単調関数　：　トピック一覧

【定義】

・定義：狭義単調増加関数 / 狭義単調減少関数
・定義：広義単調増加関数 /広義単調減少関数
・定義：単調関数 /狭義単調関数 

【性質】

・狭義単調増加関数の性質/狭義単調増加連続関数の性質　
・狭義単調減少関数の性質/狭義単調減少連続関数の性質　
・狭義単調関数の性質/狭義単調連続関数の性質　


※1変数関数に関する諸概念の定義：
　　1変数関数の属性と類型/極限/連続性/微分　
　　定積分/広義積分/スチルチェス積分
※関数定義関連ページ：
　　2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般　
※総目次

定義：広義単調増加関数　単調増加関数monotone increasing,monotonic increasing　

【はじめに読む定義】



「1変数関数 y = f (x) は(広義)単調増加関数である」
「1変数関数 y = f (x) は(広義)単調増加する」

とは、

　xに代入する実数を大きくすると、
　どこから、どれだけ大きくしようとも、
　yのほうは、
　　大きくなるか、変わらずそのままであるかのいずれかで、
　　減ることは決してない

という関係にx,yがあるということ。


【厳密な定義】


「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおける(広義)単調増加関数」
「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおいて(広義)単調増加する」
とは、

　　区間Iから、どの2つの実数x1,x2を選んでも、
　　　条件「x1≦x2 ならば f(x1)≦f(x2) 」
　　が成り立つ

　　論理記号で表すと、
　　　∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2))

ということ。

 ※関連：広義単調増加となるための条件―導関数　




【文献】
・type A :   x1＜x2⇒ f(x1)≦f(x2)
　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.99)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.5.1(p.187):具体例も。
・type B : 　x1≦x2 ⇒ f(x1)≦f(x2)
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3(I)(p.18)
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』定義2.1.1(p.29)
・type C : 　

　・和達『微分積分』





【一般化】
　・広義単調増加列・単調非減少列　

【具体例】
　・指数を正負の整数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減/自然数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減/y=x / y=x2/y=x3 　
　・指数を有理数に拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減/ y=1/x  　
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　


　





用語の使い方に、合意がないらしい。

　・和達『微分積分』は、
　　　「x1＜x2 ならば f(x1)＜f(x2)」を満たす関数を「単調増加」、
　　　「x1≦x2 ならばf(x1)≦f(x2)」を満たす関数を「広義の単調増加」としているが、

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』や高橋『経済学とファイナンスのための数学』は、
　　　「x1＜x2 ならば f(x1)＜f(x2)」を満たす関数を「狭義単調増加」、
　　　「x1≦x2 ならばf(x1)≦f(x2)」を満たす関数を「単調増加」としている。








【論理に拘泥…】

　
・変項fの議論領域を「あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合」,
　変項Iの議論領域を「R上のあらゆる区間をあつめた集合」とする
　二項述語・2変項命題関数「 f は、Iにおいて広義単調増加」
　とは、
　　　∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2))　
　ということ。


・「∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2))」は、
　変項f,x1,x2を組み込んだ三項述語・3変項命題関数「x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2)」の変項x1,x2を、∀x1,x2∈Iで束縛してつくった
　変項f,Iからなる二項述語・2変項命題関数。
　
・なお、「∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2))」は、
　　　「∀x1∈I ∀x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2) )」の省略表現であり、
　さらに、
　　　「∀x1∈I ∀x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2) )」は、
　　　「∀x1 ( x1∈I ⇒ ∀x2 ( x2∈I ⇒ （x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2)）  ) ) 」の省略表現。　
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定義：狭義単調増加関数　　strictly increasing

【はじめに読む定義】



「1変数関数 y = f (x) は狭義単調増加関数である」
「1変数関数 y = f (x) は狭義単調増加する」

とは、

　xに代入する実数を大きくすると、
　どこから、どれだけ大きくしようとも、
　yのほうも、必ず大きくなる

という関係にx,yがあるということ。


【厳密な定義】


・「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおける狭義単調増加関数」
　「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおいて狭義単調増加する」

　とは、

　　区間Iから、どの2つの実数x1,x2を選んでも、
　　　条件「x1<x2 ならば f(x1)<f(x2) 」
　　が成り立つ

　
　　論理記号で表すと、
　　　∀x1,x2∈I　( x1<x2⇒ f(x1)<f(x2) )

