ベクトル値関数の極限の性質：トピック一覧　　

　　・極限値どおしのベクトル演算[極限値とベクトル和/極限値とスカラー倍/内積]　　
　　・コーシーの判定条件　　

　※ベクトル値関数の諸概念：ベクトル値関数の定義と諸属性/極限/連続性/　　　
　※関数の極限の性質関連ページ：1変数関数の極限の性質/ 2変数関数の極限の性質/ n変数関数の極限の性質
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定理：ベクトル値関数の極限値とベクトル和

要旨

ベクトル値関数の値のベクトル和をとってから極限をとった値と、
ベクトル値関数の極限をとってからベクトル和をとった値とは、等しくなる。
つまり、極限とベクトルの加法の順序交換は可能。

cf.
1変数関数の極限値どおしの演算
2変数関数の極限値どおしの演算
 n変数関数の極限値どおしの演算
実数値関数の極限値どおしの演算
点列の極限どおしの演算

　

[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.6(pp.57-63)：Rn→Rmの関数一般について。証明付。
Rudin『現代解析学』4.4(p.83)注:距離空間からRmへの写像一般について。証明無。

舞台
 設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1： n次元空間Rn 、m次元空間Rmを用意する。
　　　　* n次元空間Rnとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間Rmとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnとする。　
　　　 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実m次元数ベクトル空間Rmとする。　　
Step3：実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）を設定する。
　　　実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）を設定する。
Step4：ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n
　　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。
　　　　ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m
　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。
Step5： n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rn」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。
　

Step6： n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f,g
　　　　を用意。
　　　　つまり、
　　　　　f : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) 　
　　　　　g : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn))= g (x1,x2,…,xn)
　　　　*f,gはそれぞれ「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step7-1：「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。
　　　　　つまり、「P∈D⊂Rn」　　
　　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

Step7-2：「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。
　　　　　つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn
　　　　　*Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。
Step8：「 m次元空間Rm」に属すある定点を、B=(b1,b2,…,bm)で表す。
　　　　「 m次元空間Rm」に属すある定点を、C=(c1,c2,…,cm)で表す。　
　　　　　　　つまり、B=(b1,b2,…,bm)∈Rm、C=(c1,c2,…,cm)∈Rm 　
　　　　　*B , Cは、「Dに属す実m次元数ベクトル」でもある。　

定理

[ 言葉でいうと ]　
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an) に近づけたとき、
　　ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)が
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点(実n次元数ベクトル)B=(b1,b2,…,bm)に収束し、　
　かつ
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　ベクトル値関数 ( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn) ) =g (P) = g (x1,x2,…,xn)が
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点(実m次元数ベクトル)C=(c1,c2,…,cm)に収束する　
　ならば、　
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　「f (P)= f (x1,x2,…,xn)とg (P) = g (x1,x2,…,xn)とのベクトル和」
　　　　　　　( f1 (x1,x2,…,xn)+ g1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn)+ g2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn)+gm (x1,x2,…,xn) )
　　　は、
　　　「点B(b1,b2,…,bm)と点C=(c1,c2,…,cm)とのベクトル和」(b1+c1,b2+c2,…,bm+cm)　に収束する　

[ 記号での表現1 ]　
　f ( P )→B (P→A) かつ g ( P )→C (P→A)　
　　　⇒　{ f (P) ＋ g (P) }→B＋C ( P→A )　　
[ 記号での表現2 ]　
P→Aとしたときに、f (P) , g (P)が収束するならば、　
　 　
　 　
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定理：ベクトル値関数の極限値とスカラー積

要旨

ベクトル値関数の値のスカラー積

をとってから極限をとった値と、
ベクトル値関数の極限をとってからスカラー積をとった値とは、等しくなる。
つまり、極限とスカラー積の順序交換は可能。

cf.
1変数関数の極限値どおしの演算
2変数関数の極限値どおしの演算
 n変数関数の極限値どおしの演算
実数値関数の極限値どおしの演算
点列の極限とスカラー積の演算

[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.6(pp.57-63)：Rn→Rmの関数一般について。証明付。

舞台
 設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1： n次元空間Rn 、m次元空間Rmを用意する。
　　　　* n次元空間Rnとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間Rmとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnとする。　
　　　　 M次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実m次元数ベクトル空間Rmとする。　　
Step3：実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）を設定する。
　　　実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）を設定する。
Step4：ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n
　　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。
　　　　ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m
　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。
Step5： n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rn」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。
　

Step6： n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f,g
　　　　を用意。
　　　　つまり、
　　　　　f : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) 　
　　　　*fはそれぞれ「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step7-1：「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。
　　　　　つまり、「P∈D⊂Rn」　　
　　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

Step7-2：「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。
　　　　　つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn
　　　　　*Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。
Step8：「 m次元空間Rm」に属すある定点を、B=(b1,b2,…,bm)で表す。
　　　　　　　つまり、B=(b1,b2,…,bm)∈Rm∈Rm 　
　　　　　*B は、「Dに属す実m次元数ベクトル」でもある。　

定理

[ 言葉でいうと ]　
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)が
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点(実n次元数ベクトル)B=(b1,b2,…,bm)に収束する　
　ならば、　
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　「f (P) = f (x1,x2,…,xn)と『任意の実数c』とのスカラー積」
　　　　 ( cf1 (x1,x2,…,xn), cf2 (x1,x2,…,xn) ,…, cfm (x1,x2,…,xn) )　　
　　　は、
　　　「点B(b1,b2,…,bm)と実数cとのスカラー積」(cb1,cb2,…, cbm)　に収束する　

