2変数関数の極限の性質トピック一覧  

  ・極限値どおしの演算[極限値の和差/定数倍//]  
  ・
コーシーの判定条件  

 関連ページ:1変数関数の極限の性質/ n変数関数の極限の性質/ベクトル値関数の極限の性質
 ※2変数関数に関する諸概念の定義:2変数関数の諸属性/極限/連続性/偏微分/全微分/矩形上の積分/点集合上の積分 
 
参考文献総目次

定理:2変数関数の極限値どおしの演算

舞台
設定

f,g平面R2上の点集合D(定義域)Dに属すPにたいして実数を対応づける2変数関数
A=(x0, y0)平面上の点集合D上の定。つまり、A=(x0, y0)DR2
P=(x, y)
平面上の点集合D上の動。つまり、つまり、P=(x, y)DR2 

定理1

証明

[ sum-difference limit theorem ] 
f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA) ならば、{f (P)±g (P)}c+d ( PA )
つまり、PAとしたときにf (P),g (P)収束するならば
       
 

cf.
1変数関数の極限値どおしの演算
n変数関数の極限値どおしの演算
ベクトル値関数の極限値のベクトル和
ベクトル値関数の極限値のスカラー倍

[文献]
吹田新保『
理工系の微分積分学p.23;
小平『解析入門Upp.259-260:証明略
杉浦『
解析入門I』定理6.6(pp.57-63)RnRmの関数一般について
木『
解析概論9極限(p.21):証明略.

定理2

証明

f ( P )d (PA) ならば任意の実数cに対して、cf (P)cd ( PA )
つまり、PAとしたときに、f(P)収束するならば任意の実数cに対して、
       
    

定理3

証明

[ product limit theorem ] 
f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA) ならば、{f (P)g (P)}cd ( PA )
つまり、PAとしたときに、f (P),g (P)収束するならば、 
       
  

定理4

証明

[quotient limit theorem]  
f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA)かつc≠0 ならば、{g (P)/f (P)}d/c ( PA )
つまり、PAとしたときにf (P),g (P)収束し
     
かつ、このときのf(P)極限値が0でないならば、 
        
 

   

[トピック一覧:2変数関数の極限の性質]
総目次 

   

証明→定理1

PAとしたときにf(P)実数c収束しかつg(P)実数d収束する
    つまり、
f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA) 
と仮定する。…
(0)
[
予備作業]
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
f ( P )c ( P A ) 
  
 { Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)c (n→∞) (1-1)
 
g ( P )d ( P A ) 
  
 { Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) g (Pn)d (n→∞)(1-2)
2変数関数h( P )=f ( P )±g ( P ) を定義する。
 
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) h (Pn)e (n→∞)  
  
h ( P )e ( PA ) 
 ここで、h( P )を、f ( P )±g ( P )に戻すと、 
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) {f (Pn)±g (Pn)}e (n→∞)
  
 {f (P)±g (P)}e ( PA ) …(1-3)
収束数列の演算則より、
 
数列{ f (P1), f (P2), f (P3),…}、{ g(P1), g(P2), g(P3),…}について 
   
f (Pn)c (n→∞) かつ g(Pn)d (n→∞)    
 
ならば
  
f (Pn)±g (Pn)c+d  (n→∞)   …(1-4)
[
本題]
・仮定(0)f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA)」のもとで、
  
(1-1) (1-2) (1-4)より、
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)c (n→∞)かつg (Pn)d (n→∞) 
                           
 f (Pn)±g (Pn)c+d (n→∞)  
   …
(1-5) 
(1-5)は、(1-3)を用いて、{f (P)±g (P)}c+d ( PA ) と言い表せる。
 したがって、
 仮定
(0) f ( P )c (PA) かつ g ( P )d (PA)」のもとで、
 {
f (P)±g (P)}c+d ( PA )である 。

戻る

   

証明→定理2

PAとしたときにf(P)実数d収束する、つまり、f ( P )d (PA) 
と仮定する。…
(0)
[
予備作業]
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
f ( P )d ( P A ) 
  
 { Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)d (n→∞) (1)
2変数関数h( P )=cf ( P ) (c任意の実数)を定義する。
 
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) h (Pn)e (n→∞)  
  
h ( P )e ( PA ) 
 ここで、h( P )を、cf ( P )に戻すと、 
 
{ Pn })(PnA (n)かつ(n) (Pn A) cR)(cf (Pn)e (n→∞)
  
 cR)(cf (P)e ( PA ) …(2)
収束数列の演算則より、
 
数列{ f (P1), f (P2), f (P3),…}について、f (Pn)d (n→∞)ならば任意の実数cに対し、cf (Pn)cd (n→∞)
  f (Pn)d (n→∞)cR)(cf (Pn)cd (n→∞)       
    …
(3)
[
本題]
・仮定(0)f ( P )d (PA)」のもとで、
  
