累乗(べき)と指数法則～指数を実数全体に拡張して　：トピック一覧　　

・冪・累乗の定義(実数指数) 　　cf. 冪・累乗の定義(自然数指数)/冪・累乗の定義(整数指数)/冪・累乗の定義(有理数指数)
・冪・累乗の基本性質(実数指数)　cf. 指数と大小関係(自然数指数)/整数指数の冪・累乗の基本性質/有理数指数の冪・累乗の基本性質　 　
・指数法則(実数指数)　　　　　　　cf. 指数法則(自然数指数)/指数法則(整数指数)/指数法則(有理数指数)
※総目次

定義：冪(べき)・累乗 power、指数exponent　～指数を実数全体に拡張して

「冪・累乗なんて簡単だ」と思いがち。
しかし、
無理数を指数とする冪・累乗の定義に正面から向き合ってみると、
意外と手がかかることに気づく…。
　→「実数指数の累乗」の定義
　　　　～直感的具体的に　
　　　　～10進近似列を用いて
　　　　～任意の有理数列を用いて
　　　　～有理数上の集合の上限下限
　　　　～解析的に　　

実数指数の累乗の定義　～　直感的に
・「『正の実数』aの実数r乗」arは、どのように定義されているのか？

　実数rは、有理数であるか、無理数であるかのいずれか。
　
　(i)　実数rが有理数である場合、
　　　　　arの定義として、「aの有理数r乗」aｒの定義をそのまま使う。
　　　つまり、
　　　実数rが有理数である場合、arとは、
　　　　z,nを「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組としたときの、
　　　　　「『aのz乗』のn乗根」　　  az
　
　　　　のこと。
　しかし、
　(ii)実数rが無理数である場合、arに有理数乗の定義を使いまわすことはできない。
　　　実数rが無理数である以上、
　　　「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組z,nなんて存在しない。
　　　では、
　　　実数rが無理数であるとき、arは、どう定義されているのだろう？
　　　まず、aπ という具体例を通して、定義を例示してみよう。

[無理数を指数とする累乗の定義の具体例]

　　　無理数πを指数とする累乗aπ は、以下のように定義される。

　　　[step0]　　

　　　無理数πを小数で表す。
　　　　　π＝3.141592…
　　　よく知られているように、無理数は、循環しない無限小数で表される。
　　　だから、3.141592…も循環しない無限小数。

　　　[step1]

　　　　π＝3.141592…の
　　　　　・小数点以下第一位までを残し、小数点以下第二位以下を切り捨てた数3.1　
　　　　　・小数点以下第二位までを残し、小数点以下第三位以下を切り捨てた数3.14
　　　　　・小数点以下第三位までを残し、小数点以下第四位以下を切り捨てた数3.141　
　　　　　・小数点以下第四位までを残し、小数点以下第五位以下を切り捨てた数3.1415　
　　　　　：
　　　　という数列～すなわち「πの十進近似列」～をつくる。
　　　　この数列、すなわち「πの十進近似列」
　　　　　　　3.1,　3.14,　3.141,　3.1415,　…
　　　　は、以下の性質を満たす(→実数の十進近似列の性質)。
　　　　[性質]　すべての項は、分数として表せるから、有理数。
　　　　　　　3.1=31/10, 3.14=314/100, 3.141= 3141/1000, 3.1415=31415/10000,…
　　　　[性質]単調増大列だが、決してπ＝3.141592…を超えない。
　　　　　　　　π＝3.141592…に近づいていく。　　　

　　　[step2]

　　　　上記の「単調に増加してπ＝3.141592…に近づいていく、有理数列」
　　　　　　　　　　3.1,　3.14,　3.141,　3.1415,　…
　　　　の各項を指数とする累乗の数列
　　　　　　　　　a3.1,　a3.14,　　a3.141,　a3.1415,　…
　　　　をつくる、
　　　　なお、
　　　　　　　　　a3.1,　a3.14,　　a3.141,　a3.1415,　…
　　　　の各項は、どれも指数が有理数だから、
　　　　有理数指数の累乗の定義にしたがって、定められる。
　　　　実際、
　　　　　 a3.1＝ a31/10 ＝   10
 a31   

　　　　　 a3.14 ＝ a314/100 ＝   100
 a314   

　　　　　 a3.141 ＝ a3141/1000 ＝   1000
 a3141   

　　　　　 a3.1415 ＝ a31415/10000 ＝   10000
 a31415   
　　　　　　：
　　　　　　：

　　　[step3]

