対数関数

対数の定義

対数関数のグラフ

a=	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	とした際の、(0 ＋∞)で定義された対 数関数 y=log a x　のグラフ
	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[ 画像配信： はてなフォトライフ ]

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対数の性質

a>0,a≠1として、

　(1)　log _a１ = ０　　∵　1= a ⁰　⇔log _a１ = ０　　

　(2)　log _a a = 1　　　∵　a = a ¹　⇔log _a a = 1　　

　(3)　M>0,　N>0のとき、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　log _a MN = log _a M＋log _a N　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(4)　M>0,　N>0のとき、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　log _a M/N = log _a M−log _a N　　　　　　

　(5)　M>0　のとき、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　log _a M ^r = r・log _a M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(6)　b,c>0, c≠1のとき、　　　　　　　　　　　　　　　

　　　log _a b = log _c b/ log _c a　　　　　　[底の変換公式]　　　　　　　　　　　　　　　

　(証明)

　　(3)　

　　　(準備)

　　　　log _a M＝x, log _a N=yとおく。　　　…�@

　　　　すると、対数の定義より、�@は、

　　　　M = a ^x,　N = a ^y　　　　　　　　　　…�A　　

　　　　と書いても同じこと。

　　　(本題)　　

　　　　log _a MN = log _a a ^x a ^y　　　　　　　∵�A　　　　　　　　　　

　　　　　　　　= log _a a ^{x+ y}　＝x+ y　　　　∵指数法則　　　　

　　　　　　　　＝log _a M＋log _a N　　　　　∵�@　　

　　(4)　

　　　(準備)

　　　　log _a M＝x, log _a N=yとおく。　　　…�@

　　　　すると、対数の定義より、�@は、

　　　　M = a ^x,　N = a ^y　　　　　　　　　　…�A　　

　　　　と書いても同じこと。

　　　(本題)　　

　　　　log _a M/N = log _a a ^x /a ^y　　　　　　　∵�A　　　　　　　　　　

　　　　　　　　= log _a a ^{x− y}　＝x−y　　　　∵指数法則　　　　

　　　　　　　　＝log _a M−log _a N　　　　　∵�@　　

　　(5)　

　　　(準備)

　　　　log _a M＝xとおく。　　　…�@

　　　　すると、対数の定義より、�@は、

　　　　M = a ^x 　　　　　　　　　　…�A　　

　　　　と書いても同じこと。

　　　(本題)　　

　　　　log _a M ^r ＝log _a (a ^x) ^r　　　　　　　∵�A　　　　　　　　　　

　　　　　　　　= log _a a ^xr　＝xr　　　　∵指数法則　　　　

　　　　　　　　= r・log _a M　　　　　∵�@　　

　　(6)　

　　　(仮定)　　　

　　　　a>0,a≠1,　b,c>0, c≠1　

　　　(準備)

　　　　左辺　log _a b ＝xとおく。　　　　　　　…�@

　　　　すると、対数の定義より、�@の関係は、

　　　　b = a ^x 　　　　　　　　　　　　　　　　…�A　　

　　　　という関係と同等。

　　　(本題)　　

　　　　c≠1　を底とする対数を、�Aの両辺についてとる。　　　　　　　　　

　　　　log _c b ＝log _c a ^x　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　= x log _c a　　∵対数の性質　　　　

　　　　log _c b／log _c a　= x　∵移項した　　　　…�B　　

　　　　�@と�Bから、

　　　　x = log _a b = log _c b／log _c a　　　　　　　　　　

対数関数と微分法　

　・定義域D＝(0,∞）＝{ x∈R | x＞0 }で定義された対数関数f(x)=logx　は単射。[赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.23)例2]

　　→対数関数の微分　　　

　　→絶対値の対数の微分　　　　

　　→関数の対数の微分　

　　　　　　→　応用1:　対数微分法　　　

　　　　　　→　応用2:　変化率・弾力性　　

等比数列の対数　[参照：竹之内『経済・経営系数学概説』4.3対数関数p.89。]　　　　　　　

　　等比数列の第n項　aⁿ=arⁿ⁻¹　

　　両辺の対数をとると、

　　　　　　　　　　　log aⁿ= log (ar ⁿ⁻¹ )　　　　　

　　　　　　　　　　　　　 = log a ＋ log r ⁿ⁻¹　　　∵対数の性質　　

　　　　　　　　　　　　　 = log a ＋ (n−1) log r　　　∵対数の性質　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　= log a ＋ n log r − log r　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　= (log a − log r)＋(log r ) n　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　= log (a /r)＋(log r ) n　　　　∵対数の性質　　　　　　

　　　つまり、公比rを底とする項数nの指数関数であった等比数列の一般項が、

　　　　　　　対数をとることで、

　　　　　　　(初項/公比)の対数を定数項、公比を傾きとする項数nの一次関数で、

　　　　　　　表現できたことになる。　

（reference）