1変数関数の全単射bijection ：トピック一覧

・1変数関数を「写像を用いない一般的な定義」で定義した場合の全単射について

・1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した場合の全単射定義
　　→「単射」「全射」概念を用いた表現　　
　　→「像」概念を用いた表現
　　→「逆像」概念を用いた表現
　　→解説　

・1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した場合の全単射定義
　　→「単射」「全射」概念を用いた表現　　
　　→「像」概念を用いた表現　　
　　→「逆像」概念を用いた表現　　
　　→解説　　

・具体例

【1変数関数全般】　　定義：1変数関数とその属性・類型
【全単射関連ページ】　写像一般の全単射

* 総目次

1変数関数を「写像を用いない一般的な定義」で定義した場合の全単射について

・Dで定義された1変数実数値関数fを、y=f(x)=《xの式》とだけ記す限り、
　「Dで定義された1変数実数値関数fが全単射である」とか
　「Dで定義された1変数実数値関数fが全単射でない」とか、
　定義されない。

・そもそも、「全単射である/ない」という区別は、
　　Dで定義された1変数実数値関数fが、自らの終集合に関して、どのように振舞うか、
　に関わるものであるから、

　終集合を指定して

　　　『f:D→R』
　　　『f:D→S（D⊂R、S⊂R）』

　などと、Dで定義された1変数実数値関数fを表現しない限り、

　「全単射である/ない」という区別はできない。

1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した場合の全単射定義

→「単射」「全射」概念を用いた表現 　　
→「像」概念を用いた表現 
→「逆像」概念を用いた表現　　
→ 解説 

「単射」「全射」概念を用いた表現

　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が
　　　　　　　　　　　　　全単射(双射)である」
とは
　「f:D→R」が単射かつ全射であること
　　すなわち、
 　「f:D→R」がRの上への単射であること
をいう。








【一般化】写像の全単射　

【文献】
・笠原皓司『微分積分学』1.4例1(p.23)
・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.24)
・加藤十吉『微分積分学原論』定義4.3(p.36)
・黒田『微分積分学』3.1.2-例3.2(pp.86-7)

　

「像」概念を用いた定義
　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が
　　　　　　　　　　　　　全単射（双射）である」
　とは、

　どの実数をyに選んでも、

　実数yが、
　　ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対してのみ、
　　値f(x)として
　割り当てられる　

　ということ。




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全単射（双射）でない」とは、

　・ある実数をyに選ぶと、
　　その同一の実数yが、
　　　　　複数個の『定義域Dに属す実数』x,x',x'',…に対して、値f(x),f(x')f(x''),…として
　　割り当てられてしまう
　　　　　　　　(y=f(x)=f(x')=f(x'')=…)

　または

　・ある実数をyに選ぶと、
　　その同一の実数yが、どの『定義域Dに属す実数』xに対しても、値f(x)として割り当てられなくなる

ということ。





「逆像」概念を用いた表現　
　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が
　　　　　　　　　　　　　全単射（双射）である」
　とは、

　どの実数を一つ選んでも、
　　　その実数のfによる逆像は、一元集合
　　　　∀y∈R （ f−1(y)＝一元集合）

　となること。




　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全単射（双射）でない」

とは、

　　ある実数をyに選ぶと、
　　その実数のfによる逆像が、空集合または「複数元が属す集合」

となること。　




【解説】


・1変数関数の定義によって、
 「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が同一の『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)は、
　一個の実数でなければならない。
　だから、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)が、
　　　複数個の実数であったり、
　　　0個で存在しない
　　などということは起きない。（そのようなことがあったら、それは関数でない）

・ところが、
　同一の実数yが、
　何個の『定義域Dに属す実数』xの値f(x)となってよいか、
　という点については、
　1変数関数の定義は、なんら規定していない。
　
・つまり、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が
　同一の『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)は、
　いつでも、一個の実数となるものの、
　同一の実数yが、何個の『定義域Dに属す実数』xの値f(x)となってよいか、という点については、
　　・同一の実数yが、ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対して、値f(x)として割り当てられるケース　(ただ一個のxに対して、y=f(x))
　　・同一の実数yが、複数個の『定義域Dに属す実数』x,x',x'',…に対して、値f(x),f(x')f(x''),…として割り当てられるケース　(y=f(x)=f(x')=f(x'')=…)
　　・同一の実数yが、どの『定義域Dに属す実数』に対しても割り当てられないケース
　　　　　　　（同一の実数yが、0個の『定義域Dに属す実数』に対して値として割り当てられるケース）
　のいずれもが起こりえる。
　　　　　
・しかし、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』のなかには、
　　　・同一の実数yが、複数個の『定義域Dに属す実数』x,x',x'',…に対して、値f(x),f(x')f(x''),…として割り当てられるケース　(y=f(x)=f(x')=f(x'')=…)
　　　・同一の実数yが、どの『定義域Dに属す実数』に対しても割り当てられないケース
　　　　　　　（同一の実数yが、0個の『定義域Dに属す実数』に対して値として割り当てられるケース）
　が皆無で、
　どの実数をyに選んでも、
　実数yが、ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対してのみ、値f(x)として割り当てられる(ただ一個のxに対して、y=f(x)となる)
　特殊な関数もある。