　　　　有理数指数の累乗の数列　a3.1,　a3.14,　a3.141,　a3.1415,　… の極限値をとる。
　　　　この数列の極限値として得られた実数が、「aのπ乗」aπ 　。

　aπ に限らず、
　無理数rを指数とする累乗ar　を、どれも、同様に定義する。

[有理数指数からの拡張として定義する文献]

  [全般的なアイディア]

　・竹之内『経済・経営系数学概説』1.5累乗の一般化(p.35):全般的なアイディア。実数を、上と下から、有理数ではさんで…
　・http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%AF%E4%B9%97#.E6.8C.87.E6.95.B0.E9.96.A2.E6.95.B0 ：
　　　　　　 aの冪乗はその指数に関して単調性をもつので、Rにおける有理数の稠密性 から、
　　　　　　　これはR上で定義された連続関数に一意的に拡張される。

　[定式化1:上限下限]

　・赤攝也『実数論講義』§7.2実数指数の累乗-定義7.2.1;定義7.2.2(p.210):有理数指数の累乗の集合の上限・下限をつかう。証明付。
　　　　　無理数の場合→有理数の場合と整合的だから、これを実数全体の場合の定義とする。
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』1.4(p.26)：赤と同一。
　・笠原皓司『微分積分学』2.9[1](p.71)
　・小平『解析入門I』§2.3-b) (p.90):

　[定式化2:有理数列の極限]

　　　[無理数に収束する10進近似列を用いて]
　　　・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済　高等学校基礎解析』啓林館、2章1指数の拡張(p.44):
　　　　　　　　指数として使われる実数に収束する有理数列の極限を指数とする。証明から逃げている。アイディアだけ。
　　　・上野健爾『代数入門1』§2.3(d)指数と対数(pp.69-71)：非常に丁寧。
　　　・加藤十吉『微分積分学原論』4.4整数の実数乗と指数関数-(4)(pp.40-41);3.3有理数の稠密性(p.30)
　　　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§5(I)(B)(pp.27-28):無理数に収束する有理数の増加列。10進近似列とはない。

　　　[任意の有理数列を用いて]
 　　　　～無理数に収束する10進近似列に限らず、無理数に収束するどのような有理数列をつかっても、結果はかわらない。
　　　・能代『極限論と集合論』22.無理指数のベキ(pp.44-7)
　　　・小林昭七『微分積分読本:1変数』2章4指数関数(pp.62-64):
　　　　　　　　指数として使われる実数に収束する有理数列の極限を指数とする。証明付。
　　　・高木貞二『解析概論』10.連続関数-指数関数について(p.25)。
　　　・入谷純・久我清『数理経済学入門』5.5(pp.128-130)

[解析的な定義を示す文献]

　・黒田『微分積分学』5.2.3-定義5.4(p.167):
　　　　定義5.2(p.164)で、1/xの不定積分として自然対数関数を定義し、
　　　　定義5.3(p.165)で、指数関数を定義し、
　　　　定義5.4(p.167)で、実数指数の累乗を定義する。自然数指数の累乗、有理数指数の累乗との整合性も検討。
　・ 松坂『解析入門1』5.2A一般の累乗関数(p.165)：
　　　　5.1A(pp.155-6)で、1/xの積分として自然対数関数を定義し、
　　　　5.1C(p.159)で、自然対数関数の逆関数として、eを底とする指数関数を定義し、
　　　　eを底とする指数関数を拡張して、一般の指数関数[→5.1D(p.161)]、累乗関数を定義する。　　　
　・笠原皓司『微分積分学』2.9[1](pp.72-4):普通の定義と両方乗せているところが特長。

関係ありそうな…
・志賀浩二『解析入門30講』23講(特に、p.172;179)。

[以下は、今後検討]　
　・『岩波入門数学辞典』「指数法則exponential law」(pp.244-5)：有理数・実数の指数を定義。
　　　　　　　　　　　　「べきpower」(p.545):自然数指数から整数指数まで定義。;「指数(べきの)exponent」(p.241):説明なし


[関連事項]

　・実数指数の累乗の具体例：
　　→指数を自然数に限定した「べき」「累乗」の定義　
　　→指数を正負の整数に限定した「べき」「累乗」の定義
　　→指数を有理数に限定した「べき」「累乗」の定義



→[実数指数の累乗定義冒頭]


