数列の極限の性質　：　トピック一覧

・収束数列の性質：極限値の唯一性/収束列の部分列も収束/収束列は有界　
・収束数列間の演算と極限：定数との和/反数/定数倍/和/積/逆数/商　
・発散数列との演算と極限：　　
・数列間の大小と極限：収束列の大小と極限/発散列との大小と極限/はさみうちの原理
・数列の収束の十分条件：有界単調数列の収束定理/ボルツァノ・ワイエルストラスの定理
・数列の収束の必要十分条件：コーシー列/コーシーの判定法
→関連ページ：
　　・数列の定義/数列の極限の定義
　　・数列の上限sup下限infの性質　

→総目次

数列間の大小関係と極限操作
0. 収束数列の大小関係は、極限操作後も、保存される。

【表現1】

・数列{an}、数列{bn}が
　　[条件1]　数列{an}がαに収束
　　かつ
　　[条件2]　数列{bn}がβに収束　
　　かつ
　　[条件3]　どの自然数nについても、an≦bnが成り立つ
　を満たすならば、
　α≦β。
・つまり、
　「an→α (n→∞)  かつ bn→β (n→∞) かつ (∀n∈N)（an≦bn)」⇒ 「α≦β」 

【表現2】

・収束列{an},{bn}について、　　


　
　　 (∀n∈N)（an≦bn)　⇒　 lim an　≦   lim bn
n→∞ n→∞
※なぜ？→証明　※cf. 「数列の大小関係」と「数列の上限の大小関係」




[文献]
　・『高等学校微分・積分』p.11. 証明なし
　・杉浦『解析入門I』定理2.6(p.15):表現1
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.1(5)(p.69.):表現2
　・赤攝也『実数論講義』定理5.2.2(i)(p.１19):背理法による証明付:表現2
　・小平『解析入門I』定理1.14 (p.26)
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理1-3 (p.7)
　・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.9(pp.49-50)
　・松坂『解析入門1』2.1-E-定理4(p.65):証明略。
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.３(p.8):背理法による証明付
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』3.1.9-ii(p.92)
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.３命題4(p.53)：証明略。順序体一般において。

　・青本『微分と積分1』§1.２(b)命題1.18(i)(p.14)：証明略。
　
※  活用例：区間縮小法の原理の証明/

1. 「＋∞に発散する数列」との大小関係

【表現1】

・数列{an}、数列{bn}が
　　[条件1]　数列{an}が∞に発散する、
　　かつ
　　[条件2]　どの自然数nについても、an≦bnが成り立つ
　を満たすならば、
　 数列{bn}は∞に発散する。
・つまり、
　「an→∞(n→∞)  かつ (∀n∈N)（an≦bn)」⇒ 「bn→∞(n→∞) 」 

【表現2】


　
　　 (∀n∈N)（an≦bn)　かつ　 lim an=+∞　⇒　 lim bn →+∞　
n→∞ n→∞

2. 「−∞に発散する数列」との大小関係

【表現1】

・数列{an}、数列{bn}が
　　[条件1]　数列{bn}が−∞に発散する、
　　かつ
　　[条件2]　どの自然数nについても、an≦bnが成り立つ
　を満たすならば、
　 数列{an}は−∞に発散する。
・つまり、
　「bn→−∞(n→∞)  かつ (∀n∈N)（an≦bn)」⇒ 「an→−∞(n→∞) 」 

【表現2】


　
　　 (∀n∈N)（an≦bn)　かつ　 lim bn=−∞　⇒　 lim an →−∞　
n→∞ n→∞
　　　　　　




[文献]
　・『高等学校微分・積分』p.11. 証明なし
　・松坂『解析入門1』2.1-E-定理4(p.65):証明略。
　・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.9(pp.49-50)
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理3 (p.9)証明なし
　・青本『微分と積分1』§1.２(b)命題1.18(i)注意1.19(p.14)：証明略。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』3.1.10(p.92)

　

　






３.「はさみうち」の原理

【表現1】

・数列{an}、{bn}、{cn}が、
　　[条件1]　数列{an}はαに収束
　　かつ
　　[条件2]　数列{bn}もαに収束　
　　かつ
　　[条件3]　どの自然数nについても、an≦cn≦bnが成り立つ
　を満たすならば、
　数列{cn}もαに収束。
・つまり、
　「an→α (n→∞)  かつ bn→α (n→∞) かつ (∀n∈N)（an≦cn≦bn)」
　　⇒ 「cn→α (n→∞) 」 

