対数関数　：　トピック一覧

　・対数の定義
　・対数関数のグラフ
　・対数の性質　
　・対数関数と微分法　
　・等比数列の対数　
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対数の定義

　　a>0,a≠1、p>0として、
　　log a p ＝ q　⇔　p＝aq　
　※呼称
　　a: 底　(base)
　　log a p　: aを底とするpの対数　
　　p　:　真数　

対数関数のグラフ


   a=   とした際の、(0 ＋∞)で定義された対数関数 y=log a x　のグラフ
　
対数関数のグラフ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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対数の性質

   a>0,a≠1として、
(1)　log a１ = ０　　∵　1= a 0　⇔  log a１ = ０
(2)　log a a = 1　　　∵　a = a 1 ⇔  log a a = 1
(3)　M>0,　N>0のとき、　log a MN = loga M ＋ loga N　
　　　　　※なぜ？　→証明　
(4)　M>0,　N>0のとき、　loga M/N = loga M －  loga N　
　　　　　※なぜ？　→証明　
(5)　M>0　のとき、　loga M r = r・loga M　
　　　　　※なぜ？　→証明　
(6)　b,c>0, c≠1のとき、　loga b = logc b/ logc a　[底の変換公式]　　
　　　　　※なぜ？　→証明　

　　　　　　　

【対数の性質(3)の証明】　

　　　(準備)
　　　　loga M＝x, loga N=yとおく。　　　…①
　　　　すると、対数の定義より、①は、
　　　　M = a x,　N = a y　　　　　　　　　　…②　　
　　　　と書いても同じこと。
　　　(本題)　　
　　　　loga MN = loga a x a y　　　　　　　∵②　
　　　　　　　　= loga a x+ y　　　　∵指数法則　
 　　　　　　　＝x+y　
　　　　　　　　＝loga M＋loga N　　　　　∵①　　

【対数の性質(4)の証明】　

　　　(準備)
　　　　loga M＝x, loga N=yとおく。　　　…①
　　　　すると、対数の定義より、①は、
　　　　M = a x,　N = a y　　　　　　　　　　…②　　
　　　　と書いても同じこと。
　　　(本題)　　
　　　　loga M/N = loga a x /a y　　　　　　　∵②　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　= loga a x－ y　　∵指数法則
　　　　　　　　　　＝x－y　　
　　　　　　　　＝loga M－loga N　　　　　∵①　　

【対数の性質(5)の証明】　

　　　(準備)
　　　　loga M＝xとおく。　　　…①
　　　　すると、対数の定義より、①は、
　　　　M = a x 　　　　　　　　　　…②　　
　　　　と書いても同じこと。
　　　(本題)　　
　　　　loga M r ＝ loga (a x) r　　　　　　　∵②　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　＝ loga a xr　　　　　∵指数法則
　　　　　　　　　　＝ xr　　　　　　
　　　　　　　　= r・loga M　　　　　∵①　　

【対数の性質(6)の証明】　

　　　(仮定)　　　
　　　　a>0,a≠1,　b,c>0, c≠1　
　　　(準備)
　　　　左辺　loga b ＝xとおく。　　　　　　　…①
　　　　すると、対数の定義より、①の関係は、
　　　　b = a x 　　　　　　　　　　　　　　　　…②　　
　　　　という関係と同等。
　　　(本題)　　
　　　　c≠1　を底とする対数を、②の両辺についてとる。　　　　　　　　　
　　　　logcb ＝ logc a x　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　= x logc a　　∵対数の性質　　　　
　　　　logc b／logc a　= x　∵移項した　　　　…③　　
　　　　①と③から、
　　　　x = loga b = logc b／logc a　　　　　　　　　　

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対数関数と微分法　

　・定義域D＝(0,∞）＝{ x∈R | x＞0 }で定義された対数関数f(x)=logx　は単射。[赤攝也『実数論講義』§1.7(p.23)例2]
　　→対数関数の微分　　　
　　→絶対値の対数の微分　　　　
　　→関数の対数の微分　
　　　　　　→　応用1:　対数微分法　　　
　　　　　　→　応用2:　変化率・弾力性　　

等比数列の対数　　　　　　　

　　等比数列の第n項　an=arn－1　
　　両辺の対数をとると、
　　　log an= log (ar n－1 )
　　　　　　　 = log a ＋ log r n－1　　　∵対数の性質　　
　　　　　　　　 = log a ＋ (n－1) log r　　　∵対数の性質　　　　　　
　　　　　　　　　= log a ＋ n log r － log r　　　　　　　　
　　　　　　　　　= ( log a － log r ) ＋ ( log r ) n　　　　　　　　
　　　　　　　　　= log ( a / r ) ＋ ( log r ) n　　　　∵対数の性質　　　　　　
　　　つまり、公比rを底とする項数nの指数関数であった等比数列の一般項が、
　　　　　　　対数をとることで、
　　　　　　　(初項/公比)の対数を定数項、公比を傾きとする項数nの一次関数で、
　　　　　　　表現できたことになる。　
　　　[竹之内『経済・経営系数学概説』4.3対数関数p.89。]　
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（reference）

・松坂『解析入門1』5.1(p.155-)
・赤攝也『実数論講義』§7.5(pp.220-)。
・小林昭七『微分積分読本:1変数』第2章-5(pp.65-8)：
・ 吉田耕作・栗田稔・戸田宏『昭和63年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　基礎解析　新訂版』啓林館、第二章指数関数と対数関数.
・竹之内脩『経済・経営系数学概説』新世社、1998年。