n変数関数のテイラーの定理　―　トピック一覧 　　[数学についてのwebノート]

定理：1階のテイラーの定理/2階のテイラーの定理・一次の近似多項式/3階のテイラーの定理・二次の近似多項式/m階のテイラーの定理(一般形)　
定理：n変数関数の2次テイラー展開・2次多項式近似の剰余項の評価/n変数関数のm次テイラー展開・m次多項式近似の剰余項の評価　

※テイラーの定理関連ページ：1変数関数のテイラーの定理/テイラー展開･マクローリン展開/2変数関数のテイラーの定理　 　　　
→総目次


定理：n変数関数の1階のテイラーの定理(平均値の定理)

[文献]
・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.4(p.232).1次の項・二次の項までの展開
※対照せよ→2変数関数の平均値の定理（1階のテイラーの定理）　　
行列・ベクトル・Σを用いない表現
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC1級とする。
本題
 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋

を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *


を、剰余項と呼ぶ。
Σの表現
設定 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC1級とする。
本題 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *



を、剰余項と呼ぶ。
ベクトル表現
設定
 x,a,h:実n次元数ベクトル
　　　　　つまり、x＝(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝(h1, h2, h3, …, hn)　
f :　n変数実数値関数
　つまり、f :Rn⊃D→R　
n変数実数値関数y=f (x)をC1級とする。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
本題
 (表現1)
　f (a+h)= f (a) + grad f (a+θh) ・h　
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

grad f (a+θh) ・h
を、剰余項と呼ぶ。

(表現2)
　f (x)= f (a) + grad f (a+θ(x-a)) ・(x-a)　
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

grad f (a+θ(x-a)) ・(x-a) を、剰余項と呼ぶ。

→[トピック一覧：多変数関数のテイラーの定理]
→総目次


定理：n変数関数の2階のテイラーの定理・一次の近似多項式

→[行列・ベクトル・Σを使わない表現/Σの表現/ベクトル行列表現/2次形式] [文献]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2(
※活用例：極値問題―2階十分条件　　
※対照→2変数関数の2階のテイラーの定理・1次近似多項式　
行列・ベクトル・Σを用いない表現
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。
本題
　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f (a1,a2,…,an)+
を、
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、
　　　　
　　　　
　　　　　　　　
を、その剰余項と呼ぶ。

[→2階のテイラーの定理冒頭]
Σの表現 [文献]
・松坂『解析入門3』14.2-C-定理2(p.155)：一般;14.3-C(pp.167-171)：ヘッセ行列が定める二次形式を用いた表現。
・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。

・杉浦『解析入門』定理7.2(p.147)：一般
・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列が定める二次形式の活用。

・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.4(p.232).1次の項・二次の項までの展開。括弧の前の上についている記号は、転置記号。
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2(p.120)
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。
本題
 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f (a1,a2,…,an)+
を、
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、
　　
を、その剰余項と呼ぶ。

[→2階のテイラーの定理冒頭]
ベクトル・行列表現
設定
 x,a,h　:実n次元数ベクトル（縦ベクトル）
　　　　　つまり、x＝t(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝t(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)　
f　　　　　:　n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R　
　　　　　　　　ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
Hf(〜)　　　　:〜におけるfのヘッセ行列
本題
 　f (a+h)= f (a) + grad f (a) h + (1/2) th Hf(a+θh)h
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f(a)+grad f (a)h
を、
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、
　　(1/2) th Hf(a+θh)h
を、その剰余項と呼ぶ。


[→2階のテイラーの定理冒頭]
ベクトル・行列・2次形式を用いた表現
設定
 x,a,h　:実n次元数ベクトル
　　　　　つまり、x＝t(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝t(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)　
f　　　　　:　n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R　
　　　　　　　　ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
Hf(〜)　　　　:〜におけるfのヘッセ行列
　　　
Hf(〜) [h]　　　：「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まる
　　　　　　　　　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式　　
本題
　f (a+h)= f (a) + grad f (a) h + (1/2) Hf(a+θh)　[h]　　
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f(a)+grad f (a)h
を、
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次の近似多項式」
「(a1,a2,…,an)におけるfの1次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、
(1/2) Hf(a+θh)　[h]　　
を、その剰余項と呼ぶ。

[→2階のテイラーの定理冒頭]




→[トピック一覧：多変数関数のテイラーの定理]
→総目次




定理：n変数関数の3階のテイラーの定理・2次近似多項式

→[行列・ベクトル・Σを使わない表現/Σの表現/ベクトル行列表現/2次形式]
　※対照→2変数関数の3階のテイラーの定理・2次近似多項式
行列・ベクトル・Σを用いない表現
設定

