位相空間から位相空間への連続写像：トピック一覧　　

　・連続性の定義：点での連続性/連続写像/ 同相写像･同相位相･同型　
　・連続写像の性質：合成写像の連続性、点列の収束との関連　　

※位相空間の間の連続写像の具体例：1変数関数の連続性/2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性/実数値関数の連続性/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ベクトル値関数の連続性/距離空間から距離空間への連続写像　
　→総目次

定義：位相空間から位相空間への写像が点Aで連続continuous, stetig

写像の
設定

X : 集合
Y : 集合
「f：X→Y」：集合Xから集合Yへの写像　
x ： 集合X の元　
f (x)： 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。

cf.連続写像
*具体例：1変数関数/2変数関数/ n変数関数/実数値関数/ベクトル値関数/距離空間から距離空間への写像
[文献]
『岩波数学辞典（第三版）』項目14G (p.25).
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』4.3.1 -3(p.114);
松坂『集合･位相入門』４章§4A(p.178);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.5.2(pp.148-152)
岡田『経済学･経営学のための数学』定義4.11(p.169)

位相の
設定

集合X,Yに位相が与えられており、
X,Yが位相空間として扱われるものとする。
つまり、
集合X,Yそれぞれに、
それぞれの開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
が与えられているものとする。　　　

定義1

「写像『f：X→Y』が、点x ∈Xで連続であるcontinuous」とは、
　「『X上の点x』をfがY上に写した像 f (x )」のどんな「Yにおける近傍U_Y (f (x ))」に対してでも、
　　ある「『X上の点x』の『Xにおける近傍U_X (x )』」が存在して、
　　　　　f ( U_X(x ) ) ⊂ U_Y (f (x ))　
　　を満たす
　ことをいう。　　
この定義を、論理記号で表せば、
（∀U_Y (f (x ))）（∃U_X(x )）（ f ( U_X(x ) ) ⊂ U_Y (f (x )) ）　
となる。

定義2

「写像『f：X→Y』が、点x ∈Xで連続であるcontinuous」とは、
　「『X上の点x』をfがY上に写した像 f (x )」の
　　　任意の「Yにおける近傍U_Y (f (x ))」の
　　　　　 fによる逆像 f^-1(U_Y (f (x )))が、
　「『X上の点x』の『Xにおける近傍U_X (x )』」であること。　

※

定義1と定義2は同値。証明→斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』4.3.3(p.114)

活用例

→[トピック一覧：位相空間上の連続写像]
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定義：連続写像continuous mapping

写像の
設定

X : 集合
Y : 集合
「f：X→Y」：集合Xから集合Yへの写像　
x ： 集合X の元　
f (x)： 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。

cf.点での連続性
一様連続性
1変数関数の区間連続性　

[文献]
『岩波数学辞典（第三版）』項目14G (p.25).
斉藤『数学の基礎:集合･数･位相』4.3.6(p.115);4.3.9(p.116);
松坂『集合･位相入門』４章§4A定理18(pp.175-6);
志賀『位相への30講』25講(pp.173-5).

位相の
設定

集合X,Yに位相が与えられており、
X,Yが位相空間として扱われるものとする。
つまり、
集合X,Yそれぞれに、
それぞれの開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
が与えられているものとする。　
集合Xに与えられた開集合系･閉集合系をO_X , F_X で表し、
集合Xに与えられた「x∈Xの近傍系」をU_X (x )で表し、　
集合Yに与えられた開集合系･閉集合系をO_Y , F_Y で表し、　
集合Yに与えられた「y∈Yの近傍系」をU_Y (y )で表す
ものとする。

定義

「写像『f：X→Y』が連続写像である」とは、
互いに同値な以下の命題を指す。

命題1：近傍の観点から　
写像『f：X→Y』が、Xに属す全ての点で連続である。
すなわち、
「任意の『X上の点x』をfがY上に写した像f (x)」の任意の「Yにおける近傍U_Y (f(x))」の fによる逆像 f^-1(U_Y(f (x)))が、「『X上の点x』の『Xにおける近傍U_X (x )』」となる。　
　つまり、（∀x∈X）（∀U_Y ( f (x ) )∈U_Y ( f (x ) ) ）（ f^-1 ( U_Y ( f (x ) )∈U_X (x ) ）　
命題2：開集合の観点から　
　すべての「Yの開集合」O_Yにたいして、O_Yの fによる逆像 f^-1( O_Y )が「Xの開集合」となる。
　　論理記号で表すと、（∀O_Y∈O_Y ）（ f^-1 ( O_Y )∈O_X ）　
命題3：閉集合の観点から　　
　すべての「Yの閉集合」F_Yにたいして、F_Yの fによる逆像 f^-1( F_Y )が「Xの閉集合」となる。
　　論理記号で表すと、（∀F_Y∈F_Y ）（ f^-1 ( F_Y )∈F_X ）　
命題4：閉包の観点から　
　Xの部分集合Aに対し、
　　Aの(X上定義された)閉包[A]をfがY上に写した像 f ( [A] )は、
　　　AをfがY上に写した像の(Y上定義された)閉包 [ f (A ) ]　
　　　　　　　に含まれる。
　（∀A⊂X）（ f ([A]) ⊂ [f (A )] ）
　　　

