n変数関数の最大値最小値定理・中間値定理:トピック一覧 |
・有界閉集合上の性質:連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/最大値・最小値定理 関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続 ・連結な集合上の性質:中間値定理/連続関数による領域の像は区間/連続関数による閉領域の像は閉区間 |
※n変数関数に関する諸概念の定義: n変数関数/極限/極限の性質/連続/偏微分/全微分/ ※具体例:1変数関数のケース/2変数関数の最大値最小値定理・中間値定理/ ※一般化:ベクトル値関数のケース/実数値関数一般のケース/距離空間のあいだの写像のケース →総目次 |
ハイネの定理:有界閉集合上連続な n変数関数はそこで一様連続 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnにユークリッド距離dnを定めて、 ユークリッド空間(Rn,dn)を設定。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、 z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、 P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
[具体例]1変数関数のケース/2変数関数のケース [一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 木『解析概論』定理14(p.27)証明付; 吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160. 小平『解析入門U』§6.4(p.309):2変数関数と同様に成立とだけ。 杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226):ベクトル値関数一般・証明付; ルディン『現代解析学』4.19(p.88):距離空間一般上:証明付。 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.18 (p.90) |
定理 |
命題 P「 n変数関数f (P)=f (x1,x2,…,xn)が『Rn上の点集合』Dで連続である」 が成り立ち、 かつ 命題Q 「『Rn上の点集合』Dが有界な閉集合である」 が成り立つ ならば、 命題R「 n変数関数f (P)=f (x1,x2,…,xn)は『Rn上の点集合』Dで一様連続」 |
[ 予備情報]・命題Q「Rn上の点集合Dが有界な閉集合である」 ⇔命題Q'「Rn上の点集合Dが点列コンパクト」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) |
証明 |
2 変数関数に限定:小平『解析入門U』定理6.2(p.262)n変数関数一般:木『解析概論』定理14(p.27)証明付 ベクトル値関数一般:杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226) 距離空間から距離空間への関数一般:ルディン『現代解析学』4.19(p.88) |
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※ |
関連事項: 点での連続性、D上で連続 / 1変数関数の一様連続性 |
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n変数関数の中間値定理 intermediate value theorem | ||
要旨 |
D で連続な n変数関数fは、f (Q)≠f (R)とすると、D上でf (Q)とf (R)の間の全ての値をとる。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えた ユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、 z=f (x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、 P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 Step6:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す定点を、 Q= (xq1,xq2,…,xqn ) , R= (xr1,xr2,…,xrn ) と名づける。 つまり、「Q,R∈D⊂Rn」 *Q,Rは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 高橋『経済学とファイナンスのための数学』定理5.1.3(p.145):n変数実数値関数; 木『解析概論』定理12(pp.26-7):証明付 吹田・新保『理工系の微分積分学』6章U-7(p. 161):証明は2変数関数のケースだけ. 杉浦『解析入門I』I-8-問題13(p.80);解答.(p.405):木と同じ. |
定理 |
n変数関数f (P)=f (x1,x2,…,xn )が、『Rn上の弧状連結な点集合』Dで連続 ならば、 「『Rn上の弧状連結な点集合』Dに属し、かつ、f (Q)=f (xq1,xq2,…,xqn )<f (R)=f (xr1,xr2,…,xrn )」を満たす限りで任意の点Q= (xq1,xq2,…,xqn ) ,R= (xr1,xr2,…,xrn )にたいして、 「『f (Q)=f (xq1,xq2,…,xqn ) < c <f (R)=f (xr1,xr2,…,xrn )』を満たす限りで任意の実数cにたいして、 『Rn上の弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (S)=f (xs1,xs2,…,xsn)=c』を満たす点S=(xs1,xs2,…,xsn)が存在する。」 が成立する。 論理記号で表すと、 「f (P)=f (x1,x2,…,xn)が、『Rn上の弧状連結な点集合』Dで連続」 ⇒ ( ∀ Q,R ∈D ) (f (Q)<f (R) ⇒ ( ∀c∈R ) ( f (Q) < c <f (R) ⇒ (∃S∈D ) ( f (S) =c ) ) ) |
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定理:n変数連続関数による領域の像は、区間 |
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要旨 |
「 Rn上の領域」Dで連続な n変数関数によるDの像は「R上の区間」。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えた ユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、 z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。。 |
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 小平『解析入門U』定理6.4(p.263):2変数関数のケース; ルディン『現代解析学』4.22(p.91)距離空間一般上。 |
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定理 |
命題 P「 n変数関数 f : D→R (D⊂Rn )が、Rn上の点集合Dで連続である」が成り立ち、かつ 命題Q「Rn上の点集合Dが領域である」が成り立つ ならば、 命題R「 n変数関数f によるDの像 f (D)は、R上の区間である」が成り立つ。 |
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定理:n変数連続関数による有界な閉領域の像は、閉区間 | |||
要旨 |
「 Rn上の閉領域」Dで連続な n変数関数によるDの像は「R上の閉区間」。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えた ユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、 z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。。 |
[一般化]ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 小平『解析入門U』定理6.5(p.264):2変数関数のケース; 木『解析概論』定理13あと(p.27); |
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定理 |
命題 P「 n変数関数 f : D→R (D⊂Rn )が、Rn上の点集合Dで連続である」が成り立ち、かつ 命題Q「Rn上の点集合Dが有界な閉領域である」が成り立つ ならば、 命題R「 n変数関数 f によるDの像 f (D)は、R上の閉区間である」が成り立つ。 |
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(
reference)『
岩波数学辞典(第三版)』項目441連続関数 (pp.1329-1331).神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.148-160.高木貞治『
解析概論 改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 26-8.小平邦彦『
解析入門II』(軽装版)岩波書店、2003年、pp.260-264.和達三樹『
理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.115-6.吹田・新保『
理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.160-1。杉浦光夫『
解析入門』岩波書店、1980年、pp.55-56;74-75. 極限の定義が特殊なので注意。高橋一『
経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.144-146.ルディン『
現代解析学』共立出版、1971年、4.5-4.24(pp.83-91)。一般の距離空間の上で論じている。斉藤正彦『
数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第3章§4数空間Rn-連続写像3.4.16-19 (p.90-92)→
[トピック一覧:連続関数の性質]