 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC3級とする。
本題
 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、
　
　　　　
　　　　　　：
　　　　　
　　　
　　　　
　　　　　：
　　　　　
　　　
　　　　
　　　　　：
　　　　　
を、その剰余項と呼ぶ。
[→3階のテイラー定理冒頭]
Σの表現
[文献]
・松坂『解析入門3』14.2-C-定理2(p.155)：一般;14.3-C(pp.167-171)：ヘッセ行列が定める二次形式を用いた表現。
・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。

・杉浦『解析入門』定理7.2(p.147)：一般
・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列が定める二次形式の活用。

・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.4(p.232).1次の項・二次の項までの展開。括弧の前の上についている記号は、転置記号。
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2(p.120)
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC3級とする。
本題 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f (a1,a2,…,an)＋＋
を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、

を、その剰余項と呼ぶ。
[→3階のテイラー定理冒頭]
ベクトル・行列表現
設定
 x,a,h　:実n次元数ベクトル（縦ベクトル）
　　　　　つまり、x＝t(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝t(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)　
f　　　　　:　n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R　
　　　　　　　　ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC3級とする。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
Hf(〜)　　　　:〜におけるfのヘッセ行列
本題 　f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)th Hf(a)h +
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f(a)+grad f (a)h+(1/2)th Hf(a)h
を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、

を、その剰余項と呼ぶ。
[→3階のテイラー定理冒頭]
ベクトル・行列・2次形式を用いた表現
設定
 x,a,h　:実n次元数ベクトル
　　　　　つまり、x＝t(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝t(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)　
f　　　　　:　n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R　
　　　　　　　　ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC3級とする。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
Hf(〜)　　　　:〜におけるfのヘッセ行列
Hf(〜) [h]　　　：「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まるh＝t(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式
本題 　f(a+h)= f(a)+grad f (a)h+(1/2)Hf(a)[h]+
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *

上記等式中の
　　 f(a)+grad f (a)h+(1/2)Hf(a)[h]
を、「(a1,a2,…,an)におけるfの2次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの2次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、

を、その剰余項と呼ぶ。

[→3階のテイラー定理冒頭]




→[トピック一覧：多変数関数のテイラーの定理]
→総目次



定理：n変数関数の2次テイラー展開・2次多項式近似の剰余項の評価
要旨 (a1,a2,…,an)におけるfの2次近似多項式の剰余項は、
　(a1,a2,…,an)までの距離の2乗より、高位の無限小。		 [文献]
・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列の活用。
・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.4定理6.3.5(p.234).
※活用例：極値問題―2階十分条件
※対照→2変数関数の2次テイラー展開　
行列・ベクトル・Σを用いない表現
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。
本題 f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)
　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　　　　　　　＋o(‖(h1,h2,…,hn)‖2)　（‖(h1,h2,…,hn)‖→0）　
これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。
　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)
　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　　　　　　　＋R3 　
とおくと、
　　(1) R3　→ ０　 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ )
　　かつ　
　　(2) ‖(h1,h2,…,hn)‖2　→ ０ ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ )
　　かつ　
　　(3) R3　/　‖(h1,h2,…,hn)‖2　→ ０ ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ ) 　
が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない]　　　　
勾配ベクトル・ヘッセ行列・2次形式を用いた表現
設定
 f (x1,x2,…,xn)：n変数実数値関数。C2級。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
Hf(〜)　　　　:〜におけるfのヘッセ行列
Hf(〜) [h1,h2,…,hn]　　　：「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まる(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式
本題 f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)
　　　　　　　　　　　　　＋　gradf(a1,a2,…,an)・(h1, h2, h3, …, hn)
　　　　　　　　　　　　　　　＋(1/2)Hf(a1,a2,…,an)[h1,h2,…,hn]+o(‖(h1,h2,…,hn)‖2)　　（‖(h1,h2,…,hn)‖→0）　　
これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。
f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋gradf(a1,a2,…,an)・(h1, h2, h3, …, hn)＋(1/2)Hf(a1,a2,…,an)[h1,h2,…,hn]＋R3 　
とおくと、
　　(1) R3　→ ０　 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ )
　　かつ　
　　(2) ‖(h1,h2,…,hn)‖2　→ ０ ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ )
　　かつ　
　　(3) R3　/　‖(h1,h2,…,hn)‖2　→ ０ ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ ) 　
が満たされる　　
Σの表現
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC2級とする。
本題 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋＋＋o(‖(h1,h2,…,hn)‖2)　（‖(h1,h2,…,hn)‖→0）　
これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。

f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋＋＋R3 　
とおくと、
　　(1) R3　→ ０　 ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ )
　　かつ　
　　(2) ‖(h1,h2,…,hn)‖2　→ ０ ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ )
　　かつ　
　　(3) R3　/　‖(h1,h2,…,hn)‖2　→ ０ ( ‖(h1,h2,…,hn)‖→ ０ ) 　
が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない]
ベクトル・行列表現
設定