証明

命題1-4が同値であることの証明
　→斉藤『数学の基礎:集合･数･位相』4.3.6(p.115);4.3.9(p.116);
　　松坂『集合･位相入門』４章§4A定理18(pp.175-6);
　　志賀『位相への30講』25講(pp.173-5)

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定理：合成写像compositionの連続性

要旨

二つの連続写像の合成写像は連続写像。

写像の
設定

X,Y,Z : 集合
「f：X→Y」：集合Xから集合Yへの写像　
「g：Y→Z」：集合Yから集合Zへの写像　
x ： 集合X の元　
f (x )： 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。

[文献]
『岩波数学辞典（第三版）』項目14G (p.25).
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』4.3.4(p.114):証明付;4.3.8(p.115);

位相の
設定

集合X,Y,Zに位相が与えられており、
X,Y,Zが位相空間として扱われるものとする。
つまり、
集合X,Y,Zそれぞれに、
それぞれの開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
が与えられているものとする。　　　

定理1

写像「f：X→Y」がx ∈Xで連続、かつ、写像「g：Y→Z」がf (x )∈Yで連続ならば、
合成写像「g〇f：X→Z 」はx∈Xで連続。

定理2

写像「f：X→Y」が連続写像、かつ、写像「g：Y→Z」が連続写像ならば、
合成写像「g〇f：X→Z 」は連続写像。

具体例

1変数関数の合成関数の連続性/ベクトル値関数の合成関数の連続性
距離空間のあいだの合成写像の連続性/位相空間のあいだの写像の合成写像の連続性

→[トピック一覧：位相空間上の連続写像]
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定理：連続写像と点列　

要旨

位相空間から位相空間への写像では、
連続性を、収束点列の像の収束で言いかえることが
できるとは限らない。

→ 1変数関数の連続性の、数列の収束への言い換え
→ 2変数関数の連続性の、点列･数列の収束への言い換え

→ n変数関数の連続の、点列･数列の収束への言い換え
→ 距離空間のあいだの写像の連続性の、点列の収束への言い換え
[文献]
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』4.4.5(p.124);4.2.9(p.113);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.5.1 (p.1542)

写像の
設定

X,Y,Z : 集合
「f：X→Y」：集合Xから集合Yへの写像　
「g：Y→Z」：集合Yから集合Zへの写像　
x ： 集合X の元　
f (x )： 写像f による『集合X の元』xの像。
　　　　　集合Y に属す。

位相の
設定

集合X,Y,Zに位相が与えられており、
X,Y,Zが位相空間として扱われるものとする。
つまり、
集合X,Y,Zそれぞれに、
それぞれの開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
が与えられているものとする。　　　

定理

次の命題P,命題Qは一般に同値とはいえない。
命題P：写像「f：X→Y」がx ∈Xで連続
命題Q：どんな「X上の点列」｛P₁,P₂,P₃,…｝についてであれ、　　
　　　　　その点列｛P₁ , P₂ , P₃ ,…｝が x∈Xに収束する限り、
　　　　　　その点列の各項P₁, P₂, P₃,…を写像f によりY上に写した像の点列｛f (P₁ ), f (P₂ ), f (P₃ ),…｝は、
　　　　　　　　x∈Xを写像f によりY上に写した像f (x )に収束する。　
※「命題P⇔命題Q」となるのは、
　　Xが局所可算型の（第１可算公理を満たす）位相空間[→斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』4.2.9(p.113)]
　　であるとき。[斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』4.4.5(p.124)]

活用例

→[トピック一覧：位相空間上の連続写像]
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定義：同相写像homeomorphism・位相写像topological mapping、同相・位相同型homeomorphic

写像の
設定

X : 集合
Y : 集合
「f：X→Y」：集合Xから集合Yへの写像　
x ： 集合X の元　
f (x)： 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。

[文献]
『岩波数学辞典（第三版）』項目14G (p.25).
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』4.3.10(p.116);
松坂『集合･位相入門』４章§4D(p.183);
志賀『位相への30講』25講位相空間(p.175)
岡田『経済学･経営学のための数学』定義4.12(p.170)

位相の
設定

集合X,Yに位相が与えられており、
X,Yが位相空間として扱われるものとする。
つまり、
集合X,Yそれぞれに、
それぞれの開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
が与えられているものとする。　　　

定義1

「写像fが位相空間Xから位相空間Yへの同相写像である」
とは、
　写像「f：X→Y」が全単射であり、
　かつ
　写像「f：X→Y」が連続であり、
　かつ
　f の逆写像「f⁻¹：Y→X」が連続である
ことを指す。

定義2

「位相空間Xと位相空間Yが同相・位相同型である」
とは、
位相空間Xから位相空間Yへの同相写像が存在することを言う。　

※

関連事項：

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