(1),(3)より、
 
({ Pn }) (( PnA (n)かつ(n) (Pn A))(f (Pn)d (n→∞))(cR)(cf (Pn)cd (n→∞)
   …
(4) 
(4)は、(2)を用いて、cR)(cf (P)cd ( PA ) と言い表せる。
 したがって、
 仮定
(0) f ( P )d(PA) 」のもとで、cR)(cf (P)cd ( PA )である 。

戻る

   

証明→定理3

PAとしたときにf(P)実数c収束しかつg(P)実数d収束する
    つまり、
f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA) 
と仮定する。…
(0)
[
予備作業]
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
f ( P )c ( P A ) 
  
 { Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)c (n→∞) (1-1)
 
g ( P )d ( P A ) 
  
 { Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) g (Pn)d (n→∞)(1-2)
2変数関数h( P )=f ( P )g ( P ) を定義する。
 
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) h (Pn)e (n→∞)  
  
h ( P )e ( PA ) 
 ここで、h( P )を、f ( P )g ( P )に戻すと、 
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)g (Pn)e (n→∞)
  
 f (P)g (P)e ( PA ) …(2)
収束数列の演算則より、
 
数列{ f (P1), f (P2), f (P3),…}、{ g(P1), g(P2), g(P3),…}について 
   
f (Pn)c (n→∞) かつ g(Pn)d (n→∞)    
 
ならば
  
f (Pn)g (Pn)cd  (n→∞)   …(3)
[
本題]
・仮定(0)f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA)」のもとで、
  
(1-1) (1-2) (3)より、
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)c (n→∞)かつg (Pn)d (n→∞) 
                           
 f (Pn)g (Pn)cd (n→∞)  
   …
(4) 
(4)は、(2)を用いて、f (P)g (P)cd ( PA ) と言い表せる。
 したがって、
 仮定
(0) f ( P )c (PA) かつ g ( P )d (PA)」のもとで、
 {
f (P)g (P)}cd ( PA )である 。

戻る

   

証明→定理4

PAとしたときにf(P)実数c収束しかつg(P)実数d収束しかつc≠0
    つまり、
f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA)かつc≠0  
と仮定する。…
(0)
[
予備作業]
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
f ( P )c ( P A ) 
  
 { Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)c (n→∞) (1-1)
 
g ( P )d ( P A ) 
  
 { Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) g (Pn)d (n→∞)(1-2)
2変数関数h( P )=g (P)/f (P) を定義する。
 
関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) h (Pn)e (n→∞)  
  
h ( P )e ( PA ) 
 ここで、h( P )を、g (P)/f (P)に戻すと、 
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) g (P)/f (P)e (n→∞)
  
 g (P)/f (P)e ( PA ) …(2)
収束数列の演算則より、
 
数列{ f (P1), f (P2), f (P3),…}、{ g(P1), g(P2), g(P3),…}について 
   
f (Pn)c (n→∞) かつ g(Pn)d (n→∞) かつ c≠0   
 
ならば
  
g (Pn)/f (Pn)d/c  (n→∞)   …(3)
[
本題]
・仮定(0)f ( P )c (PA)かつg ( P )d (PA)かつc≠0」のもとで、
  
(1-1) (1-2) (3)より、
 
{ Pn })( PnA (n)かつ(n) (Pn A) f (Pn)c (n→∞)かつg (Pn)d (n→∞) 
                           
 g (Pn)/f (Pn)d/c (n→∞) 
   …
(4) 
(4)は、(2)を用いて、g (P)/f (P)d/c ( PA ) と言い表せる。
 したがって、
 仮定
(0) f ( P )c (PA) かつ g ( P )d (PA)かつc≠0」のもとで、
 
g (P)/f (P)d/c ( PA )である 。

戻る

 

[トピック一覧:2変数関数の極限の性質]
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定理:コーシーの判定条件 [P Aのとき]

舞台
設定

f平面R2上で定義された2変数関数。 
A=(x0, y0)平面R2上の定。つまり、A=(x0, y0)R2
P=(x, y)
平面R2上の動。つまり、P=(x, y)R2 

Cf.
 1変数関数の場合
 
n変数関数の場合
 
ベクトル値関数の場合 

[文献]
小平『
解析入門U』定理6.1(pp.259-260):証明略。
杉浦『
解析入門I』定理6.10(pp.61-62):証明付.
木『解析概論9極限(pp.22-3).