・このような関数では、
　同一の『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)の個数も、　
　同一の実数を値として割り当てられる『定義域Dに属す実数』の個数も、　
　常に「1個」となる。

・このような特殊な性格を有す関数を、関数全般と区別して、
　　全単射と呼ぶ。

・先述の全単射の定義にある「全射かつ単射」は、
　この、
　　┌どの実数をyに選んでも、
　　└実数yが、ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対してのみ、値f(x)として割り当てられる(ただ一個のxに対して、y=f(x)となる)
　　という事態、
　　すなわち、
　　┌どの実数をyに選んでも、
　　│　その実数yのfによる逆像は、一元集合
　　└　（∀y∈R ）（ f−1(y)＝一元集合）　　　
　　となる事態
　という事態を指す。

・なぜなら、
　単射とは、
　　┌どの実数を一つ選んでも、
　　└その実数のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか。
　となる事態
　　　（∀y∈R ）（ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）　
　を指し、
　全射とは、
　　　　┌　どの実数を一つ選んでも、
　　　　｜　その実数のfによる逆像に、少なくとも一つ以上の実数が属す　
　　　 　｜　　(∀y∈R) (f−1(y)≠φ)　　　
　　　　└
　となる事態
　を指すのだから、
　「全射かつ単射」とは、
　　┌どの実数を一つ選んでも、
　　｜　その実数のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか
　　│　かつ
　　│　その実数のfによる逆像に、少なくとも一つ以上の実数が属す
　　└　
　　（∀y∈R ）（（ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合）かつ（f−1(y)≠φ））
　であり、
　要するに、これは、
　　┌どの実数を一つ選んでも、
　　│　その実数のfによる逆像は、一元集合
　　└　（∀y∈R ）（ f−1(y)＝一元集合）
　のことにほかならない。

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1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した場合の全単射定義

→「単射」「全射」概念を用いた表現 　　
→「像」概念を用いた表現 
→「逆像」概念を用いた表現　　
→ 解説 

「単射」「全射」概念を用いた表現

　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が全単射(双射)である」

　とは

　「f:D→S」が単射かつ全射であること

　　　すなわち、 「f:D→S」がSの上への単射であること

　をいう。




　


「像」概念を用いた定義
　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が
　　　　　　　　　　　　　全単射（双射）である」
　とは、

　　どの「Sに属す実数」をyに選んでも、
　　実数yが、
　　　　ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対してのみ、
　　　　値f(x)として割り当てられる　

　ということ。




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が全単射（双射）でない」とは、

　　・ある「Sに属す実数」をyに選ぶと、
　　　その同一の「Sに属す実数」yが、
　　　　　　　複数個の『定義域Dに属す実数』x,x',x'',…に対して、
　　　　　　　　　　　　　値f(x),f(x')f(x''),…として割り当てられてしまう(y=f(x)=f(x')=f(x'')=…)
　　または
　　・ある「Sに属す実数」をyに選ぶと、
　　　その同一の「Sに属す実数」yが、
　　　　　どの『定義域Dに属す実数』xに対しても、値f(x)として割り当てられなくなる

　ということ。





「逆像」概念を用いた表現　
　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が
　　　　　　　　　　　　　全単射（双射）である」
　とは、

　どの「Sに属す実数」を一つ選んでも、
　　その「Sに属す実数」のfによる逆像は、一元集合
　　　　∀y∈S⊂R　（ f−1(y)＝一元集合）

　となること。




　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が全単射（双射）でない」

　とは、

　　ある「Sに属す実数」をyに選ぶと、
　　その「Sに属す実数」のfによる逆像が、空集合または「複数元が属す集合」

　となること。　　






【解説】


・1変数関数の定義によって、
 「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が同一の『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)は、
　一個の「Sに属す実数」でなければならない。
　だから、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)が、
　　　複数個の「Sに属す実数」であったり、
　　　0個の「Sに属す実数」　〜要するに、「Sに属す実数」値f(x)は存在しない〜
　　などということは起きない。（そんなことが起きるのなら、fは関数でない！）

