距離空間(R¹,d)上のコンパクト集合についての定理：トピック一覧

　　・定理：ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理/R上のコンパクト集合の最大元最小元定理　

※関連ページ―コンパクト集合の定義について：
　　R¹上のコンパクトの定義、R²上のコンパクトの定義、Rⁿにおけるコンパクト集合、位相空間上のコンパクト、
※関連ページ―コンパクト集合の性質について：
　　R²上のコンパクト集合の性質、Rⁿ上のコンパクト集合の性質　
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定理：R¹全体は、コンパクト空間ではない。

[文献]
佐久間
『集合･位相』定理4.5(p.88);

ハイネ･ボレルの被覆定理ないしボレル・ルベーグの定理Heine-Borel's Theorem,Borel-Lubesgue's Theorem

設定

R:　　　実数全部をあつめた集合(実数体)　　　
(R,d) :　実数全体の集合Rに、距離dを与えてつくった距離空間　
I:　　　Rの部分集合　

[文献]
小平『解析入門I』定理1.27;1.28(pp.62-4);
高木『解析概論』1章7節定理111(p.16)
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.2.14:Rの有界閉区間⇒コンパクト;5.2.15:Rⁿのケース有界閉集合⇔コンパクト(pp. 145-6);
松坂『集合・位相入門』5章§2定理16(p.217)ユークリッド空間Rⁿ有界閉集合⇔コンパクト;
矢野『距離空間と位相構造』定理4.1:R¹の有界閉区間⇒コンパクト(p.124);定理4.3(p.126):コンパクト⇔点列コンパクト;定理4.5ユークリッド空間Rⁿ有界閉集合⇔コンパクト(p.128) ;
佐久間一浩『集合･位相』定理4.5(p.88):Rⁿのケース;
杉浦『解析入門I』1章§7コンパクト集合-定理7.4(pp.70-1) :Rⁿのケース;
『岩波数学事典』項目92距離空間Fコンパクト距離空間;

定理

以下の3命題は、互いに同値である。
[命題1]　Rの部分集合Iは有界閉集合である。
　　　　　　　（有界閉集合の例：(有界)閉区間や、とびとびの(有界)閉区間）　
[命題2]　Rの部分集合IがR上のコンパクト集合である。
[命題3]　Rの部分集合Iが点列コンパクトである。

活用例

※活用例：長さを定義する集合関数μ()の性質6の証明、
　　　　　R1上区間の長さと、そのルベーグ外測度が等しくなることの証明　
　　　　　連続関数の最大値・最小値定理　

証明

（証明：命題1⇒命題2）
以下を参照。
　　矢野『距離空間と位相構造』定理4.1:R¹限定(p.124);
　　松坂『集合・位相入門』5章§2定理16証明の後半部分(p.217);
　　斉藤『数学の基礎:集合･数･位相』
　　　　　2.5問題6(pp.64-5)→解(pp.251-2):順序対全般;5.2.14(p. 145) ;
　　杉浦『解析入門I』1章§7コンパクト集合-定理7.4(pp.70-2) :Rⁿ:背理法;　
（証明：命題2⇒命題1）
以下を参照。
　　松坂『集合・位相入門』
　　　　　5章§2定理16ユークリッド空間全般.ハウスドルフ性をつかう(p.217);
　　斉藤『数学の基礎:集合･数･位相』5.2.15前半:対偶を示す(p. 146) ;
　　杉浦『解析入門I』
　　　　　1章§7コンパクト集合-定理7.4(pp.70-1) :Rⁿ:対偶で有界を示し、
　　　　　KがコンパクトならKの補集合が開集合となることを示すことで
　　　　　Kが閉集合だと示す。;　
（証明：命題1⇒命題3）
以下を参照。
　　志賀『位相への30講』
　　　　　第５講コンパクト性(pp.38-40):ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理からR¹R²;
　　矢野『距離空間と位相構造』4.1.2(p.128);
　　杉浦『解析入門I』
　　　　　1章§7コンパクト集合-例2(p.64): ボルツァーノ･ワイヤストラスの定理から;
　　　　　　　　　定理7.2(pp.67-8) :Rⁿ一般
（証明：命題3⇒命題1）
以下を参照。
　　志賀『位相への30講』第５講コンパクト性(pp.38-40):対偶を示すR²;
　　矢野『距離空間と位相構造』定理4.5ユークリッド空間全般(p.128);
　　杉浦『解析入門I』1章§7コンパクト集合-定理7.2(pp.65-8) :Rⁿ一般;
（証明：命題2⇒命題3）
以下を参照。
　　矢野『距離空間と位相構造』定理4.3距離空間全般について(p.126-7);

（証明：命題3⇒命題2）
以下を参照。
　　矢野『距離空間と位相構造』定理4.5距離空間全般について(p.126-7);

定理：コンパクト集合には最大元･最小元が存在する　

設定

R:　　　実数全部をあつめた集合(実数体)　　　
(R,d) :　実数全体の集合Rに、距離dを与えてつくった距離空間　
I:　　　Rの部分集合　

[文献]
松坂『集合・位相入門』5章§2定理16系1(p.218)

定理1

命題P「Rの部分集合Iが、R上のコンパクト集合である」が成り立つ
ならば、
命題Q「Rの部分集合Iに、その最大元 max I・その最小元 min Iが存在する」

定理2

命題P'「Rの部分集合Iが有界閉集合である」が成り立つ
ならば、
命題Q「Rの部分集合Iに、その最大元 max I・その最小元 min Iが存在する」

定理3

命題P'「Rの部分集合Iが、点列コンパクトである」が成り立つ
ならば、
命題Q「Rの部分集合Iに、その最大元 max I・その最小元 min Iが存在する」

※

∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理により、上記三定理は同値である。

活用例

・1変数関数の最大値・最小値定理
・2変数関数の最大値・最小値定理　
・n変数関数の最大値・最小値定理　

証明

松坂『集合・位相入門』5章§2定理16系1(p.218)参照。
定理2を示す。
・「Rの部分集合Iが有界である」とは、
　「Rの部分集合Iが上に有界かつ下に有界」
　と定義された。
　したがって、実数の連続性公理により、
　「Rの部分集合Iが有界である」ならば、Rの部分集合Iには、上限supI・下限inf Iが存在する。　　
・「Rの部分集合Iが閉集合である」とは、「Iのすべての境界点がＩに属すこと」として定義された。
・上記二点より、
　「Rの部分集合Iが有界閉集合である」ならば、supI・inf Iが存在し、かつsupI・inf IがＩに属す。
・supとmaxの関係、infとminの関係により、
　　「supI・inf Iが存在し、かつ、supI・inf IがＩに属す」ならば、max I=supI、min I=inf I
　となるので、
　上記は、次のように言換えてよい。
　すなわち、
　　「Rの部分集合Iが有界閉集合である」ならば、max I・min Iが存在する　　

定理：カントールの共通部分定理

[文献]
『岩波数学事典』項目92距離空間Fコンパクト距離空間;