定理

次の命題S,命題T,命題Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題
S命題T命題R

命題S :
 PAのとき、関数f (P)が収束する 
命題T :
 任意の正数εに対して、ある正数δをとると
  
任意のP,QR2 にたいして、  
   「(0<
d (P,A)<δかつ0<d (Q,A)<δ)ならば|f (P)f (Q)|<ε」
              * 
d ( P, A )は点Pと点Aとの距離を表す。
 が成り立つ。
 
論理記号では、
 
(ε>) (δ>)
   (P,QR2) ((<d (P,A)<δかつ<d(Q,A)<δ)|f (P)f (Q)|<ε)
命題U :
 任意の正数εに対して、あるR2上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)をとると、
  
任意のP,QU*δ(A)にたいして、|f (P)f (Q)|<εが成り立つ。
 
論理記号では、
 
(ε>) (U*δ(A)) (P,QU*δ(A))) (|f (P)f (Q)|<ε)
    

活用例

 

証明

[命題S 命題Tの証明]

2変数関数の収束の定義より、
  命題
Sf ( P )c (PA)「(ε/2>0)(δ>0)(PR2 )(0<d( P, A )<δ|f (P)c|<ε/2 )」
  命題
Sf ( P )c (PA)「(ε/2>0)(δ>0)(QR2 )(0<d( Q, A )<δ|f (Q)c|<ε/2 )」
 したがって、命題
Sf ( P )c (PA)」が成り立つならば、  
 (
ε/2>0)(δ>0)(P,QR2
   (0<
d( P, A )<δかつ0<d( Q, A )<δ|f (P)c|<ε/2 かつ|f (Q)c|<ε/2
                       |f (P)c||f (Q)c|<ε) …(1) 
|f (P)f (Q)|| f (P)c ||f (Q)c | …(2) 
 なぜなら、 
  
|f (P)f (Q)|| (f (P)c)+(f (Q)+c) |
       ≦
| f (P)c ||f (Q)+c |  ∵絶対値の三角不等式
          =
| f (P)c ||(f (Q)c) | 
            =
| f (P)c ||f (Q)c | 
(1)(2)をあわせると、
 命題
Sf ( P )c (PA)」が成り立つならば、 
 
ε>)(δ>)(P,QR2
        
0<d( P, A )<δかつ0<d( Q, A )<δ|f (P)f (Q)||f (P)c||f (Q)c|<ε   
 となる。

[命題T 命題Sの証明]

・命題T(ε>) (δ>)(P,QR2) ((<d (P,A)<δかつ<d(Q,A)<δ)|f (P)f (Q)|<ε)
 が成り立っていると仮定。  
{ Pi })(PiA (i)かつ(i) (Pi A)
  
          (δ>0)(NN)(j,kN)( j,kN0<d ( Pj , A ) <δかつ0<d ( Pk , A ) <δ)
   なぜなら、
PiA (i)の定義が「(ε>0)(NN)(iN)( iN d ( Pi , A ) <ε)」で、
       
距離の定義より、(i) (Pi A)  (i) (0<d ( Pi , A ) )
   となるから。   
・したがって、命題
Tのもとでは、
 
{ Pi }
   PiA (i)かつ(i) (Pi A)
 
     (ε>)(δ>)(NN)(j,kN)
          ( j,kN0<d ( Pj , A ) <δかつ0<d ( Pk , A ) <δ|f (Pj )f (Pk )|<ε)
 となる。
これは、要するに、
 
{Pi })(PiA (i)かつ(i) (Pi A)((ε>)(NN)(j,kN)( j,kN|f (Pj )f (Pk )|<ε))
ということ。 
ここで、
(ε>)(NN)(j,kN)( j,kN|f (Pj )f (Pk )|<ε)は、
      
数列 { f (Pi ) } = { f (P1 ), f (P2 ), f (P3 ), } コーシー列であることの定義にほかならないから、
命題
Tのもとでは、  
  
{ Pi })(PiA (i)かつ(i) (Pi A) 数列{f (Pi )}コーシー列
となる。
 
コーシーの判定条件数列{ f (Pi )}コーシー列数列{f (Pi )}収束」より、
 命題
Tのもとでは、  
    
{ Pi })(PiA (i)かつ(i) (Pi A) 数列{ f (Pi )}
 となる。
 さらに、
2変数関数の収束を点列・数列の収束に言い換える定理により、   
 { Pi })(PiA (i)かつ(i) (Pi A) f (Pi )は収束命題SPAのとき、関数f (P)が収束する」      
 したがって命題Tが成り立つとの仮定下で、命題Sが成立する。

     

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reference

小平邦彦『解析入門U(軽装版)岩波書店、2003年、pp.259-260

吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、p.159.

杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.57-63.

高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.32-36;42-44. 

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