・ところが、
　同一の「Sに属す実数」yが、
　何個の『定義域Dに属す実数』xの値f(x)となってよいか、
　という点については、
　1変数関数の定義は、なんら規定していない。
　
・つまり、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が
　同一の『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)は、
　いつでも、一個の「Sに属す実数」となるものの、
　同一の「Sに属す実数」yが、何個の『定義域Dに属す実数』xの値f(x)となってよいか、という点については、
　　・同一の「Sに属す実数」yが、ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対して、値f(x)として割り当てられるケース　(ただ一個のxに対して、y=f(x))
　　・同一の「Sに属す実数」yが、複数個の『定義域Dに属す実数』x,x',x'',…に対して、値f(x),f(x')f(x''),…として割り当てられるケース　(y=f(x)=f(x')=f(x'')=…)
　　・同一の「Sに属す実数」yが、どの『定義域Dに属す実数』に対しても割り当てられないケース
　　　　　　　（同一の「Sに属す実数」yが、0個の『定義域Dに属す実数』に対して値として割り当てられるケース）
　のいずれもが起こりえる。
　　　　　
・しかし、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』のなかには、
　　　・同一の「Sに属す実数」yが、複数個の『定義域Dに属す実数』x,x',x'',…に対して、値f(x),f(x')f(x''),…として割り当てられるケース　(y=f(x)=f(x')=f(x'')=…)
　　　・同一の「Sに属す実数」yが、どの『定義域Dに属す実数』に対しても割り当てられないケース
　　　　　　　（同一の「Sに属す実数」yが、0個の『定義域Dに属す実数』に対して値として割り当てられるケース）
　が皆無で、
　どの「Sに属す実数」をyに選んでも、
　「Sに属す実数」yが、ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対してのみ、値f(x)として割り当てられる(ただ一個のxに対して、y=f(x)となる)
　特殊な関数もある。

・このような関数では、
　同一の『定義域Dに属す実数』xにたいして対応づけた値f(x)の個数も、　
　同一の「Sに属す実数」を値として割り当てられる『定義域Dに属す実数』の個数も、　
　常に「1個」となる。

・このような特殊な性格を有す関数を、関数全般と区別して、
　　全単射と呼ぶ。

・先述の全単射の定義にある「全射かつ単射」は、
　この、
　　┌どの「Sに属す実数」をyに選んでも、
　　└「Sに属す実数」yが、ただ一個の『定義域Dに属す実数』xに対してのみ、値f(x)として割り当てられる(ただ一個のxに対して、y=f(x)となる)
　　という事態、
　　すなわち、
　　┌どの「Sに属す実数」をyに選んでも、
　　│　その「Sに属す実数」yのfによる逆像は、一元集合
　　└　（∀y∈S⊂R ）（ f−1(y)＝一元集合）　　　
　　となる事態
　という事態を指す。
・なぜなら、
　単射とは、
　　┌どの「Sに属す実数」を一つ選んでも、
　　└その「Sに属す実数」のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか。
　となる事態
　　　（∀y∈S⊂R ）（ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）　
　を指し、
　全射とは、
　　　　┌　どの「Sに属す実数」を一つ選んでも、
　　　　｜　その「Sに属す実数」のfによる逆像に、少なくとも一つ以上の『定義域Dに属す実数』が属す　
　　　 　｜　　(∀y∈S⊂R) (f−1(y)≠φ)　　　
　　　　└
　となる事態
　を指すのだから、
　「全射かつ単射」とは、
　　┌どの「Sに属す実数」を一つ選んでも、
　　｜　その「Sに属す実数」のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか
　　│　かつ
　　│　その「Sに属す実数」のfによる逆像に、少なくとも一つ以上の『定義域Dに属す実数』が属す
　　└　
　　（∀y∈S⊂R ）（（ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合）かつ（f−1(y)≠φ））
　であり、
　要するに、これは、
　　┌どの「Sに属す実数」を一つ選んでも、
　　│　その「Sに属す実数」のfによる逆像は、一元集合
　　└　（∀y∈S⊂R ）（ f−1(y)＝一元集合）
　のことにほかならない。


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全単射である1変数関数の具体例

[全単射である1変数実数値関数の例]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝-5x-2
　　　　　　　　　　　　 [『解析演習ハンドブック1変数関数編』]
　・定義域D＝(0,∞）＝{ x∈R | x＞0 }で定義され、
　　f(x)=logx　と表される対数関数『f:D→R』　[赤]

　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　f(x)＝x3 と表される3次関数『f:R→R』 [黒田]

[全単射でない1変数実数値関数の例]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　f(x)＝x3＋x2−x と表される『f:R→R』は全射（Rの上への写像）だが、
　　単射ではない。[赤]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　f(x)=ex  と表される指数関数『f:R→R』は、
　　単射だが、全射（Rの上への写像）ではない。[赤]
 　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　　f(x)＝x2 と表される2次関数『f:R→R』は、全射でも単射でもない[赤;笠原-例2]
[→全単射冒頭]

[1変数関数の具体例についての全単射の検討]

　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　・指数関数/対数関数　
　・絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

[文献]

・黒田『微分積分学』3.1.2-例3.2(pp.86-7)
・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.24)例3
・笠原皓司『微分積分学』1.4例1-3(p.23)
・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex.1.1.12(p.11)

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