【表現2】

・収束列{an},{bn},数列{cn}について、


　
　(∀n∈N)（an≦cn≦bn)　かつ　 lim an＝  lim bn
n→∞ n→∞




　
 　
　
　　 ⇒　 lim an＝  lim cn＝ lim bn
n→∞ n→∞ n→∞

※なぜ？→ 杉浦『解析入門Ｉ』命題2.7(p.16)を参照。　




[文献]
　・『高等学校微分・積分』p.11. 証明なし
　・杉浦『解析入門I』定理2.7(p.1６):証明つき
　・赤攝也『実数論講義』定理5.2.2(ii)(p.１19;120-121):証明付.表現2。
　・笠原『微分積分学』1.2命題1.9(p.12):証明付
　・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.9(pp.49-50)
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理3 (p.9)証明なし
　・青本『微分と積分1』§1.２(b)命題1.18(ii)(p.14)：証明略。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』3.1.9-iv(p.92)
　・松坂『解析入門1』問題2.1(p.67)


　

　






→[トピック一覧：数列の極限の性質]
→総目次

数列の収束の十分条件 ：「 単調有界数列の収束定理」　
　




・「有界単調数列の収束定理」−内容
・「有界単調数列の収束定理」−証明　
・実数体における「有界単調数列の収束定理」の位置づけ
・実数体における「有界単調数列の収束定理」の位置づけの証明






「有界単調数列の収束定理」その1−内容

上に有界な広義単調増加列は、その上限に収束する。
つまり、


　数列{an}が上に有界な広義単調増加列ならば、  lim
 an＝ sup  an  　
n→∞
もっと言うと、


　（∃ M∈R）(a1≦a2≦a3≦…≦an≦…≦M) ⇒  lim
 an＝ sup  an  　
n→∞
※なぜ？→証明
※予備知識：上に有界な数列には、つねに、上限が存在する　　
　→杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1 (p.17);
　　青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19);p.20中間;
　　黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6)
　　Lang, Undergraduate Analysis,Chap2§1-Theorem1.1(pp.33-34)
　
「有界単調数列の収束定理」その2−内容

下に有界な広義単調減少列は、その下限に収束する。

つまり、


　数列{an}が下に有界な広義単調減少列ならば、  lim
 an＝ inf  an  　
n→∞
もっと言うと、


　（∃ M∈R）(a1≧a2≧a3≧…≧an≧…≧M) ⇒  lim
 an＝ inf  an  　
n→∞
※なぜ？→証明
※予備知識：下に有界な数列には、つねに、下限が存在する　　
　→杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1 (p.17);
　　青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19);p.20中間;
　　黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6)

「有界単調数列の収束定理」その3−内容

　有界な広義単調列は収束列である。　　　　
　　　　（単調でない有界な数列については、収束するかどうか、わからない）
　→笠原『微分積分学』1.2定理1.10(p.13)
※なぜ？→上記の(1)(2)より。

「有界単調数列の収束定理」−参考1

上に有界でない広義単調増加列は、＋∞に発散する。
つまり、


　数列{an}が上に有界でない広義単調増加列ならば、  lim
 an＝ ＋∞  　
n→∞
　　　[杉浦『解析入門I』I-§3定義2-3.5(p.19):+∞の定義より]

「有界単調数列の収束定理」−参考2

　下に有界でない広義単調減少列は、−∞に発散する。
　つまり、


　数列{an}が上に有界でない広義単調増加列ならば、  lim
 an＝ −∞  　
n→∞
　　　[杉浦『解析入門I』I-§3定義2-3.5(p.19)]




