一般の距離空間

[トピック一覧：一般の距離空間]
A:　距離・距離関数・距離空間（例：離散距離・離散距離空間/ユークリッド距離・ユークリッド空間）
　　擬距離・擬距離空間/直積距離空間/部分距離空間
B:　点集合/ε近傍・開球/除外ε近傍
　　内点/外点/境界点/内部/外部/境界/閉包/稠密/集積点/孤立点/開集合/閉集合/直径/有界な集合/有界閉集合　　　　
※関連ページ：距離空間のイントロダクション/距離空間(R,d)/距離空間(R2,d)/距離空間(Rn,d)/位相空間/一般の距離空間の位相　
→参考文献・総目次

定義：距離関数、距離metric、距離空間metric space　　(距離の公準・距離空間の公理)

定義

 ・Xを任意の集合とする(数の集合にかぎらない。なんでもよい。)。
　P,Q,R∈Xにたいして、　　　　　
　　　以下の4要件を満たす（ならば、どんな）非負実数値関数d:X×X→R+（であれ、それ）を、　
　集合X上の距離関数metric,distance、d(P,Q)をP,Q間の距離と呼ぶ。　
　　　(i) 正値性:　　任意のP,Q∈Xに対して、d(P,Q)≧0　　
　　　(ii)　　　　　任意のP,Q∈Xに対して、d(P,Q)=0⇔P=Q　　
　　　　　　　　　　つまり、P=Qのときd(P,Q)=0、
　　　　　　　　　　　また、d(P,Q)= 0になるのは、P=Qのときだけ。　　　
　　　(iii) 対称性:　　任意のP,Q∈Xに対して、d(P,Q)=d(Q,P)　　　　　　
　　　(iv) 三角不等式 triangle inequality:　
　　　　　　　　　　　　任意のP,Q,R∈Xに対して、d(P,R)≦d(P,Q)＋d(Q,R)
　　　　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　　　Q経由でPからRまで測った値は直接PRを測った値以上。　　

[文献]

　・志賀『位相への30講』第10講;
　・松坂『集合・位相入門』6章§1A (pp.234-5);
　・佐久間『集合･位相』3.3節 (pp.56-8);　
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.5.1節(pp.125);
　・ 矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離p.2
　・彌永・彌永『集合と位相II』pp.135-141.
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256);
　・吹田新保『理工系の微分積分学』pp.154-157;
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』pp.131-148;
　・西村『経済数学早わかり』第6章1.3-1.4節(pp.278-280);
　・二階堂『現代経済学の数学的方法』§11(p.79)

定義

 ・ 距離dが定義された集合Xを「距離空間」とよび、
　　　　　　　距離空間(X,d)
　と書く。　　
　このことを、「Xに距離distanceまたは計量metricがあたえられた」という。

 Cf. 距離空間のイントロダクション、距離空間(R,d)、距離空間(R2,d)、距離空間(Rn,d)、位相空間　
※距離の活用例：ε近傍定義、有界な集合、直径、
　　　　　　　　点列の収束の定義、写像の極限の定義、写像の連続性の定義

定義

 ・Xを距離空間(X,d)の台supportと呼ぶ。

→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次

距離と距離空間の例

定義

[離散距離と離散距離空間discrete metric space ]

　・Xを任意の空でない集合、P,Q∈Xとして、
　　　　　　┌P＝Qのとき、d(P,Q)=0　　
　　　　　　└P≠Qのとき、d(P,Q)=1　　
　　　　と、d(P,Q)を定義すると、d(P,Q)は集合X上の距離関数となる。
　　　　これで定義した距離を離散距離、
　　　　これで定義された距離を与えた集合Xを離散距離空間と言う。

[文献]

　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離p.3;
　・佐久間『集合･位相』3.3節問1(pp.57-8)
　・

　cf. Rにおける距離、R2における距離、Rnにおける距離　

定義

 [ユークリッド距離とユークリッド空間]
　　→実数全体の集合R2におけるユークリッド距離とユークリッド空間　　
　　→実数全体の集合Rnにおけるユークリッド距離とユークリッド空間