実数指数の累乗の定義　～　10進近似列を用いて
・「『正の実数』aの実数r乗」arは、どのように定義されているのか？

　実数rは、有理数であるか、無理数であるかのいずれか。
　
　(i)　実数rが有理数である場合、
　　　　　arの定義として、「aの有理数r乗」aｒの定義をそのまま使う。
　　　つまり、
　　　実数rが有理数である場合、arとは、
　　　　z,nを「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組としたときの、
　　　　　「『aのz乗』のn乗根」　　  az
　
　　　　のこと。
　しかし、
　(ii)実数rが無理数である場合、arに有理数乗の定義を使いまわすことはできない。
　　　実数rが無理数である以上、
　　　「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組z,nなんて存在しない。
　　　では、
　　　実数rが無理数であるとき、arは、どう定義されているのだろう？
　　　無理数rを指数とする累乗ar　は、以下のように定義される。

　　　[step1]

　　　　無理数rを小数として表すと、循環しない無限小数になる。
　　　　循環しない無限小数(無理数)rの
　　　　　・小数点以下第一位までを残し、小数点以下第二位以下を切り捨てた数r1　
　　　　　・小数点以下第二位までを残し、小数点以下第三位以下を切り捨てた数r2　
　　　　　・小数点以下第三位までを残し、小数点以下第四位以下を切り捨てた数r3　
　　　　　：
　　　　　・小数点以下第n位までを残し、小数点以下第(n+1)位以下を切り捨てた数rn　
　　　　　：
　　　　という数列～すなわち「無理数rの十進近似列」～をつくる。
　　　　この数列すなわち「無理数rの十進近似列」
　　　　　　　　r1,r2,r3,…,rn,…
　　　　は、以下の性質を満たす(→実数の十進近似列の性質)。
　　　　・r1＝整数/10,r2＝整数/100,r3＝整数/1000,…,rn＝整数/10n,…といった具合に
　　　　　分数として表せるから、
　　　　　すべての項は、有理数。
　　　　　　（だから、ar1,ar2,…はどれも、有理数乗）
　　　　・単調増加列　(実数の十進近似列の性質1)
　　　　・有界　(実数の十進近似列の性質3)
　　　　・rに収束する　(実数の十進近似列の性質4)　

　　　[step2]

　　　　上記の「単調に増加してrに近づいていく、有理数列」
　　　　　　r1, r2, r3, …, rn,…
　　　　の各項を指数とする累乗の数列
　　　　　a r1
  , a r2  ,…, a rn  ,…



　　　　をつくる、
　　　　なお、
　　　　　a r1
  , a r2  ,…, a rn  ,…



　　　　の各項は、どれも指数が有理数だから、
　　　　有理数指数の累乗の定義にしたがって、定められる。
　　　　実際、
　　　　a r1
  ＝ a 整数/10 ＝
10 a整 数



　　　　a r2
  ＝ a 整数/100 ＝
100 a整 数


　　　　　　：
　　　　　　：
　　　　a r n  ＝ a 整数/10n ＝
10n a整 数


　　　　　　：
　　　　　　：

　　　[step3]

　　　・一般に、
　　　　いかなる正の実数a,
　　　　有理数からなるいかなる上に有界な単調増加列p1,p2,p3,…に対してでも、
　　　　数列　a p1
 , a p2 , a p3 ,…　は、収束する。　



　　　　　（→有理数指数の累乗の大小関係）
　　　・step1で見たように、
　　　　「無理数rの十進近似列」r1,r2,r3,…は、
　　　　有理数からなる上に有界な単調増加列となるので、
　　　　数列　a r1
  , a r2  ,…, a rn  ,…も、収束する。　




　　　[step4]

　　　　有理数指数の累乗の数列  a r1
 ,a r2 ,…,a rn ,…  の極限値をとる。



　　　　この数列の極限値として得られた実数を、「aの実数r乗」arと呼ぶ。

　　　　　a rn  → a r  (n→∞)





　　
・arの「底」とは、aのこと。
・arの「指数exponent」とは、rのこと。

[文献]

～無理数に収束する10進近似列に限らず、無理数に収束するどのような有理数列をつかっても、結果はかわらない。
　　　・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済　高等学校基礎解析』啓林館、2章1指数の拡張(p.44):
　　　　　　　　指数として使われる実数に収束する有理数列の極限を指数とする。証明から逃げている。アイディアだけ。
　　　・上野健爾『岩波講座現代数学への入門7-8：代数入門1』§2.3(d)指数と対数(pp.69-71)：非常に丁寧。
　　　・加藤十吉『微分積分学原論』4.4整数の実数乗と指数関数-(4)(pp.40-41):{arn}がコーシー列であることの証明;3.3有理数の稠密性(p.30)
　　　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§5(I)(B)(pp.27-28):無理数に収束する有理数の増加列。10進近似列とはない。