[ 記号での表現1 ]　
　　f ( P )→B (P→A) 　⇒　(∀c∈R) ( c f (P)→cB ( P→A ) ) 　　
[ 記号での表現2 ]　
　P→Aとしたときに、f (P)が収束するならば、
　　∀c∈Rにたいして、
　　　　　
　 　
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定理：ベクトル値関数の極限値と内積

要旨

ベクトル値関数の値の内積をとってから極限をとった値と、
ベクトル値関数の極限をとってから内積をとった値とは、等しくなる。
つまり、極限とスカラー積の順序交換は可能。

　

　

　

[文献]

Rudin『現代解析学』4.4(p.83)注:距離空間からRmへの写像一般について。証明無。

舞台
 設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1： n次元空間Rn 、m次元空間Rmを用意する。
　　　　* n次元空間Rnとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間Rmとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnとする。　
　　　　 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実m次元数ベクトル空間Rmとする。　　
Step3：実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）を設定する。
　　　実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）を設定する。
Step4：ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n
　　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。
　　　　ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m
　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。
Step5： n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rn」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。
　

Step6： n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f,g
　　　　を用意。
　　　　つまり、
　　　　　f : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) 　
　　　　　g : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn))= g (x1,x2,…,xn)
　　　　*f,gはそれぞれ「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step7-1：「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。
　　　　　つまり、「P∈D⊂Rn」　　
　　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

Step7-2：「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。
　　　　　つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn
　　　　　*Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。
Step8：「 m次元空間Rm」に属すある定点を、B=(b1,b2,…,bm)で表す。
　　　　「 m次元空間Rm」に属すある定点を、C=(c1,c2,…,cm)で表す。　　　　　　
　　　　　　　つまり、B=(b1,b2,…,bm)∈Rm、C=(c1,c2,…,cm)∈Rm 　
　　　　　*B , Cは、「Dに属す実m次元数ベクトル」でもある。　

定理

[ 言葉でいうと ]　
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an) に近づけたとき、
　　ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)が
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点(実n次元数ベクトル)B=(b1,b2,…,bm)に収束し、　
　かつ
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　ベクトル値関数 ( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn) ) =g (P) = g (x1,x2,…,xn)が
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点(実m次元数ベクトル)C=(c1,c2,…,cm)に収束する　
　ならば、　
　動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　「f (P)= f (x1,x2,…,xn)とg (P) = g (x1,x2,…,xn)との自然な内積(標準内積)」
　　　　 f1 (x1,x2,…,xn) g1 (x1,x2,…,xn)+ f2 (x1,x2,…,xn)g2 (x1,x2,…,xn) +…+ fm (x1,x2,…,xn)gm (x1,x2,…,xn)
　　　は、
　　　「点B(b1,b2,…,bm)と点C=(c1,c2,…,cm)との自然な内積(標準内積)」b1c1+b2c2+…+bmcmに収束する　
　 　
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定理：ベクトル値関数の極限に関するコーシーの判定条件　[P→ Aのとき]
　 　 　

舞台
 設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1： n次元空間Rn 、m次元空間Rmを用意する。
　　　　* n次元空間Rnとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間Rmとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnとする。　
　　　　 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実m次元数ベクトル空間Rmとする。　　
Step3：実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）を設定する。
　　　実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）を設定する。
Step4：ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n
　　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。
　　　　ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m
　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。
Step5： n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rn」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。

Cf.
1変数関数の場合のコーシーの判定法
2変数関数の場合のコーシーの判定法
 n変数関数の場合
実数値関数一般の場合

[文献]

杉浦『解析入門I』定理6.10(pp.61-62):証明付.
　

Step6： n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f
　　　　を用意。
　　　　つまり、
　　　　　f : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) 　
　　　　*fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step7-1：「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。
　　　　　つまり、「P∈D⊂Rn」　　
　　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

Step7-2：「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。
　　　　　つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn
　　　　　*Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

定理

次の命題S,T,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題S⇔命題T⇔命題R

命題S :
　動点P(x1,x2,…,xn)∈Dを定点A(a1,a2,…,an)∈D に近づけたとき、
　　ベクトル値関数
　　　　 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)
　　が収束する。　
命題T :
　任意の正数εに対して、ある正数δをとると
　　任意のP,Q∈D　にたいして、　　
　　　「（０＜dn(P,A)＜δかつ０＜dn(Q,A)＜δ）ならば、dm ( f (P), f (Q) ) ＜ε」
　が成り立つ。
　論理記号では、
　(∀ε>０) (∃δ>０)
　　　(∀P,Q∈D) ((０<dn(P,A)<δかつ０<dn(Q,A)<δ）⇒dm ( f (P), f (Q) )＜ε)
命題U :
　任意の正数εに対して、あるRn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)とると、
　　任意のP,Q∈(U*δ(A)∩D)にたいして、dm ( f (P), f (Q) )＜εが成り立つ。
　論理記号では、
　(∀ε>０) (∃U*δ(A)) (∀P,Q∈(U*δ(A)∩D)) (dm ( f (P), f (Q) )＜ε)
　　　

 　

活用例

 　
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