　ということ。


 ※関連：狭義単調増加となるための条件―導関数　　




【文献】
・type A :  
　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.99)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.5.1(p.187):具体例も。
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3(I)(p.18)
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』定義2.1.1(p.29)
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;
・type B :
　 ・和達『微分積分』








【一般化】
　・狭義単調増加(数)列　

【具体例】
　・指数を正負の整数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減/自然数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減/y=x / y=x2/y=x3 　
　・指数を有理数に拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減/ y=1/x  　
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　


　





用語の使い方に、合意がないらしい。

・和達『微分積分』は、
　　「x1＜x2 ならば f(x1)＜f(x2)」を満たす関数を「単調増加」、
　　「x1≦x2 ならばf(x1)≦f(x2)」を満たす関数を「広義の単調増加」としているが、

・吹田・新保『理工系の微分積分学』高橋『経済学とファイナンスのための数学』は、
　　　「x1＜x2 ならば f(x1)＜f(x2)」を満たす関数を「狭義単調増加」、
　　　「x1≦x2 ならばf(x1)≦f(x2)」を満たす関数を「単調増加」としている。








【論理に拘泥…】

　
・変項fの議論領域を「あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合」,
　変項Iの議論領域を「R上のあらゆる区間をあつめた集合」とする
　二項述語「 f は、区間Iにおいて狭義単調増加」
　とは、
　　　∀x1,x2∈I ( x1<x2 ならば f(x1)<f(x2) )　
　ということ。

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狭義単調増加関数の性質　

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおいて狭義単調増加である

　ならば、

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) は

　単射

　となる。


 　




【文献】
　・赤攝也『実数論講義』定理6.5.2(p.188):証明付。






　





※なぜ？

　[step0:仮定の確認]


　「区間Iで定義されたy=f(x)は、区間Iにおける狭義単調増加関数である」とする。
　　つまり、
　　　(∀x1,x2∈I⊂R)( x1<x2⇒ f(x1)<f(x2) )が成り立つ…(仮定)　
　　とする。

　[step1：実数に定義された順序より]


　　実数・実数体Rの定義より、
　　　　任意のa,b∈Rについて、a=b,　a<b, b<a のどれかが成り立つ。
　　だから、 　　
　　(∀a,b∈R)( a≠b ⇔ (a<bまたはb<a)  )　…(1)

　[step2]


　・(仮定)のもとで、
　　　　(∀a,b∈I⊂R)( a<b⇒ f(a)<f(b) )　
　　　　(∀a,b∈I⊂R)( b<a⇒ f(b)<f(a) )　
　　が成り立つ。
　・上記の点より、
　　(仮定)のもとで、　　　　　　
　　　　(∀a,b∈I⊂R)( (a<bまたはb<a)⇒ (f(a)<f(b)またはf(b)<f(a)) )
　　が成立する。　…(2)


　[step3]


　・(仮定)のもとで、　　　　　　　　
　　　∀a,b∈I⊂Rに対して、
　　　　　　a≠b ⇔ (a<bまたはb<a)  ∵(1)
　　　　　　　　　　⇒ (f(a)<f(b)またはf(b)<f(a)) )　∵(仮定)のもとで(2)　
　　　　　　　　　　　　　⇒　f(a)≠f(b)　　　∵(1)
　・要するに、
　　　(仮定)のもとで、
　　　　　(∀a,b∈I⊂R)(　a≠b　⇒　f(a)≠f(b)　)　…(3)
　　　　　　が成立する。
　・(3)は、
　　「区間Iで定義された1変数関数y = f (x)が単射である」ことの定義に他ならない。
　・つまり、
　　　(仮定)のもとで、
　　　　　区間Iで定義された1変数関数y = f (x)は単射となる。　







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狭義単調増加連続関数の性質　
【１】

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおける狭義単調増加連続関数であるならば、

　値域 f(I) も区間となる。

 　




【文献】

　・赤攝也『実数論講義』定理6.5.4(p.192):証明付。


【2】

・区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおける狭義単調増加連続関数であるならば、

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) には逆関数が存在する。

・区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) の逆関数も、

　区間f(I)における狭義単調増加連続関数となる。




【文献】
　・松坂『解析入門1』3.1-E(pp.111-3)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.6.2-定理6.5.6(p.194)。
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3(I)(p.18):不親切。