[自然数指数の累乗の定義との整合性]

・　

[整数指数の累乗の定義との整合性]

→[実数指数の累乗定義冒頭]

実数指数の累乗の定義　～　任意の有理数列を用いて
・

[文献]

　・『岩波入門数学辞典』「指数法則」(p.245);
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』2章4指数関数(pp.62-64):
　　　　　　　　指数として使われる実数に収束する有理数列の極限を指数とする。証明付。
　・高木貞二『解析概論』10.連続関数-指数関数について(p.25)。
　・入谷純・久我清『数理経済学入門』5.5(pp.128-130)

[自然数指数の累乗の定義との整合性]

・　

[整数指数の累乗の定義との整合性]
→[実数指数の累乗定義冒頭]


実数指数の累乗の定義　～　有理数乗の集合の上限・下限 - タイプA
・「『正の実数』aの実数r乗」arは、どのように定義されているのか？

　実数rは、有理数であるか、無理数であるかのいずれか。
　
　(i)　実数rが有理数である場合、
　　　　　arの定義として、「『正の実数a』の有理数r乗」aｒの定義をそのまま使う。
　　　つまり、
　　　実数rが有理数である場合、arとは、
　　　　z,nを「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組としたときの、
　　　　　「『aのz乗』のn乗根」　　  az
　
　　　　のこと。
　しかし、
　(ii)実数rが無理数である場合、arに有理数乗の定義を使いまわすことはできない。
　　　実数rが無理数である以上、
　　　「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組z,nなんて存在しない。
　　　では、
　　　実数rが無理数であるとき、arは、どう定義されているのだろう？

[文献-タイプA]

　・笠原皓司『微分積分学』2.9[1](p.71)
　・小平『解析入門I』§2.3-b) (p.90):
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』1.4(p.26)。

[文献-タイプB]

　・赤攝也『実数論講義』§7.2実数指数の累乗-定義7.2.1;定義7.2.2(p.210):有理数指数の累乗の集合の上限・下限をつかう。証明付。
　　　　　無理数の場合→有理数の場合と整合的だから、これを実数全体の場合の定義とする。

　　　[step1]
　　　　「無理数r未満の有理数」を全てあつめた集合A＝{q∈Q| q＜r }をつくる。
　　　　もちろん、この集合Aは上に有界。
　　　[step2]
　　　　「step1でつくった集合A」に属す有理数を指数とするaの累乗を全て集めた集合
　　　　　　　　 B={ aq | q∈A } ＝ { aq | q∈Q かつ q＜r }
　　　　をつくる。
　　　　この集合Bは、有理数指数の累乗の大小関係の性質より、
　　　　　0＜a＜1  ならば、下に有界となって、
　　　　　　　　　　　　　「集合Bの下限」
　　　　　　　　　　　　　　　　　inf B =inf { aq | q∈A } ＝ inf { aq | q∈Q かつ q＜r }　
　　　　　　　　　　　　　　が存在する。
　　　　　1＜a 　　ならば、上に有界となって、
　　　　　　　　　　　　　「集合Bの上限」
　　　　　　　　　　　　　　　　 sup B =sup { aq | q∈A } ＝ sup { aq | q∈Q かつ q＜r }
　　　　　　　　　　　　　　が存在する。
　　　[step3]
　　　　　0＜a＜1  ならば、
　　　　　　　　　　「集合Bの下限」
　　　　　　　　　　　　　inf B =inf { aq | q∈A } ＝ inf { aq | q∈Q かつ q＜r }　
　　　　　　　　　　　を、「『正の実数』aの無理数r乗」arと呼ぶ。
　　　　　1＜a 　　ならば、
　　　　　　　　　　「集合Bの上限」
　　　　　　　　　　　　　　　　 sup B =sup { aq | q∈A } ＝ sup { aq | q∈Q かつ q＜r }　　
　　　　　　　　　　　を、「『正の実数』aの無理数r乗」arと呼ぶ。

　　　→具体例：aπ　　

　　　　

