1変数ベクトル値関数の微分　　

　・定義：微分可能・微分係数[要旨/表現1/表現2]/導関数　
　・定理：微分可能と連続//　

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　※微分定義関連ページ：1変数関数の微分/2変数関数の偏微分/高次の偏微分/微分演算子
　※n変数ベクトル値関数の微分の応用：合成関数の微分/陰関数定理/逆関数定理/
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定義：1変数ベクトル値関数の微分可能、微分係数



・ 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)　についても、
　　微分可能、微分係数を定義できる。
・「 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)はx0で微分可能である」とは、
　　　
　が存在すること、
　つまり、　
　実数hを０に近づけると、
　　　実m次元数ベクトルの差　f (x0+t)－f (x0 )　　
　　　に実数(1/h)だけスカラー倍してできた
　　　　　　　
　　（値は、実m次元数ベクトルになる）　
　が、　　
　収束することをいい、
　このとき、
　　実m次元数ベクトル
　　　　　
　　を、
　「x0における 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (t)の微分係数・接ベクトル」
　という。


[文献]
・杉浦『解析入門I』Ⅱ§1定義1(p.82); 定義2(p.85).
・Rudin『現代解析学』5.16(p.111).
・斎藤『線型代数入門』7章§1(pp.203-4);


※関連：
　《1変数ベクトル値関数の微分可能・微分係数》の《1変数実数値関数の微分可能・微分係数》への還元
　


・「x0における 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (t)の微分係数・接ベクトル」を、
　以下の記号で表す
　　　　f ' (x0)　　　　　
　　　　　　
　 　

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定理：1変数ベクトル値関数の微分可能と連続性


定理


1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)はx0で微分可能である
ならば、
 (y1,y2,…,ym)= f (t)はx0で連続。


[文献]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§1命題1.2(p.83).

※

 　 　
　 　

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定理：1変数ベクトル値関数の微分可能・微分係数の、1変数実数値関数の微分可能・微分係数への還元


定理


1. 以下の命題P,命題Qは同値。
　命題P：
　　 1変数m値ベクトル値関数
　　　　(y1,y2,…,ym)=(f1 ( t ), f2 ( t ),…, fm ( t ))= f (t)
　　はx0で微分可能
　命題Q：
　　１変数実数値関数y1 =f1 ( t )　は、x0で微分可能。　
　　かつ　
　　１変数実数値関数y2 =f2 ( t )　は、x0で微分可能。　
　　かつ　
　　　：　
　　　：
　　かつ　
　　１変数実数値関数ym =fm ( t )　は、x0で微分可能。　

2.上記の命題P,命題Qが成り立つならば、
　　「x0における 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym) =(f1 ( t ), f2 ( t ),…, fm ( t ))=f (t)の微分係数」
　は、
　　　1変数関数 f1, f2,…, fmの「x0における微分係数」を並べた実m次元数ベクトル　
　に等しい。　
　つまり、命題P,命題Qが成り立つならば、　
　　　　f ' (x0)　= (　f1' ( x0 ), f2' ( x0 ),…, fm ' ( x0 )　)


[文献]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§1命題1.1(p.83)：証明付.


証明

 　 　
　 　

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定義：区間Ｉ上で微分可能

　


「 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)は、区間I上で微分可能」
とは、
 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)が、
区間Iの各点で微分可能であることをいう。
ただし、Iの端点がIに属しているとき、そこでは片側微分係数をもつだけでよい。

 　
　 　 　

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定義：導関数derivative


定義


1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)が
区間I上で微分可能であるとき、
x0∈Iにおける微分係数
　　　
の値（実m次元数ベクトルになる）は、
x0によって変わってくるから、x0の関数。
x0をxと書き直したI上の 1変数m値ベクトル値関数f’(x)を
f(x)の導関数derivativeと呼ぶ。
 (記法)
　　　 y=f(x)の導関数の表記の例
　　　　f’(x)、、、y'、

　

[文献]
・杉浦『解析入門I』Ⅱ§1定義1 (p.82).

　 　 　

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定義：右微分可能differentiable from right・右微分係数


定義1


1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)と、
実数x0について、
右極限
　　
（値は、実m次元数ベクトルになる）
が存在するとき、
「 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)は、t= x0で右微分可能である」という。
この極限値を「右(方)微分係数」と呼び、
　　　　f’(x0＋0)、f’＋(x0)
などと書く。

[文献]
・杉浦『解析入門I』Ⅱ§1定義3 (p.87).

※類概念：1変数関数の微分可能･微分係数/右連続/右極限　
　


　
　 　 　

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定義：左微分可能differentiable from left・左微分係数


定義1



1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)と、
実数x0について、
左極限
　　
（値は、実m次元数ベクトルになる）
が存在するとき、
「 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)は、t= x0で右微分可能である」
という。
この極限値を「左(方)微分係数」と呼び、
f’(x0－0)、 f’－(x0)と書く。

　

[文献]
・杉浦『解析入門I』Ⅱ§1定義3 (p.87).

※類概念：
　1変数関数の微分可能･微分係数/左連続/左極限
　 　 　
　 　 　

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定義：片側微分係数

　


片側微分係数とは、
左微分係数、右微分係数の総称。

 　
　 　 　

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