定義

 [変分ノルムから導かれる距離]　　
　

定義

 [supノルムから導かれる距離]
　　　
→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次

定義：擬距離pseudodistance、擬距離空間pseudometric space　　

定義

 ・P,Q,R∈Xとして、　　　　　
　以下の4要件を満たす（ならば、どんな）非負実数値関数d:X×X→R+（であれ、それ）を、　
　集合X上の擬距離pseudodistanceと呼ぶ。　
　　　(i) 正値性:　　任意のP,Q∈Xに対して、d(P,Q)≧0　　
　　　(ii)　　　　　任意のP,Q∈Xに対して、P=Q ⇒d(P,Q)= 0　　
　　　　　　　　　　つまり、P=Qのときd(P,Q)= 0でなければならないが、
　　　　　　　　　　　また、P=Qでないときに、d(P,Q)= 0になってもよい。　　　
　　　(iii) 対称性:　　任意のP,Q∈Xに対して、d(P,Q)=d(Q,P) 　　　　　
　　　(iv) 三角不等式 triangle inequality:　
　　　　　　　　　　　　任意のP,Q,R∈Xに対して、d(P,R)≦d(P ,Q)＋d(Q ,R)　　　　　
　　　　　　　　　　　　　つまり、Q経由でPからRまで測った値は直接PRを測った値以上。

[文献]

　・『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間B(p.254)

定義

 ・擬距離dが定義された集合Xを「擬距離空間pseudometric space」とよび、
　 (X,d)
　と書く。

→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次

定義：直積距離空間direct product metric space, product metric space　

定義

 ・n個の距離空間 (X1,d1),(X2,d2),…(Xn,dn)があるとする。　
　この直積をXとおく。
　すなわち、
　　X＝X1×X2×…×Xn＝ { (x1,x2,…,xn) | x1∈X1かつ x2∈X2かつ…かつxn∈Xn }　
　集合Xの2点P(p1,p2,…,pn),Q(q1,q2,…,qn)をとる。
　　　　　　　　　（p1,q1∈X1 , p2,q2∈X2,…, pn,qn∈Xn）　
　PQの距離d ( (p1, p2,…,pn) , (q1, q2,…, qn) )を、　

　
d1(p1,q1)2 ＋d2(p2,q2)2 ＋…＋dn(pn,qn)2 　 　
　と定めると、(X,d)は距離空間となる。
　これを、(X1,d1),(X2,d2),…,(Xn,dn)の直積距離空間という。　　
 　　　例：ユークリッド空間Rnは、
　　　　　　　距離d(x,y)=|x-y|と定義された、実数全体の距離空間(R,d)、
　　　　　のn個の直積距離空間。

[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第6章F(pp.243-4);
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間B(p.254)
　・彌永『集合と位相II』p.147
　・矢野公一『距離空間と位相構造』第1章距離空間1.1節距離(pp.2-25)

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定義：部分距離空間　metric subspace　　


 ある集合X、
集合X上の任意の2点P,Q間の距離を与える距離関数d(P,Q)が、
すでに定義されているとする。
つまり、距離空間(X,d)がすでに定義されているとする。
　＊　＊　＊　
X'をXの任意の部分集合とする。　　
X'上の任意の2点P',Q'にたいして値をとる関数d'(P',Q')を、
　　X上の距離関数d(P,Q)　(P,Q∈X) を用いて、つぎのように定義する。　
　　　　　　d'(P',Q')≡d(P',Q')　
　　　　　　　　※P',Q'∈X'、P,Q∈X、X'⊂Xとなっていることに注意。
このd'(P',Q')は、
X'上の任意の2点P',Q'間の距離を与える距離関数となり、（距離関数の要件を満たすことを確認せよ）　
(X',d')は、距離空間となるが、
このようにしてつくった距離空間(X',d')を、
もとの距離空間 (X,d)の部分距離空間metric subspaceと呼ぶ。　