　　　無理数rを指数とする累乗ar　は、
　　　・1＜a のとき、
　　　　　「無理数r未満の有理数」qを指数とする「正の実数aの累乗」aqをすべて集めた集合の上限として
　　　　　　　　すなわち、　ar＝sup { aq | qは有理数 かつ q＜r }　として
　　　　　定義される。
　　　　　たとえば、
　　　　　　無理数π＝3.141592…を指数とする累乗aπ (1＜a)　は、
　　　　　　　step1:無理数π＝3.141592…より小さな有理数をすべて集めた集合を考える。
　　　　　　　　　　　　　{ …,3,…,3.1=31/10, …,3.14=314/100, …,3.141= 3141/1000, …,3.1415=31415/10000, … }　
　　　　　　　　　　この集合は、下に有界ではないが、上に有界である。（上に有界の定義より。）
　　　　　　　step2:「step1の集合に属す有理数を指数とする累乗」をすべて集めた集合を考える。
　　　　　　　　　　　　　{ …,a3,…,a31/10,…,a314/100,…,a3141/1000,…,a31415/10000,… }　
　　　　　　　　　　　1＜a のとき、これは、上に有界な集合となる[小平『解析入門I』§2.3-b) (p.90)]。
　　　　　　　　　　　　※指数と大小関係(有理数指数)　
　　　　　　　step3:「step2の集合」の上限をとる。これが、aπ(1＜a) 。
　　　　　という手順を経て得られる。　　　
　　　・0＜a＜1のとき、
　　　　　正の実数aの「無理数rより小さな有理数乗」をすべて集めた集合の下限として
　　　　　　　　すなわち、　ar＝inf { aq | qは有理数 かつ q＜r }　　
　　　　　定義される。
　　　　　たとえば、
　　　　　　無理数π＝3.141592…を指数とする累乗aπ (0＜a＜1)　は、
　　　　　　　step1:無理数π＝3.141592…より小さな有理数をすべて集めた集合を考える。
　　　　　　　　　　　　　{ …,3,…,3.1=31/10, …,3.14=314/100, …,3.141= 3141/1000, …,3.1415=31415/10000, … }　
　　　　　　　　　　この集合は、下に有界ではないが、上に有界である。（上に有界の定義より。）
　　　　　　　step2:「step1の集合に属す有理数を指数とする累乗」をすべて集めた集合を考える。
　　　　　　　　　　　　　{ …,a3,…,a31/10,…,a314/100,…,a3141/1000,…,a31415/10000,… }　
　　　　　　　　　　　0＜a＜1 のとき、これは、下に有界な集合となる。
　　　　　　　　　　　　※指数と大小関係(有理数指数)　
　　　　　　　step3:「step2の集合」の下限をとる。これが、aπ (0＜a＜1)。
　　　　　　　[小平]

　(iii) rが有理数の場合、rが無理数の場合をひっくるめて、
　　　実数rを指数とする累乗ar　は、
　　　・1＜a のとき、
　　　　　正の実数aの「rを上回らない有理数乗」をすべて集めた集合の上限として
　　　　　　　　すなわち、　ar＝sup { aq | qは有理数 かつ q≦r }　として
　　　　　定義される。
　　　・0＜a＜1のとき、
　　　　　正の実数aの「rを上回らない有理数乗」をすべて集めた集合の下限として
　　　　　　　　すなわち、　ar＝inf { aq | qは有理数 かつ q≦r }　　
　　　　　定義される。 [岡田;笠原]


　※上記の「実数rが無理数である場合のarの定義」を、
　　実数rが有理数であるときにそのまま適用すると、
　　「実数rが有理数である場合のarの定義」　　

　※正の実数aの「rより大きな有理数乗」をすべて集めた集合は、
　　どういう性格か？
　　aが「1＜a 」か「0＜a＜1」かで、その性格はどう変わる？
　　→有理数指数の累乗の大小関係―性質6 　

実数指数の累乗の定義　～　有理数乗の集合の上限・下限 - タイプB

・「『正の実数』aの実数r乗」arは、どのように定義されているのか？

　実数rは、有理数であるか、無理数であるかのいずれか。
　
　(i)　実数rが有理数である場合、
　　　　　arの定義として、「『正の実数a』の有理数r乗」aｒの定義をそのまま使う。
　　　つまり、
　　　実数rが有理数である場合、arとは、
　　　　z,nを「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組としたときの、
　　　　　「『aのz乗』のn乗根」　　  az
　
　　　　のこと。
　しかし、
　(ii)実数rが無理数である場合、arに有理数乗の定義を使いまわすことはできない。
　　　実数rが無理数である以上、
　　　「r＝z/n」を満たす整数,自然数の組z,nなんて存在しない。
　　　では、
　　　実数rが無理数であるとき、arは、どう定義されているのだろう？


[文献-タイプB]