[文献−実数の連続性まで見通したスケールの大きな説明]
　・赤攝也『実数論講義』§５.4公理6-3(p.１２9):(1)証明付;公理6-3'(p.１２9):(2)証明略;
　　　p.130,pp.133-4では、
　　　「実数のデデキントの連続性公理」⇔「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」
　　　　⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　が指摘。
　　　p.129:「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇒「有界単調数列の収束定理」
　　　pp.133-１42：「有界単調数列の収束定理」⇒「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒「実数のデデキントの連続性公理」
　　　
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.2(p.71.) :(1)(2)(3)すべてワイエルストラス連続性公理から証明。
　　注意2.2.1(p.76)で
　　「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+ボルツァノワイエルストラス」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+コーシー列の収束」
　　等を指摘。証明は略。
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1(p.17)→R17実数の連続公理(p.7):(1)(2)証明付;I-§3定義2-3.5(p.19):(4)(5)
　　　　1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27)で、
　　　　　　　　　　ワイヤストラス⇒有界単調増加数列の収束⇒「アルキメデス＋区間縮小法」
　　　　　　　　　　　　⇒ボルツァノ・ワイヤストラス⇒「アルキメデス＋コーシー収束条件」⇒ワイヤストラス
　　　　を提示。
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.8定理(pp.55-58)：
　　　順序体一般において
　　　　「ワイエルストラスの連続性公理」「有界単調数列の収束定理」「コーシー完備＋アルキメデスの公理」
　　　が同値であることを証明。
　　　これら同値な条件を備えた順序体として実数体を定義[2.5.13(p.59)]、
　　　これらの同値な条件を実数の連続性と呼ぶ。

　・黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6):(1)(2)。(1)の証明付。
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69):(1)(2)。(1)のみ証明付。
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.4(pp.9-11)
　・矢野『距離空間と位相構造』定理A.1６(p.243):証明付;
　　　　　　　　　　　　　定理A.17とA.18のあいだ(p.244):これ⇔ワイヤストラス⇔ボルツァノ・ワイヤストラスであって、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　どれを実数の公理としてもよい。
　・高木『解析概論』定理6(p.8);
　　　　　　　第１章5(pp.10-11)で
　　　　　　　　　　デデキントの公理⇒ワイヤストラスの公理⇒ 有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法⇒デデキントの公理
　　　　　　　を証明したと主張
　　　　　　　（区間縮小法⇒デデキントの公理は、「区間縮小法＋アルキメデスの公理」⇒デデキントの公理の間違い？）

　（参考として）
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理16.9(p.173):(1)実数の連続性公理からの証明付
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし実数がデデキントの切断として定義されている。);
　　　　　　　　　　　　　　　　　　系16.10(p.174):(2)証明略


　・青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19)：(1)(3):これを実数の連続性公理として提示。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここから、　上に有界な数列には、つねに、上限が存在するを導出。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実数の連続性の説明：例(5)(p.2)→§1.3(pp.17-19):有理数列の極限としての実数。
　・志賀『解析入門30講』第2講(pp.10-11;13):単調有界数列の収束定理を定理ではなく「実数の連続性の公理」として提示。
 　　　　　　　　p.11実数の十進小数展開との関連。
　　　　　　　　　pp.13-14：単調有界数列の収束定理⇒区間縮小法

　・小林昭七『微分積分読本:1変数』 1章6実数の完備性-定理3(p.23):
　　　　　　　　　　　　　　　　　「単調増加列が収束するための必要十分条件は上に有界」

[文献−実数の連続性まで見通さないスケールの小さい説明]
　・小平『解析入門I』§1.5-b 定理1.20(p.37):(1)(2).証明は(1)のみ。
　・笠原『微分積分学』1.2定理1.10(p.13):(3)。証明は(1)。小平と同じ？
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(pp.173-174).証明なし
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理4(p.10.)
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1-Theorem1.1(pp.33-34)proof付。
　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, Theorem3.1(p.49)




cf.　定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。　　
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理　　
※活用例：有理数指数の累乗の大小関係/

 



実数体における「有界単調数列の収束定理」の位置づけ

　・「有界単調数列の収束定理」は、実数の連続性公理と同値。
　　つまり、実数の連続性公理の言い換えにすぎない。

実数体における「有界単調数列の収束定理」の位置づけの証明

　・「有界単調増加列の収束定理」⇒「アルキメデス」＋「区間縮小法」の証明
　・「アルキメデス」＋「区間縮小法」⇒「Bs-W」の証明　






cf.　定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。　　
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理　　
※活用例：有理数指数の累乗の大小関係/


