n変数関数の最大値最小値定理・中間値定理トピック一覧  

 ・有界閉集合上の性質:連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/最大値・最小値定理
            
関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fDにおいて一様連続 
 
・連結な集合上の性質:中間値定理/連続関数による領域の像は区間/連続関数による閉領域の像は閉区間   

 n変数関数に関する諸概念の定義: n変数関数/極限/極限の性質/連続/偏微分/全微分/ 
 
具体例:1変数関数のケース/2変数関数の最大値最小値定理・中間値定理/
 一般化:ベクトル値関数のケース/実数値関数一般のケース/距離空間のあいだの写像のケース 
 
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ハイネの定理:有界閉集合上連続なn変数関数はそこで一様連続

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 
Step1 n次元空間Rnを用意する。
    
* n次元空間Rnとは、
      
実数n個並べた組 (x1,x2,,xn ) をすべてあつめた集合。
      
n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2
n次元空間Rnユークリッド距離dnを定めて、
          
ユークリッド空間(Rn,dn)を設定。
Step3 n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
    つまり、「
DRn
    
*Dは、「n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。
Step4 n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。
    つまり、
f : DR DRn )、z=f(P) ( zR, PRn )
            
z=f(x1,x2,,xn ) ( zR, (x1,x2,,xn )Rn ) 
    
*fは「D属すn次元数ベクトルから実数への対応付け」
                         だとも言える。
Step5:「 n次元空間Rn点集合D」に属すを、
                 
P= (x1,x2,,xn )と名づける。
    つまり、「
PDRn」  
    
*Pは、「D属すn次元数ベクトル」といってもよい。


[予備知識]点での連続性/Dで連続:δが各AD毎にちがっていてもよい/Dで一様連続:すべてのADに共通なδ
[具体例]1変数関数のケース/2変数関数のケース
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース

[文献]
木『
解析概論』定理14(p.27)証明付;
吹田・新保『理工系の微分積分学p. 160.
小平『解析入門U』§6.4(p.309):2変数関数と同様に成立とだけ。
杉浦『
解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226):ベクトル値関数一般・証明付;
ルディン『現代解析学4.19(p.88):距離空間一般上:証明付。
斉藤『
数学の基礎:集合・数・位相3.4.18 (p.90)

定理

命題P
 「 n変数関数f (P)=f (x1,x2,,xn)が『Rn上の点集合Dで連続である」
が成り立ち、
かつ
命題
Q
 「『Rn上の点集合D有界な閉集合である」
が成り立つ
ならば
命題
R n変数関数f (P)=f (x1,x2,,xn)は『Rn上の点集合Dで一様連続

[予備情報]
・命題
QRn上の点集合D有界な閉集合である」
 
命題Q'Rn上の点集合D点列コンパクト
   
(ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) 

証明

2変数関数に限定:小平『解析入門U』定理6.2(p.262)
n
変数関数一般:木『解析概論』定理14(p.27)証明付
ベクトル値関数一般:杉浦『
解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226)
距離空間から距離空間への関数一般:ルディン『現代解析学4.19(p.88)

関連事項:点での連続性D上で連続 / 1変数関数の一様連続性 

     

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n変数関数の中間値定理 intermediate value theorem

要旨

Dで連続 n変数関数fは、f (Q)f (R)とすると、D上でf (Q)f (R)の間の全ての値をとる。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 
Step1 n次元空間Rnを用意する。
    
* n次元空間Rnとは、
      
実数n個並べた組 (x1,x2,,xn ) をすべてあつめた集合。
      
n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2
n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。
    
*普通は、 n次元空間Rnユークリッド距離を与えた
                 
ユークリッド空間を考える。
Step3 n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
    つまり、「
DRn
    
*Dは、「n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。
Step4 n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。
    つまり、
f : DR DRn )、z=f(P) ( zR, PRn )
            
z=f (x1,x2,,xn ) ( zR, (x1,x2,,xn )Rn ) 
    
*fは「D属すn次元数ベクトルから実数への対応付け」
                         だとも言える。
Step5:「 n次元空間Rn点集合D」に属すを、
              
P= (x1,x2,,xn )と名づける。
    つまり、「
PDRn」  
    
*Pは、「D属すn次元数ベクトル」といってもよい。
Step6:「 n次元空間Rn点集合D」に属すを、
      
Q= (xq1,xq2,,xqn ) , R= (xr1,xr2,,xrn ) と名づける。
    つまり、「
Q,RDRn」  
    
*Q,Rは、「D属すn次元数ベクトル」といってもよい。


[具体例]1変数関数の中間値定理/2変数関数の中間値定理 
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース

[文献]
高橋『
経済学とファイナンスのための数学』定理5.1.3(p.145):n変数実数値関数;
木『
解析概論』定理12(pp.26-7):証明付
吹田・新保『
理工系の微分積分学6章U-7(p. 161):証明は2変数関数のケースだけ.
杉浦『解析入門II-8-問題13(p.80);解答.(p.405):木と同じ.