[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第6章F(p.243);
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5問題3(p.133);
　・彌永『集合と位相II』p.147
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間B(p.254)
　
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定義：点集合　


 ・距離空間(X,d)のにおける点集合とは、
　 距離空間(X,d)の台である集合Xの部分集合のこと。
・幾何学的表現においては、
　普遍集合Ωを空間spaceと呼び、
　Ωの元を点point、Ωの部分集合を点集合point setと呼ぶ。

[文献]

　・『岩波数学辞典』項目162B(p.429)

Cf.Rnにおける点集合についての諸概念/平面R2における点集合についての諸概念/距離空間一般における点集合についての諸概念　

定義：点Pのε近傍 ε-neighborhood・開球　　Uε(P)　U(P,ε)　

（はじめに読むべき定義）

・「点Pのε近傍」とは、
　「点Pからの距離がε以内の点」をすべてあつめた集合のこと。
　　　　　ただし、εは正ならばどんなに小さくてもよいとする。

（正確な定義）

・ (X,d)を距離空間、PをXの点とする。　　　　
　　Uε(P)≡{ Q∈X | d(P,Q)＜ε }　　(ただし、半径εは任意の正の実数)
　で定義される集合を、「点Pのε近傍」「Pを中心とする開球」と呼ぶ。
cf. Rにおけるε近傍、R2におけるε近傍、Rnにおけるε近傍

[文献]

　・志賀『位相への30講』第11講
　・小平『解析入門I』pp.54-65.
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.154;
　・『岩波数学辞典』項目92距離空間C(p.254)
　・松坂『集合・位相入門』第6章B(p.237);
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5項目4.5.2(p.125);
　・彌永『集合と位相』§1.3(p.147);
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間B(p.254)

※利用例：内点・外点・境界点・開集合の定義/集積点の定義/点列の収束の定義/写像の極限の定義/写像の連続性の定義　　　　
※ε近傍と位相

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定義：点Pの除外ε近傍　a deleted ε-neighborhood of P 　　　U*ε(P)　　

定義

 ・「点Pの除外ε近傍」とは、
　　点Pのε近傍から、点Pを除外したもの。　　　　　
　　　U*ε(P)＝{ Q | 0＜d(P,Q)＜ε}　半径εは正ならばどんなに小さくてもよい。

[文献]

　・杉浦『解析入門I』p.113;
　・Fischer Intermediate Real Analysis,207.
　・

cf. Rにおけるε近傍、R2におけるε近傍、Rnにおける除外ε近傍 ※活用例：写像の極限の定義

→[トピック一覧：一般の距離空間]
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定義：内点inner point　


 ・εの値を加減して、様々な大きさの「点Pのε近傍Uε(P)」をつくる。
　そのなかに、
　点集合Eにすっぽり含まれるようなUε(P)が、「ひとつでも」つくれれば、　
　　　　　点Pは点集合Eの内点であるという。　
　　　　　すなわち、
　　　　　点Pが点集合Eの内点⇔「ある」Uε(P)に対して、Uε(P)⊂E　
　　　　　　　　　　　　　　⇔「ある」ε>0に対して、Uε(P)⊂E　　

[文献]

　・小平『解析入門I』p.56;
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』pp.154-155;
　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.262

※利用例： 内部の定義/開集合の定義

※Rにおける内点/R2における内点/Rnにおける内点

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定義：外点　exterior point　


 ・εの値を加減して、様々な大きさの点Pのε近傍Uε(P)をつくる。
　そのなかに、点集合Eと共有点を持たないUε(P)が「ひとつでも」つくれれば、
　Pは点集合Eの外点であるという。
　すなわち、
　点Pが点集合Eの外点⇔「ある」Uε(P)に対して、Uε(P)∩E＝φ

[文献]

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』pp.154-155.
　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.262
　・

※Rにおける外点、Rnにおける外点　　　　　 ※利用例：外部の定義

→[トピック一覧：一般の距離空間]
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定義：境界点boundary point　　