→[トピック一覧：数列の極限の性質]
→総目次

ボルツァノ・ワイエルストラスの定理　 theorem of Bolzano-Weierstrass 






　




→「Bolzano-Weierstrassの定理」−内容
→「Bolzano-Weierstrassの定理」−証明
→実数の公理における「Bolzano-Weierstrassの定理」の位置
→実数の公理における「Bolzano-Weierstrassの定理」の位置の証明






「Bolzano-Weierstrassの定理」−内容

【有界数列・部分列を用いた表現】

・「実数列a1,a2,a3,…」が有界数列ならば、
　「実数列a1,a2,a3,…」のあらゆる部分列
　　　・a1,a2,a3,…
　　　・a1,a3,a5,…
　　　・a2,a3,a4,…
　　　・a2,a4,a6,…
　　　：
　　　：
　のなかに、
　少なくとも1列の収束数列を見つけることができる。

【標語】

　このことは、以下のキャッチコピーで言い表される
　・「有界数列には、収束部分列が存在する」[赤]　
　・「有界数列は収束部分列を含む」[吹田]
　・"Every bounded real sequence contains at least one convergent subsequence."
　　　　　　　　　　[deLaFuente:Theorem3.3(p.52)]
　・「有界数列は常に収束部分列をもつ」[杉浦;永倉宮岡:黒田]。
　・"Every bounded sequence of numbers has a convergent subsequence."
　　　　　　　　　　　　　　　[Lang:Collorary1.4(p.36)]
※なぜ？→証明　

【部分列の定義に遡った表現】

・「実数列a1,a2,a3,…」が有界数列ならば
　ある狭義単調増加自然数列
　　　n1,n2,n3,…（任意のk∈N にたいしてnk∈N かつnk＜nk+1）
　が存在して、
　　　数列　
a
， 
n1
a
， 
n2
a
， 
n3
a
， 
n4
a
， 
n5
… 　
　は収束列となる。　　

※なぜ？→証明　

【有界数列と部分列の定義に遡った表現】


・「実数列a1,a2,a3,…」に対して、ある実数m,Mが存在して、
　　　　　　　任意のnについて  an∈ [m,M]を成立させられるならば、
　ある狭義単調増加自然数列
　　　n1,n2,n3,…（任意のk∈N にたいしてnk∈N かつnk＜nk+1）
　が存在して、
　　　数列　
a
， 
n1
a
， 
n2
a
， 
n3
a
， 
n4
a
， 
n5
… 　
　は収束列となる。　　

※なぜ？→証明　


[文献−実数の連続性まで見通したスケールの大きな説明]
　・赤攝也『実数論講義』§５.4公理6-5(pp.１44-150):「アルキメデス＋区間縮小法」⇒「ボルツァノ・ワイヤストラス」の証明;
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.4(p.24)「アルキメデス＋区間縮小法」⇒ボルツァノ・ワイヤストラス
　　　　　　　　　　　　定理3.6(pp.26-7)⇒ボルツァノ・ワイヤストラス⇒「アルキメデス＋コーシー収束条件」
　・黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.14(pp.57-8):証明付。コンパクト性。
　・矢野『距離空間と位相構造』4.1閉区間は点列コンパクト(p.128);定理A.17B-Wの定理(p.243):証明付;
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.3(pp.71-4) :証明付

　・小林昭七『微分積分読本:1変数』 1章6実数の完備性-定理1theorem of B-W (pp.19-20):
　　　　　　　　　　　　　　　　　「トポロジーの本では閉区間はコンパクトという形で述べてある」
　

[文献−実数の連続性まで見通さないスケールの小さい説明]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理5(p.11.):証明付。1章§2-V-集積点(p.16):集積点の概念をつかった表現。
　・笠原『微分積分学』1.2定理1.14(p.15):証明付(区間2等分
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』演習問題16-2(p.177)「閉区間のなかで定義された無限数列は」;解答(p.213):区間2分
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.6-iii(p.106)
　・小平『解析入門I』§1.6-e 定理1.30(p.65):平面上の点列について。証明付(ハイネボレルの被覆定理から)。
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1-Theorem1.2〜Collorary1.4(pp.35-36)
　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, Theorem3.3(p.52)

