n変数関数の方向微分可能・方向微分係数・導関数の定義：トピック一覧　　

　・定義：方向微分可能・方向微分係数[原意/操作化/定義1/定義2]/方向導関数　
　・定理：方向微分係数の計算公式　　

※関連ページ
　・微分定義―n変数関数の：偏微分/高階偏微分/グラディエント∇,ヤコビアン,ヘッシアン/全微分/高階全微分　
　・方向微分定義―n変数関数以外： ２変数関数の方向微分/ベクトル値関数の方向微分
　・n変数関数の微分の応用：合成関数の微分/平均値定理･テイラーの定理/極値問題
　　　　　　　　　　　　　　陰関数定理/逆関数定理/ラグランジュ未定乗数法
　・n変数関数の諸概念―微分以外： n変数関数の定義と属性/極限/連続/極限の性質　
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定義：n変数関数は点A=(a1, a2, …,an)で方向微分可能・点A=(a1, a2, …,an)における方向微分係数　

定義1

[角度で方向を指定する場合の方向微分の定義－ベクトルを使わない表現]

・「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)において、
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向　　　
　　に方向微分可能である」
　とは、
　1変数関数φ(t)=f ( a1+t cosθ1 , a2+t cosθ2 , …, an+t cosθn )　について、
　t =０における右微分係数　
　　　すなわち、
　　　有限な右極限値
　　　　
　　　　
　が存在することをいう。

・ n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)において
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向　　　
　　に微分可能であるとき、
　「f (x1,x2,…,xn )の点(a1, a2, …,an)における
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　　の方向微分係数」　
　とは、
　1変数関数φ(t)=f ( a1+t cosθ1 , a2+t cosθ2 , …, an+t cosθn )　の、
　t =０における右微分係数　
　　　すなわち、
　　　有限な右極限値
　　　　
　　　　
　のことをいう。

[文献－数学]
・黒田『微分積分学』8.3.3定義8.10(pp.287) ：n変数実数値関数；.
※方向微分係数の計算公式
※２変数関数の方向微分
※ベクトル値関数の方向微分


[角度で方向を指定する場合の方向微分の定義－ベクトル表現]

・「y= f ( x )は実n次元数ベクトルaにおいて
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　に微分可能」
　とは、
　実n次元数ベクトル e=( cosθ1 , cosθ2 , …, cosθn )　にたいして、
　有限な右極限値
　　　　
　が存在することをいう。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元数ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+he(θ)　は、aとh eとのベクトル和を表す。　

・y= f ( x )は実n次元数ベクトルaにおいて
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　に微分可能であるとき、
　「aにおけるy= f ( x )のe方向微分係数」とは、
　　e=( cosθ1 , cosθ2 , …, cosθn )　にたいする有限な右極限値
　　　　　
　　のことを指す。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元数ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+he　は、aとh eとのベクトル和を表す。　
　　　
・「aにおけるy= f ( x )のe方向微分係数」を、
　e=( cosθ1 , cosθ2 , …, cosθn )　を用いて、
　　　De f (a)
　と表す。　

[文献－数学]
・黒田『微分積分学』8.3.3定義8.10(pp.287) ：n変数実数値関数；.



※方向微分係数の計算公式
※２変数関数の方向微分

　 　 　
　

[単位ベクトルで方向を指定する場合の方向微分の定義]
角度θ1 ,θ2 , …,θnの代わりに、単位ベクトルを用いて方向を指定して、
方向微分を定義することもできる。
・「y= f ( x )は実n次元数ベクトルaにおいてe方向に微分可能」とは、
　　実n次元単位ベクトルe=( e1 , e2 ,…, en )　にたいして、
　　有限な右極限値
　　　　　　
　が存在することをいう。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元単位ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+ h e　は、aとh eとのベクトル和を表す。

・y= f ( x )は実n次元数ベクトルaにおいてe方向に微分可能であるとき、
　「y= f ( x )」とは、
　実n次元単位ベクトルe=( e1 , e2 ,…, en )にたいする有限な右極限値
　　　　　
　のことを指す。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元単位ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+ h e　は、aとh eとのベクトル和を表す。　

・「aにおけるy= f ( x )のe方向微分係数」を、
　　　De f (a)
　と表す。　

[文献－数学]
・黒田『微分積分学』8.3.3定義8.10(pp.287) ：n変数実数値関数；.
・杉浦『解析入門』Ⅱ§3定義1 (p.107)：n変数m値ベクトル値関数；
・Lang,Undergraduate Analysis,15-§2-application(p.325): n変数実数値関数directional derivative;

[文献－数理経済学]
・高橋一『経済学とファイナンスのための数学』5.2Ⅲ方向微分(p.149) ：n変数実関数.
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-2-Definition2.1 (pp.163-4) ：n変数実数値関数.