 ・点集合Eの内点でも外点でもない点を「点集合Eの境界点」という。
　点Pが「点集合Eの境界点」であるための必要十分条件は、
　どんな風にεをとっても、点Pの「すべての」ε近傍Uε(P)が、
　Eに属す点もEに属さない点も含むこと。　　　
　すなわち、
　点Pが点集合Eの境界点
　　　⇔Pの「任意」のUε(P)に対して、
　　　　　　　Uε(P)右の部分集合ではないE, Uε(P)∩E≠φ　　　
 　　　⇔Pの「任意」のUε(P)に対して、　
　　　　　　　Uε(P)∩E≠φかつUε(P)∩Ec≠φ　

[文献]

　・小平『解析入門I』p.56
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』pp.154-155
　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.262

※利用例：境界の定義、閉包の定義、閉集合の定義　
※Rにおける境界点/R2における境界点/Rnにおける境界点
　　　　　　　
→[トピック一覧：一般の距離空間]
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定義：内部interior　


 ・点集合Eの内点全体からなる集合をEの内部と呼ぶ。　記号：Int E

※Rにおける内部/R2における内部/Rnにおける内部/位相空間一般における開核

[文献]

　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.262

定義：外部　exterior　　


 ・点集合Eの外点全体からなる集合をEの外部と呼ぶ。　記号：Ext E

※Rにおける外部/Rnにおける外部/距離空間一般における外部 　

[文献]

　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.262

→[トピック一覧：一般の距離空間]
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定義：境界boundary　　


 ・点集合Eの境界点全体からなる集合を、Eの境界と呼ぶ。。　記号：Bd E　　　　　　

※Rにおける境界/R2における境界/Rnにおける境界、　　　

[文献]

　・小平『解析入門I』p.56
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.155.
　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.262

定義：閉包closure　

定義

 ・点集合Eの閉包とは、
　「点集合E」と「点集合Eの境界」との合併集合のことをいう。

※R/R2/Rnにおける閉包

[文献]

　・小平『解析入門I』p.56
　・岡田『経済学･経営学のための数学』定義4.5(p.159)

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定義：稠密 dense　

定義

[文献]

　・小平『解析入門I』p.58

定義：集積点 accumulating point　

定義

 ・どんな風にεをとっても、点Pの「すべての」ε近傍Uε(P)が、
　点集合Eの点を無限個含むとき、すなわち、Uε(P)∩Eが無限集合となるとき、
　点Pを「点集合Eの集積点」という。

[文献]

　・小平『解析入門I』p.58
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.155.
　・矢野『距離空間と位相構造』1.3.5(p.47)

定義：孤立点　isolated point　

定義

 ・点集合Eに属す点Pが点集合Eの集積点でないとき、PをEの孤立点という。

[文献]

　・小平『解析入門I』p.58
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.155.

定義：離散集合　discrete set　

　　　　[小平『解析入門I』p.58;.]　

→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次

定義：開集合　open set　　

定義

（はじめに読むべき定義）

・点集合Eの境界点はどれも点集合Eに属さず、
　点集合Eに属す点が全て点集合Eの内点であるとき、　
　点集合Eは開集合であるという。

（正確な定義）

・(X,d)を距離空間、EをXの部分集合とする。　　　　
　Eは距離空間(X,d)の開集合
　　　⇔∀P∈Eに対してPはEの内点　
　　　⇔ (∀P∈E) (∃Uε(P) ) ( Uε(P)⊂E )　　(∵内点の定義)　

[文献]

　・小平『解析入門I』p.58;
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 155;
　・佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.61)
　・松坂『集合・位相入門』第6章B(p.237)
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5項目4.5.2(p.125);

※Rにおける開集合/R2における開集合/Rnにおける開集合　　　
※距離空間上の開集合と位相　

注意

 　X全体、空集合φも、開集合である。
 　※理由→佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.61)
　　　　　　松坂『集合・位相入門』第4章§1D(pp.145-6);