　・赤攝也『実数論講義』§7.2実数指数の累乗-定義7.2.1;定義7.2.2(p.210):有理数指数の累乗の集合の上限・下限をつかう。証明付。
　　　　　無理数の場合→有理数の場合と整合的だから、これを実数全体の場合の定義とする。

　　　[step1]
　　　　「無理数rを上回る有理数」を全てあつめた集合A＝{q∈Q| q＞r }をつくる。
　　　　もちろん、この集合Aは下に有界。
　　　[step2]
　　　　「step1でつくった集合A」に属す有理数を指数とするaの累乗を全て集めた集合
　　　　　　　　 B={ aq | q∈A } ＝ { aq | q∈Q かつ q＞r }
　　　　をつくる。
　　　　この集合Bは、有理数指数の累乗の大小関係の性質より、
　　　　　0＜a＜1  ならば、上に有界となって、
　　　　　　　　　　　　　「集合Bの上限」
　　　　　　　　　　　　　　　　 sup B =sup { aq | q∈A } ＝ sup { aq | q∈Q かつ q＞r }
　　　　　　　　　　　　　　が存在する。
　　　　　1＜a 　　ならば、下に有界となって、
　　　　　　　　　　　　　「集合Bの下限」
　　　　　　　　　　　　　　　　　inf B =inf { aq | q∈A } ＝ inf { aq | q∈Q かつ q＞r }　
　　　　　　　　　　　　　　が存在する。
　　　[step3]
　　　　　0＜a＜1  ならば、
　　　　　　　　　　「集合Bの上限」
　　　　　　　　　　　　　 sup B =sup { aq | q∈A } ＝ sup { aq | q∈Q かつ q＞r }
　　　　　　　　　　　を、「『正の実数』aの無理数r乗」arと呼ぶ。
　　　　　1＜a 　　ならば、
　　　　　　　　　　「集合Bの下限」
　　　　　　　　　　　　　　inf B =inf { aq | q∈A } ＝ inf { aq | q∈Q かつ q＞r }　
　　　　　　　　　　　を、「『正の実数』aの無理数r乗」arと呼ぶ。



　　　→具体例：aπ　　



　　　無理数rを指数とする累乗ar　は、
　　　・1＜a のとき、
　　　　　正の実数aの「rより大きな有理数乗」をすべて集めた集合の下限として
　　　　　　　　すなわち、　ar＝inf { aq | qは有理数 かつ q＞r }　として
　　　　　定義される。
　　　・0＜a＜1のとき、
　　　　　正の実数aの「rより大きな有理数乗」をすべて集めた集合の上限として
　　　　　　　　すなわち、　ar＝sup { aq | qは有理数 かつ q＞r }　　
　　　　　定義される。

　※正の実数aの「rより大きな有理数乗」をすべて集めた集合は、
　　どういう性格か？
　　aが「1＜a 」か「0＜a＜1」かで、その性格はどう変わる？
　　→有理数指数の累乗の大小関係―性質6 　

[自然数指数の累乗の定義との整合性]

・
　

[整数指数の累乗の定義との整合性]

・。　
→[実数指数の累乗定義冒頭]


実数指数の累乗の定義　～　解析的に
・
　　
・aqの「底」とは、aのこと。
・aqの「指数exponent」とは、qのこと。

[文献]

　・黒田『微分積分学』5.2.3-定義5.4(p.167):
　　　　定義5.2(p.164)で、1/xの不定積分として自然対数関数を定義し、
　　　　定義5.3(p.165)で、指数関数を定義し、
　　　　定義5.4(p.167)で、実数指数の累乗を定義する。自然数指数の累乗、有理数指数の累乗との整合性も検討。
　・ 松坂『解析入門1』5.2A一般の累乗関数(p.165)：
　　　　5.1A(pp.155-6)で、1/xの積分として自然対数関数を定義し、
　　　　5.1C(p.159)で、自然対数関数の逆関数として、eを底とする指数関数を定義し、
　　　　eを底とする指数関数を拡張して、一般の指数関数[→5.1D(p.161)]、累乗関数を定義する。　　　
   関係ありそうな…
   ・志賀浩二『解析入門30講』23講(特に、p.172;179)。


→[トピック一覧:累乗(べき)と指数法則]
→総目次




指数の累乗の基本性質

I.

Ⅱ.











→[トピック一覧:累乗(べき)と指数法則]
→総目次


指数法則 exponential law,指数公式 law of exponents　

性質





→[トピック一覧:累乗(べき)と指数法則]
→総目次