[文献−Bolzano-Weierstrassの定理についての記述がみあたらない]
　・加藤『微分積分学原論』
　・松坂『解析入門1』ない。コンパクトの話は、第三巻。
　・和達『微分積分』
　・青本『微分と積分1』





※「収束数列は有界」であったが、逆（「有界数列は収束」）は成立しなかった（→定理）。
　しかし、
　「有界数列は収束」を、
　「有界数列の部分列のなかには、収束数列が存在する」まで弱めると、
　成立するーこれが、Bolzano-Weierstrassのメッセージ。
※「有界な無限集合は、少なくとも一つ集積点を持つ」と言い換えることができる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　[吹田・新保:p.16;Lang:Collorary1.3(p.36)]
　　Lang:Theorem1.2(p.35)は、別の言い換え表現を提示。
    　→点列コンパクト/ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理　　　
　　cf.　定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。　　
　　　　定理：有界な単調数列は収束する。　　

→[トピック一覧：数列の極限の性質]
→総目次
　

定義：コーシー列 Cauchy seauence, 基本列 fundamental sequence


直感的な定義


・「数列 { an } はコーシー列 である」「数列 { an } は基本列である」とは、
　数列 { an } の「項の番号」nが大きくなるにつれて、
　数列 { an } の各項が次第に密集していくことをいう。[→志賀]


厳密な定義の主旨
　※概念「コーシー列」の活用上の意義　
　　「数列{an}がaに収束する」という条件は、(1){an}は収束する、(2)その極限値はaで ある、という二つの部分に分けられるが、
　　 (2)の極限値を求めることが面倒な数列について、とりあえず、 (1)の収束だけを示したいときがある。
　　　そんなとき、(2)極限値を表に出さずに数列の収束のみを示せる条件があると便利。
　　　それが、「コーシー列」。 「コーシー列」であることは、数列が収束する必要十分条件だが、極限値についてまったく触れないですむ。
　※概念「コーシー列」の理論上の意義
　　　コーシーの収束条件とアルキメデスの原理をあわせると、実数の連続性公理と同値となる。つまり、コーシーの収束条件は、「実数の定義」の本質的要素の一表現。


・「数列 { an } はコーシー列 Cauchy sequenceである」　「数列 { an } は基本列 fundamental sequence である」とは、
　　「数列{an}の項どおしの距離の目標」εをどのような『正の実数値』に指定しようとも、
　　　　その「項どおしの距離の目標」εに応じて、数列{an}のはじめの有限N個の項を選んで、これを無視することにすれば、
　　　　　　　「(N+1)番目の項」に後続する任意の二項間の実際の距離を、「項どおしの距離の目標」ε以下に収めることができる
　ということ。　　[笠原『微分積分学』;『岩波数学辞典』]



厳密な定義の正確な表現

・「数列 { an } はコーシー列 Cauchy sequenceである」
　「数列 { an }は基本列 fundamental sequence である」
　とは、
　数列 { an } において、
　任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　　（つまり、εを1でも、0.1でも、0.00…001まで狭めても）
　ある（十分大きな）自然数Nが存在して、
　　　　　　 「　m,n≧Nならば、　|   am−an  |＜ε　」
　　すなわち、「　m,n≧Nならば、　−ε＜ am−an＜＋ε　」
　を満たす
　ということ。
　論理記号で表すと、
　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀m,n∈N) ( m,n≧N⇒ | am−an |＜ε)


記号

・「数列 { an } はコーシー列 Cauchy sequenceである」
　「数列 { an }は基本列 fundamental sequence である」
　ということを、
　以下の記号で表すことがある。



lim
  ( am − an )＝0  　　　[→杉浦;黒田;青本] 　
m,n→∞

　　 am − an → ０ (m,n→∞)  　　　[→吹田・新保]