定義：閉集合closed set　


 ・点集合Eの境界点はすべてEに属すとき、Eは閉集合であるという。

※Rにおける閉集合/R2における閉集合/Rnにおける閉集合

[文献]

　・小平『解析入門I』p.58
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.155

→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次

定義：直径　diameter　

定義

 ・距離空間Xの部分集合Eに対して、sup{d(P,Q)|P,Q∈E}をEの直径という。

[文献]

　・『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256)

※Rにおける区間の長さ/R2における直径/Rnにおける直径
　　　　

定義：有界boundedな集合　　


 ・距離空間Xの部分集合Eの直径が上に有界であるとき、部分集合Eは有界であるという。
　　　　　　　　[『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256)]　
つまり、　　
・「距離空間Xの部分集合Eが有界である」とは、
　　　　ある実数Mとある点P∈Eが存在して、
　　　　任意の点Q∈Eに対して、d(P,Q)<M
　　　　が成立することをいう。[ルディン『現代解析学』2.20-i (p.33)]　
あるいは、　　　　　
・＜点集合Sに属す任意の点＞をP　、　原点をOとおく。　　　　　
　＜点集合Sに属す任意の点＞と＜原点＞との距離　d(P,O)が上に有界　であるとき、　　
　点集合Sは有界boundedであるという。　　　　　
　点集合Sが有界 ⇔　∀P∈S に対して、d(P,O)が上に有界　,　　　
　　　　　　　　　　　　[小平『解析入門I』p.61.]　
　ところが、実のところは、　
　　　　「Rmの部分集合Bは、
　　　　　ある点bを中心とする十分大きなM>0を半径とする開球U(b,M)に
　　　　　含まれるとき有界であるという。
　　　　　ここでbを特定の点たとえば原点0としてもよい。[杉浦『解析入門I』p.55.]」　
　ということで、上のどちらでもよい。
※Rにおける有界な集合/R2における有界な集合/Rnにおける有界な集合　
　　　　　　　　
→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次

定義：有界閉集合　

定義

 ・有界閉集合とは、
　有界集合かつ閉集合である集合のこと。

[文献]

　・
　・
　・

定義：被覆covering

　　　　　　　→詳細　　

定義：コンパクト集合

　

定義

[文献]

　・
　・
　・

定義

定義




→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次


II.距離空間(R,d)　

A.距離・距離空間
・集合Rの元x, yにたいして、d(x,y)=|x-y|をとると、dは距離の公準を満たし、(R,d)は距離空間となる。　
　　　→つづき　
B.
・定義：点a∈Rのε近傍　Uε(a)　点a∈Rからの距離がε以内の点からなるRの部分集合。
　　　→つづき
・定義：点a∈Rの除外ε近傍U*ε(a)　点aのε近傍から、点aを除外したもの。
　　　→つづき
C.数直線Rにおける点集合についての諸概念　
・Rにおける点集合　：数直線Rの部分集合→つづき　
・R上の集合Eの内点： Uε(a)⊂Eを満たすUε(a)が存在する点a。　　
　　→詳しい解説　　　　　　　
・R上の集合Eの外点： Uε(a)∩E＝φを満たすUε(a)が存在する点a　　
　　→詳しい解説　　　　　　　　　
・Rにおける集合Eの境界点：その集合の内点でも外点でもない点→詳しい解説　　　　
・Rにおける集合Eの内部： Eの内点全体からなる集合→詳しい解説　　
・Rにおける集合Eの外部：集合の外点全体からなる集合→詳しい解説　　
・Rにおける集合の境界： 境界点「全体」からなる集合。(a,b)、[a,b]ではa,bの２点。
　　　　　→詳しい解説　　
・閉包→説明　　
・Rにおける集合の集積点：→説明　　
・Rにおける開集合： 集合Eの境界点の「どれも」Eに属さ「ない」とき、Eは開集合であるという。　　
　　　　→詳しい解説　
・Rにおける閉集合： 集合Eの境界点は「すべて」Eに属すとき、Eは閉集合であるという。
　　　　→詳しい解説　
・区間　→説明
　・(a,b)　開区間→説明　　
　・[a,b]　閉区間→説明　　
　・(a,b]　左半開区間→説明　　　
　・[a,b)　右半開区間→説明　　
　・有限区間・無限区間→説明　　　
・幅・長さ　→説明
・Rにおける上に有界な集合　　　　　　　→説明　
・Rにおける下に有界な集合　　　　　　　→説明　
・Rにおける「有界」な集合　　　　　　　→説明　　