 x,a,h　:実n次元数ベクトル（縦ベクトル）
　　　　　つまり、x＝t(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝t(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)　
f　　　　　:　n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R　
　　　　　　　　ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
Hf(〜)　　　　:〜におけるfのヘッセ行列
本題 　f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)th Hf(a)h +o(‖h‖2)　（‖h‖→0）　　　　
これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。

f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)th Hf(a)h ＋R3 　
とおくと、
　　(1) R3　→ ０　 ( ‖h‖→ ０ )
　　かつ　
　　(2) ‖h‖2　→ ０ ( ‖h‖→ ０ )
　　かつ　
　　(3) R3　/　‖h‖2　→ ０ ( ‖h‖→ ０ ) 　
が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない]
ベクトル・行列・2次形式を用いた表現
設定
 x,a,h　:実n次元数ベクトル
　　　　　つまり、x＝t(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝t(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)　
f　　　　　:　n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R　
　　　　　　　　ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC2級とする。
grad f (〜)　:　〜におけるfの勾配ベクトル　
Hf(〜)　　　　:〜におけるfのヘッセ行列
Hf(〜) [h]　　　：「〜におけるfのヘッセ行列」によって定まるh＝t(h1, h2, h3, …, hn)についての二次形式
本題 　f(a+h)= f(a)+grad f (a)h+(1/2)Hf(a)[h]+o(‖h‖2)　（‖h‖→0）　　　

これを、ランダウのoの定義に遡って書き下すと、次のようになる。

f (a+h)= f(a)+gradf(a)h+(1/2)Hf(a)[h] ＋R3 　
とおくと、
　　(1) R3　→ ０　 ( ‖h‖→ ０ )
　　かつ　
　　(2) ‖h‖2　→ ０ ( ‖h‖→ ０ )
　　かつ　
　　(3) R3　/　‖h‖2　→ ０ ( ‖h‖→ ０ ) 　
が満たされる。[(2)は自明だから、ここでは重要でない]




→[トピック一覧：多変数関数のテイラーの定理]
→総目次




定理：n変数関数のテイラーの定理,テイラー多項式　−　一般形



※対照→2変数関数のテイラーの定理(一般）
Σを用いない表現
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC m級とする。

本題

 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋
を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *


上記等式中の
　　　　　f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　　　　　　　…＋
を、「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、

を、その剰余項と呼ぶ。
Σの表現
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC m級とする。
本題
 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)
　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　…＋
　　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　を満たす実数θ∈（0,1）が存在する。

 * * * * * * *


上記等式中の
　　　　　f (a1,a2,…,an)＋
　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　　　　　　　…＋
を、「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次の近似多項式」「(a1,a2,…,an)におけるfの(m-1)次のテイラー多項式」と呼ぶ。
また、
　　　
を、その剰余項と呼ぶ。

 [文献]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.2定理3.2(p.120)
・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。

下記は、特殊な記号をつかう。
・杉浦『解析入門』定理7.2(p.147)：一般
・黒田『微分積分学』8.6 (p.306):2次の項までのテイラー展開の表現。勾配ベクトル・ヘッセ行列が定める二次形式の活用。
・松坂『解析入門3』14.2-C-定理2(p.155)：一般
・;加藤『微分積分学原論』定理16.8(p.202)


設定

本題





→[トピック一覧：多変数関数のテイラーの定理]
→総目次



定理：n変数関数のm次テイラー展開。m次多項式近似の剰余項の評価。

要旨
　(a1,a2,…,an)におけるfのm次近似多項式の剰余項は、
　(a1,a2,…,an)までの距離のm乗より、高位の無限小。
[文献]
・松坂『解析入門3』14.2-C-定理3(p.157)
・高橋『微分と積分2』定理4.7(p.97)。
※対照→2変数関数のテイラー展開
非ベクトル表現
設定
 n変数実数値関数y=f (x1,x2,…,xn)をC m級とする
本題
 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)
　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　…＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋o(‖(h1,h2,…,hn)‖m)　（‖(h1,h2,…,hn)‖→0）　　　　
ベクトル表現
設定
 x,a,h　:実n次元数ベクトル
　　　　　つまり、x＝t(x1, x2, x3, …, xn)　　
　　　　　　　　　a＝t(a1, a2, a3, …, an)　　　　
　　　　　　　　　h＝t(h1, h2, h3, …, hn)　
f　　　　　:　n変数実数値関数。つまり、f :Rn⊃D→R　
　　　　　　　　ただし、n変数実数値関数y=f (x)をC3級とする。
本題
 　f (a+h)= f (a)＋＋＋…＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋o(‖h‖m)　（‖h‖→0）　　　　








→[トピック一覧：多変数関数のテイラーの定理]
→総目次