[文献]
　・『岩波数学辞典』156B-5(p.418):やや文章化
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義5(p.25):論理記号。表す極限風の記号。命題3.5で有界性。
　・志賀『解析入門30講』第３講(p.21):文章化
　・笠原『微分積分学』1.2定義1.12(p.14）:文章化
　・黒田『微分積分学』§2.6.3定義2.8(p.62):表す極限風の記号。
　・青本『微分と積分1』§1.3(c)定義1.31(p.23) :表す極限風の記号で定義。ユニーク。
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理６(p.12.):表す極限風の記号(注)。
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義2.5.4コーシー列;定義2.5.6コーシー完備;(p.54):実数の連続性公理との関連。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.7(p.107):有価異性も指摘。
　・赤攝也『実数論講義』§５.8定義5.8.1(p.１54);
　・松坂『解析入門1』2.1数列-F-定義(p.76)
　・小平『解析入門I』§1.4-b 定理1.13(p.24):「Cauthyの判定法」として。「Cauthy列」「基本列」は出ない。
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定義17.1(p.180):こなれた日本語にはしていない。;
　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定義2.2.6(p.74)　
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.６(pp.11-12):証明付
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1(p.37)






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数列の収束の必要十分条件：コーシーCauchyの判定法、コーシーの収束条件、コーシー完備性
・「実数の数列 { an }が収束する」ための必要十分条件は、

　「実数の数列 { an }がコーシー列である」こと。


　つまり、
　　　・命題P「実数の数列 { an }は収束列」⇒命題Q「実数の数列 { an }はコーシー列」
　　　・命題Q「実数の数列 { an }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { an }は収束列」
　がともに成立する。


・「実数体Rはコーシー完備である」とは、

　　実数体Rの性質として、

　　　　命題Q「実数の数列 { an }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { an }は収束列」

　　が成り立つという事実を指す。[→斎藤]。

　　
※命題P「実数の数列 { an }は収束列」⇒命題Q「実数の数列 { an }はコーシー列」
　　が成立すると言えるのは、なぜ？→証明　

※命題Q「実数の数列 { an }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { an }は収束列」　
　　が成立すると言えるのは、なぜ？→証明　

※赤攝也『実数論講義』は、

　　　　命題Q「実数の数列 { an }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { an }は収束列」

　を「カントルの公理」と呼ぶが、これは一般的なのか？　　


→実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置
→実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置の証明


[文献]
　・『岩波数学辞典』156B-5(p.418)


　・小林昭七『微分積分読本:1変数』 1章6実数の完備性-定理2(pp.21-22):
　　　　　　　　　　　　　　　　　「トポロジーの本にはRは完備な距離空間という形で述べてある」

　・杉浦『解析入門I』：定理3.6(pp.26-27):注意3で順序体一般で成立するのは「収束列⇒コーシー列」だけで、
　　　　　　　　逆は順序体一般では成立しない、よって、有理数のコーシー列の極限は有理数体のなかには存在しない、と指摘。
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義2.5.4コーシー列;定義2.5.6コーシー完備;(p.54):実数の連続性公理との関連。
　　　　「収束列⇒コーシー列」は順序体一般(たとえば、実数体、有理数体)で成立するが、
　　　　「コーシー列⇒コーシー列」のほうは、成立する順序体（たとえば実数 体）と成立しない順序体（たとえば有理数体）に分かれる。
　　　　「コーシー列⇒コーシー列」の成立する順序体を、「コーシー完備な順序体」と呼ぶ。
　　　　順序完備（ワ イヤストラスの公理が成立する）な順序体ならば、コーシー完備な順序体であるが、
　　　　コーシー完備な順序体は、順序完備でないものと順序完備であるものに分か れる。
　　　　コーシー完備であることに加えて、アルキメデスの公理を満たす順序体となって初めて、
　　　　順序完備な順序体になる[定理2.5.8(p.55)]。
　・赤攝也『実数論講義』§５.8定理5.8.1(p.１54):P⇒Q.収束の定義からの証明;カントルの公理(pp.155-6):Q⇒P.B-Wからの証明
　・笠原『微分積分学』1.2定理1.13(p.14）
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.9(p.107)
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理17.2(p.180);定理17.4(p.181)
　・小平『解析入門I』§1.4-b 定理1.13(p.24):「Cauthyの判定法」
　・松坂『解析入門1』2.1数列-F-定理6(p.76)
　・青本『微分と積分1』§1.3(c)命題1.32(p.23);定理1.33(p.23)
　・黒田『微分積分学』§2.6.3定理2.16(p.62)
　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定理2.2.4(p.74-5)
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理６(p.12.):証明付。
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.６(pp.11-12):証明付
　・志賀『解析入門30講』第３講(pp.21-22):証明つき
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1(p.37)




　　　

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