→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次

　

III. 距離空間 (R2,d)　　　

　　R2 :「実数全体の集合R」と「実数全体の集合R」の直積（R×R）のこと。
　　平面：　集合R2、すなわち「実数全体の集合R」と「実数全体の集合R」の直積（R×R）をさす。
　　点　：　平面R2の要素、すなわち、(x,y)∈R×R　　
A. 平面R2における距離と距離空間　　→説明　　
　　　　　・ユークリッド距離　　　
　　　　　・2次元ユークリッド空間　　
Ｂ.
・平面R2における点Pのε近傍(ε-neighborhood)　Uε(P)　　　→説明　
・平面R2における点Pの除外ε近傍U*ε(P) 　　→説明　　　
C. 平面R2における点集合についての諸概念　
・点集合　：点の集合。つまり、平面R2の部分集合（点集合S⊂R2）　
・平面R2における集合の内点　　　→説明　
・境界点　　→説明　　　　
・境界　　→説明　　
・閉包　　→説明
・稠密　　→説明　
・集積点　　→説明　
・孤立点　　→説明　
・離散集合　　→説明　
・開集合　　→説明　
・閉集合　　→説明　
・R2上の区間　　→説明　　
・R2上の閉区間・閉矩形　　→説明　　
・「有界」な集合　　→説明　　
・直径　　→説明　　
・連結　　→説明
・領域　　→説明
・閉領域　　→説明
・開核　　→説明
→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次
 

III. 距離空間 (Rn,d)　

　　彌永『集合と位相II』p.136。杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.37-48;55; 70;.　
→[トピック一覧：一般の距離空間]
→総目次


（reference）

[解析学の文献]
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、p.14-17.
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp. 13; 21;36; 46;53-65; 73.
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.37-48;55; 70;.75-79;
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.154-157.
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.112-113.
ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、2.17-2.46(pp.32-44)。
Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,p.207.
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (p.468.)。

[位相の文献]
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：　集合と位相　I・II』 岩波書店、1977年, pp.135-171。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年、第1章距離空間1.1節距離(pp.2-25)、1.3節位相(pp.37-52)。
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第6章距離空間§1距離空間とその位相.A距離関数と距離空間(pp.234-6);B距離空間における位相の導入(pp.236-8);F部分距離空間と直積距離空間(pp.243-4)。
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年、第四章§5距離空間(その1)4.5.1-4.5.10(pp.125-130)。
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第10講:距離空間一般の定義(pp.71-6); 第11講:ε近傍と距離空間の例(pp.77-84); 第13講:開集合閉集合、第14講近傍閉包、
佐久間一浩『集合･位相―基礎から応用まで―』共立出版、2004年、第３章集合から位相空間へ3.3距離空間と完備性(pp.56-61)、3.4開集合と閉集合(pp.61-66) 。

[数理経済学の文献]
二階堂副包(ふくかね) 『現代経済学の数学的方法―位相数学による分析入門』岩波書店、1960年、§11Rnにおける収束(p.79)、§12二三の位相的概念(pp.79-89)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、第6章位相数学§1位相空間とは1.3近さ・遠さ1.4距離空間。(pp.278-280)。§2ユークリッド空間(pp.281-95)卑近な例もまじえつつ、具体的に説明。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.67-76;120-123; 131-148.
奥野正寛、鈴村興太郎『ミクロ経済学Ｉ』岩波書店、1985年、pp.261-265.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、p.5。

[そのほかの文献]
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256)、項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).
佐藤坦『はじめての確率論　測度から確率へ』共立出版、1994、pp172-186.
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