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定義：広義単調減少関数　単調減少関数　monotone decreasing, monotonic decreasing　

【はじめに読む定義】


「1変数関数 y = f (x) は(広義)単調減少関数」
「1変数関数 y = f (x) は(広義)単調減少する」

とは、

　xに代入する実数を大きくすると、
　どこから、どれだけ大きくしようとも、
　yのほうは、
　　小さくなるか、変わらず一定であるかのいずれかで、
　　大きくなることは決してない

という関係にx,yがあるということ。

【厳密な定義】


「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおける(広義)単調減少関数」
「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおいて(広義)単調減少する」

とは、

　　区間Iから、どの2つの実数x1,x2を選んでも、
　　　条件「x1≦x2 ならば f(x1)≧f(x2) 」
　　が成り立つ

　　論理記号で表すと、
　　　∀x1,x2∈I　( x1≦x2⇒ f(x1)≧f(x2) )

ということ。

 ※関連：広義単調減少となるための条件―導関数　




【文献】
・type A :x1＜x2⇒ f(x1)≧f(x2) 
　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.99)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.5.1(p.187):具体例も。
・type B : 左記定義
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3(I)(p.18)
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』定義2.1.1(p.29)
・type C : 　

　・和達『微分積分』





【一般化】
　・広義単調減少列・単調非増加列　

【具体例】
　・指数を正負の整数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減/自然数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減/y=x / y=x2/y=x3 　
　・指数を有理数に拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減/ y=1/x  　
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　


【論理に拘泥…】

　
　変項fの議論領域を「あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合」,
　変項Iの議論領域を「R上のあらゆる区間をあつめた集合」とする
　二項述語「 f は、区間Iにおいて広義単調減少」
　とは、
　　　∀x1,x2∈I　( x1≦x2⇒ f(x1)≧f(x2) )
　のこと。

　これは、

　変項f,x1,x2を組み込んだ三項述語「 x1≦x2⇒ f(x1)≧f(x2)」について、
　x1,x2を∀x1,x2∈Iで普遍量化して束縛したもの。

→[トピック一覧：単調関数]
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定義：狭義単調減少関数　　strictly decreasing 　

【はじめに読む定義】



「1変数関数 y = f (x) は狭義単調減少関数」
「1変数関数 y = f (x) は狭義単調減少する」

とは、

　xに代入する実数を大きくすると、
　どこから、どれだけ大きくしようとも、
　yのほうは、あべこべに小さくなる

という関係にx,yがあるということ。


【厳密な定義】


「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおける狭義単調減少関数」
「1変数関数 y = f (x) は、区間Iにおいて狭義単調減少する」
とは、

　区間Iから、どの2つの実数x1,x2を選んでも、
　　　条件「x1＜x2 ならば f(x1)＞f(x2) 」
　が成り立つ

　　論理記号で表すと、
　　　∀x1,x2∈I　( x1＜x2⇒ f(x1)＞f(x2) )
ということ。

 ※関連：狭義単調減少となるための条件―導関数　　




【文献】
・type A :  
　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.99)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.5.1(p.187):具体例も。
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3(I)(p.18)
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』定義2.1.1(p.29)
・type B :
　 ・和達『微分積分』








【一般化】
　・狭義単調減少列　

【具体例】
　・指数を正負の整数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減/自然数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減/y=x / y=x2/y=x3 　
　・指数を有理数に拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減/ y=1/x  　
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　

【論理に拘泥…】

　
　変項fの議論領域を「あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合」,
　変項Iの議論領域を「R上のあらゆる区間をあつめた集合」とする
　二項述語「 f は、区間Iにおいて狭義単調減少」
　とは、
　　　∀x1,x2∈I　( x1＜x2⇒ f(x1)＞f(x2) )
　のこと。

　これは、

　変項f,x1,x2を組み込んだ三項述語「  x1＜x2⇒ f(x1)＞f(x2) 」について、
　x1,x2を∀x1,x2∈Iで普遍量化して束縛したもの。

→[トピック一覧：単調関数]
→総目次


狭義単調減少関数の性質　
　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおいて狭義単調減少である

　ならば、

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) は

　単射となる。


 　




