※関連ページ―コンパクト集合の定義について: |
定理:R1全体は、コンパクト空間ではない。 |
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ハイネ・ボレルの被覆定理ないしボレル・ルベーグの定理Heine-Borel's Theorem,Borel-Lubesgue's Theorem |
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設定 |
R: 実数全部をあつめた集合(実数体) |
[文献] |
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定理 |
以下の3命題は、互いに同値である。 |
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活用例 |
※活用例:長さを定義する集合関数μ()の性質6の証明、 |
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証明 |
(証明:命題1⇒命題2) |
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→[トピック一覧:コンパクト性]
→総目次
定理:コンパクト集合には最大元・最小元が存在する |
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設定 |
R: 実数全部をあつめた集合(実数体) |
[文献] |
定理1 |
命題P「Rの部分集合Iが、R上のコンパクト集合である」が成り立つ |
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定理2 |
命題P'「Rの部分集合Iが有界閉集合である」が成り立つ |
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定理3 |
命題P'「Rの部分集合Iが、点列コンパクトである」が成り立つ |
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※ |
∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理により、上記三定理は同値である。 |
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活用例 |
・1変数関数の最大値・最小値定理 |
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証明 |
松坂『集合・位相入門』5章§2定理16系1(p.218)参照。 |
定理:カントールの共通部分定理 |
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→総目次
Reference
日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』岩波書店、1985年、項目92距離空間Fコンパクト距離空間。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 4章コンパクト空間4.1コンパクト性4.1.1コンパクト空間(p.123-125)
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第5章位相空間(その2)§2コンパクト性5.2.1-6 (p.142-3)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。第5章§2コンパクト性-Aコンパクト位相空間(pp.208-211)。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学:集合と位相 I・II』 岩波書店、1977年。 II.位相第3章コンパクト集合§3.1コンパクト位相空間-§3.2有限交叉性とコンパクト性(pp.243-8)
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第5講コンパクト性(pp.38-40):点列コンパクトのことをコンパクト性とよんでいる、第17講コンパクトな距離空間、第27講コンパクト空間と連結空間(pp.187-172)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、第六章位相数学§3コンパクト集合3.1-3.2 (pp.295-300)。卑近な例もまじえつつ、具体的に説明。
佐久間一浩『集合・位相―基礎から応用まで―』共立出版、2004年、4.3節pp.87-92。
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.33-48;55;66-7;70;.75-79;
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp. 13; 21;36; 46;53-65; 73.
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、p.16.
→総目次