位相空間から位相空間への連続写像とコンパクト性・連結性：トピック一覧　　

　・定理：連続写像のコンパクト不変性/連続写像の連結不変性　　　

　※位相空間のあいだの写像の諸概念：写像の定義/連続性の定義/　　　
　※位相空間の間の連続写像の具体例：1変数関数の連続性/2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性/実数値関数の連続性/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ベクトル値関数の連続性/距離空間から距離空間への連続写像　
　→総目次

定理：位相空間のあいだの連続写像のコンパクト不変性

要旨

コンパクト空間を連続写像によって写した像はコンパクト。

設定

この定理は、
以下の手順で設定された舞台の上で
成立する。
Step1：2つの集合を用意する(集合ならなんでもよい)。
　　　　　　・集合X
　　　　　　・集合Y
Step2：「集合X」から「集合Y」への写像 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→Y 」　

[具体例]
1変数関数/2変数関数/ n変数関数/実数値関数/ベクトル値関数/距離空間の間の写像のコンパクト不変性

[文献]
矢野『距離空間と位相構造』定理4.7(p.131)
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』3.4.19 (p.90)
松坂『集合・位相入門』5章§2-D定理12(p.212):証明付

Step3：集合X,Yに位相が与えられており、X,Yが位相空間として扱われるものとする。
　　　　つまり、
　　　　集合X,Yそれぞれに、それぞれの開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素が与えられているものとする。　

定理

命題P「写像『f：X→Y』がX上連続」
かつ
命題Q「Xがコンパクト」
ならば、
命題R「写像『f：X→Y』によるXの像 f (X) はコンパクト」

→[トピック一覧：連続写像の性質]
→総目次

　位相空間のあいだの連続写像の連結不変性

要旨

連結位相空間を連続写像によって写した像は連結。

設定

この定理は、
以下の手順で設定された舞台の上で
成り立つ。
Step1：2つの集合を用意する(集合ならなんでもよい)。
　　　　　　・集合X
　　　　　　・集合Y
Step2：「集合X」から「集合Y」への写像 f を用意。
　　　　つまり、「 f：X→Y 」　

[具体例]
1変数関数の中間値定理/2変数関数の中間値定理/ n変数関数の中間値定理/ベクトル値関数の連結不変性/距離空間の間の写像の連結不変性　

[文献]
松坂『集合・位相入門』5章§1定理1(p.196);
斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』5.3.4 (p.161);
志賀『位相への30講』27講(p.190)
矢野『距離空間と位相構造』定理5.5(p.168);

Step3：集合X,Yに位相が与えられており、X,Yが位相空間として扱われるものとする。
　　　　つまり、
　　　　集合X,Yそれぞれに、
　　　　それぞれの開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素が与えられているものとする。

定理

命題P「写像『f：X→Y』がX上連続」
かつ
命題Q「Xが連結位相空間」
ならば、
命題R「写像『f：X→Y』によるXの像 f (X) は連結」

→[トピック一覧：連続写像の性質]
→総目次