【文献】
　・赤攝也『実数論講義』定理6.5.2(p.188):証明付。






　





※なぜ？

　[step0:仮定の確認]

　「区間Iで定義されたy=f(x)は、区間Iにおける狭義単 調減少関数である」とする。
　　つまり、
　　　(∀x1,x2∈I⊂R)( x1<x2⇒ f(x2)<f(x1) )が成り立つ…(仮定)　
　　とする。

　[step1：実数に定義された順序より]

　　実数・実数体Rの 定義より、
　　　　任意のa,b∈Rに ついて、a=b,　a<b, b<a のどれかが成り立つ。
　　だから、 　　
　　(∀a,b∈R)( a≠b ⇔ (a<bまたはb<a)  )　…(1)

　[step2]

　・(仮定)のもとで、
　　　　(∀a,b∈I⊂R)( a<b⇒ f(b)<f(a) )　
　　　　(∀a,b∈I⊂R)( b<a⇒ f(a)<f(b) )　
　　が成り立つ。
　・上記の点より、
　　(仮定)のもとで、
　　　　(∀a,b∈I⊂R)( (a<bまたはb<a)⇒ (f(b)<f(a)またはf(a)<f(b)) )
　　が成立する。　…(2)

　[step3]

　・(仮定)のもとで、
　　　∀a,b∈I⊂Rに 対して、
　　　　　　a≠b ⇔ (a<bまたはb<a)  ∵(1)
　　　　　　　　　　⇒ (f(b)<f(a)またはf(a)<f(b)) )　∵(仮定)のもとで(2)　
　　　　　　　　　　　　　⇒　f(a)≠f(b)　　　∵(1)
　・要するに、
　　　(仮定)のもとで、
　　　　　(∀a,b∈I⊂R) (　a≠b　⇒　f(a)≠f(b)　)　…(3)
　　　　　　が成立する。
　・(3)は、
　　「区間Iで定義された1変数関数y = f (x)が単射である」ことの定義に他ならない。
　・つまり、
　　　(仮定)のもとで、
　　　　　区間Iで定義された1変数関数y = f (x)は単射となる。













→[トピック一覧：単調関数]
→総目次

狭義単調減少連続関数の性質
【１】

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおける狭義単調減少連続関数である

　ならば、

　値域 f(I) も区間となる。

　




【文献】

　・赤攝也『実数論講義』定理6.5.4-問1(p.193)。


【2】

・区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　　　区間Iにおけるる狭義単調減少連続関数である

　ならば、

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) には

　逆関数が存在する。


・区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) の逆関数も、

　区間f(I)における狭義単調減少連続関数となる。






【文献】
　・松坂『解析入門1』3.1-E(pp.111-3)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.6.2-定理6.5.6(p.194)。
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3(I)(p.18):不親切。







→[トピック一覧：単調関数]
→総目次


定義：単調関数　monotone function, monotonic function　


　単調関数とは、

　　・(広義)単調増加関数　

　　・狭義単調増加関数　

　　・(広義)単調減少関数　

　　・狭義単調減少関数

　の総称。

定義：狭義単調関数

　狭義単調関数とは、

　　・狭義単調増加関数　　

　　・狭義単調減少関数　　

　の総称。

→[トピック一覧：単調関数]
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狭義単調関数の性質
　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおいて狭義単調である

　ならば、

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) は

　単射となる。


 　




【文献】

　・赤攝也『実数論講義』定理6.5.2(p.188):証明付。






　





※なぜ？

　　　→狭義単調増加関数のケース

　　　→狭義単調減少関数のケース　









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狭義単調連続関数の性質
【１】

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおける狭義単調連続関数である

　ならば、

　値域f(I)も区間となる。

 　




【文献】

　・赤攝也『実数論講義』定理6.5.2(p.188):証明付。


【2】

・区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) が

　区間Iにおける狭義単調連続関数である

　ならば、

　区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) には

　逆関数が存在する。


・区間Iで定義された1変数関数 y = f (x) の逆関数も、

　区間f(I)における狭義単調連続関数となる。




【文献】
　・松坂『解析入門1』3.1-E(pp.111-3)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.6.2-定理6.5.6(p.194)。
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3(I)(p.18):不親切。






→[トピック一覧：単調関数]
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