※方向微分係数の計算公式
※２変数関数の方向微分/ベクトル値関数の方向微分
　



　 　

定義2


・「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)において、
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向　　　
　　に微分可能であって、
　　f (x1,x2,…,xn )の点(a1, a2, …,an)における
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　　の方向微分係数はA」
とは、
　f ( a1+t cosθ1 , a2+t cosθ2 , …, an+t cosθn )－（f ( a1, a2, …,an )+At ）＝o (t)　　(t→ +０)　
が満たされることをいう。

・「y= f ( x )は実n次元数ベクトルaにおいてe方向に微分可能であって、
　　aにおけるy= f ( x )のe方向微分係数はA」
　とは、
　実n次元単位ベクトルe=( e1 , e2 ,…, en )　にたいして、
　　f ( a+ te )－（f ( a )+At ）＝o (t)　　(t→ +０)　
　が満たされることをいう。
　　* teは、実n次元単位ベクトルeのスカラー倍を表し、
　　　a+ te　は、x0とteとのベクトル和を表す。　
・「aにおけるy= f ( x )のe方向微分係数」を、
　　　De f (a)
　と表す。　

[文献]




※方向微分係数の計算公式

※２変数関数の方向微分/ベクトル値関数の方向微分
　



→[トピック一覧：n変数関数の方向微分]
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定理：n変数関数の方向微分係数の計算公式 － 偏微分係数から計算可能
　 　 　
　

[角度で方向を指定された方向微分係数の場合－ベクトルを使わない表現]

 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)において全微分可能ならば、
 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)で、任意の方向に方向微分可能で、
「f (x1,x2,…,xn )の点(a1, a2, …,an)における
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　の方向微分係数」
は、　
　　f x1 ( a1, a2, …,an ) cosθ1+ f x2 ( a1, a2, …,an ) cosθ2+…+ f xn ( a1, a2, …,an ) cosθn　　　
となる。


[文献－数学]
・黒田『微分積分学』8.3.3定理8.11(pp.288) ：n変数実数値関数；.
　 　 　

　

[角度で方向を指定された方向微分係数の場合－ベクトルを使う表現]

 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)において全微分可能ならば、
 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)で、任意の方向に方向微分可能で、
「f (x1,x2,…,xn )の点(a1, a2, …,an)における
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　の方向微分係数」
は、
　　grad f (a1, a2, …,an)＝（f x1 ( a1, a2, …,an ) , f x2 ( a1, a2, …,an ) , …, f xn ( a1, a2, …,an ) ）
　　と
　　e=( cosθ1 , cosθ2 ,…, cosθn )　
　　との内積　
　　　　grad f (a1, a2, …,an)・e　　
　　となる。
つまり、De f (a1, a2, …,an)＝grad f (a1, a2, …,an) ・e


[文献－数学]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5定理5.2 (p.121)：n変数実数値関数；
・黒田『微分積分学』8.3.3式8.54(pp.289) ：n変数実数値関数；

[文献－数理経済学]
・高橋一『経済学とファイナンスのための数学』5.2Ⅲ方向微分(p.149) ：n変数実関数.
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-2-Definition2.1 (pp.163-4) ：n変数実数値関数.

[具体例]
・2変数関数の方向微分の計算公式　

[一般化]・ベクトル値関数の方向微分の計算公式
　

[単位ベクトルで方向を指定された方向微分係数の場合]

 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)において全微分可能ならば、
 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)で、任意の方向に方向微分可能で、
「f (x1,x2,…,xn )の点(a1, a2, …,an)におけるe方向微分係数」は、
　　grad f (a1, a2, …,an)＝（f x ( a1, a2, …,an ), f y ( a1, a2, …,an ) ）
　　と
　　e　
　　との内積　
　　　　　grad f (a1, a2, …,an)・e　　
　　となる。
つまり、De f (a1, a2, …,an)＝grad f (a1, a2, …,an) ・e
　 　 　

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定理：n変数関数の方向導関数 directional derivative

　 　 　
　


n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )が各点でe=( e1 , e2 ,…, en )方向に微分可能であるとき、
点a＝(a1, a2, …,an)においてe 方向微分係数の値は、
点a＝(a1, a2, …,an)のとりかたによって変わってくるから、
点a＝(a1, a2, …,an)の n変数関数。
 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のe方向の導関数directional derivativeとは、
この点a＝(a1, a2, …,an)に対して、a＝(a1, a2, …,an)におけるe 方向微分係数の値を返す n変数関数
のことをいう。


[文献－数学]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§3定義1 (p.107)：n変数m値ベクトル値関数；
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-2-Definition2.1 (pp.163-4) ：n変数実数値関数.

※2変数関数の方向導関数/ベクトル値関数の方向導関数
　 　 　

→[トピック一覧：n変数関数の方向微分]
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