0x=0 [→永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)] [→杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1vi(p.2)] [→神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1(1)(p.63)] |
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【設定】R: 実数体 xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 【本題】どんなふうに、実数x,yを選んでも、(xy)-1=y-1x-1。 つまり、、∀x,y∈R にたいして、(xy)-1=y-1x-1 【なぜ?】永田『代数学入門』定理1.3.3(p.9)参照。 |
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【設定】R: 実数体xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 【本題】どんなふうに、実数x,yを選んでも、(-x)y=x(-y)=-xy。つまり、∀x,y∈R にたいして、 (-x)y=x(-y)=-xy
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【設定】R: 実数体xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 【本題】どんなふうに、実数x,yを選んでも、(-x)(-y)=xy。つまり、∀x,y∈R にたいして、(-x)(-y)=xy
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