定理

n変数関数f (P)f (x1,x2,,xn )が、『Rn上の弧状連結な点集合Dで連続 ならば
「『
Rn上の弧状連結な点集合D属しかつf (Q)f (xq1,xq2,,xqn )<f (R)f (xr1,xr2,,xrn )」を満たす限りで任意のQ= (xq1,xq2,,xqn ) ,R= (xr1,xr2,,xrn )にたいして、
「『
f (Q)f (xq1,xq2,,xqn ) < c <f (R)f (xr1,xr2,,xrn )』を満たす限りで任意の実数cにたいして、
  『
Rn上の弧状連結な点集合D属しかつf (S)f (xs1,xs2,,xsn)=c』を満たすS=(xs1,xs2,,xsn)が存在する。」
が成立する。
論理記号で表すと、
f (P)f (x1,x2,,xn)が、『Rn上の弧状連結な点集合Dで連続
  
( Q,R D ) (f (Q)<f (R) ( cR ) ( f (Q) < c <f (R) (SD ) ( f (S) c ) ) )

   
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定理:n変数連続関数による領域の像は、区間

要旨

Rn上の領域Dで連続 n変数関数によるDの像は「R上の区間」。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 
Step1 n次元空間Rnを用意する。
    
* n次元空間Rnとは、
      
実数n個並べた組 (x1,x2,,xn ) をすべてあつめた集合。
      
n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2
n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。
    
*普通は、 n次元空間Rnユークリッド距離を与えた
                 
ユークリッド空間を考える。
Step3 n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
    つまり、「
DRn
    
*Dは、「n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。
Step4 n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。
    つまり、
f : DR DRn )、z=f(P) ( zR, PRn )
            
z=f(x1,x2,,xn ) ( zR, (x1,x2,,xn )Rn ) 
    
*fは「D属すn次元数ベクトルから実数への対応付け」
                         だとも言える。。


[具体例]2変数関数のケース 
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース

[文献]
小平『
解析入門U』定理6.4(p.263):2変数関数のケース;
ルディン『現代解析学4.22(p.91)距離空間一般上。

定理

命題P n変数関数 f : DR DRn )が、Rn上の点集合Dで連続である」が成り立ち、
かつ
命題
QRn上の点集合D領域である」が成り立つ
ならば
命題
R n変数関数f によるDの像 f (D)は、R上の区間である」が成り立つ。

     

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定理:n変数連続関数による有界な閉領域の像は、閉区間

要旨

Rn上の閉領域Dで連続 n変数関数によるDの像は「R上の閉区間」。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 
Step1 n次元空間Rnを用意する。
    
* n次元空間Rnとは、
      
実数n個並べた組 (x1,x2,,xn ) をすべてあつめた集合。
      
n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2
n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。
    
*普通は、 n次元空間Rnユークリッド距離を与えた
                 
ユークリッド空間を考える。
Step3 n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
    つまり、「
DRn
    
*Dは、「n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。
Step4 n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。
    つまり、
f : DR DRn )、z=f(P) ( zR, PRn )
            
z=f(x1,x2,,xn ) ( zR, (x1,x2,,xn )Rn ) 
    
*fは「D属すn次元数ベクトルから実数への対応付け」
                         だとも言える。。


[具体例]2変数関数のケース 
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース

[文献]
小平『
解析入門U』定理6.5(p.264):2変数関数のケース;
木『解析概論』定理13あと(p.27);

定理

命題P n変数関数 f : DR DRn )が、Rn上の点集合Dで連続である」が成り立ち、
かつ
命題
QRn上の点集合D有界な閉領域である」が成り立つ
ならば
命題
R n変数関数 f によるDの像 f (D)は、R上の閉区間である」が成り立つ。

     

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reference

岩波数学辞典(第三版)』項目441連続関数 (pp.1329-1331).

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.148-160.

高木貞治『解析概論 改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 26-8.

小平邦彦『解析入門II(軽装版)岩波書店、2003年、pp.260-264.

和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.115-6.

吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.160-1

杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.55-56;74-75. 極限の定義が特殊なので注意。

高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.144-146.

ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、4.5-4.24(pp.83-91)。一般の距離空間の上で論じている。

斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第3章§4数空間Rn-連続写像3.4.16-19 (p.90-92)

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