n変数関数の連続性:トピック一覧 |
・ 連続性の定義:点での連続性/右連続/左連続/点集合上連続/連続関数/一様連続性・n変数についての連続性の性質:各変数についての連続性との関係/点列の収束との関係 ・連続関数一般の性質:関数の和差積商の連続性 ・有界閉集合上の性質:連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/最大値最小値定理/ 関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続 ・連結な集合上の性質:中間値定理/連続関数による領域の像は区間/連続関数による閉領域の像は閉区間 |
※ n変数関数に関する諸概念: n変数関数の諸属性/極限/極限の性質/偏微分/全微分/※n変数関数の連続性の具体例:1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性 ※n変数関数の連続性の一般化:実数値関数の連続性/ベクトル値関数の連続性/ 距離空間のあいだの関数の連続性/位相空間のあいだの関数の連続性 →総目次 |
定義: n変数関数が点Aで連続 |
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はじめに |
「 n変数関数 f は、点A(a1,a2,…,an )で連続であるcontinuous」とは、次の3条件がすべて満たされることを言う。 (1) f (A)、すなわち、f (a1,a2,…,an ) が定義されていること (2) P→Aで、f (P)が収束すること。 つまり、 ![]() が存在すること。 (3) f (P)→f (A)(P→A) つまり、 ![]() が成立すること。 ※上記条件の一つでも満たされていないとき、 f (P)は点Aで不連続であるdiscontinuous、 ないしは、f (x1,x2,…,xn)は点(a1,a2,…,an )で不連続であるという。 |
cf .点集合上連続/一様連続性[ 具体例]1変数関数の連続性/2変数関数の連続性[ 一般化]実数値関数/ベクトル値関数/距離空間上の写像/位相空間上の写像[ 文献]杉浦『解析入門I』定義5(p.55-56); 木『解析概論』10連続函数(p.26) 吹田新保『理工系の微分積分学』6章§2(II)(p.160)
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舞台設定 |
厳密には、 Step1: n次元空間Rnを用意する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えたユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 「 n次元空間Rnの点集合D」に属す定点を、A = (a1,a2,…,an )と名づける。 つまり、「P, A∈D⊂Rn」 *P, Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
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厳密な |
「 n変数関数f (P)すなわちf (x1,x2,…,xn)は、点A(a1,a2,…,an )で連続であるcontinuous」とは、 任意の正数εに対して、ある正の実数δが存在して、 「 d ( P, A )<δ ならば、d ( f (P), f (A) )<ε 」 を成り立たせる、ということ。 この定義を、論理記号で表せば、 (∀ε>0)(∃δ>0)(∀P∈Rn)( d ( P, A )<δ⇒ d( f (P), f (A) )<ε) * d ( P, A )は、 n次元空間Rn上での点Pと点Aとの距離を、 d ( f (P), f (A) )は、R上のf (P)とf (A)との距離| f (P)−f (A)|を表す。 * 「P→Aのときf(P)が収束する」の定義では、0<d( P, A )<δ であった。 つまり、関数の「極限」では、P=Aを除外して考えたが、 「連続」ではP=Aを除外しないことになる。 |
[ 文献]木『解析概論』10連続函数(p.26); 吹田新保『理工系の微分積分学』6章§2(II)(p.160) 杉浦『解析入門I』命題6.5-b(p.55-56); ルディン『現代解析学』4.5(p.83):一般の距離空間上で。 松坂『集合・位相入門』4章§1-G(p.149); 小平『解析入門U』 §6.4(p309):2変数関数と同じとあるだけ; |
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※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間 Rnにおける連続概念n変数関数f (P)= f (x1,x2,…,xn)、すなわち「『 n次元空間Rnの部分集合』から『実数体R』への写像」を扱う際には、 特別な目的がない限り、 n次元空間Rn上の距離をユークリッド距離で定めて、 n次元空間Rnをユークリッド空間Rnとし、 実数体Rの距離をユークリッド距離で定めて、Rを1次元ユークリッド空間Rとする設定のもとで 考えるのが普通。 この設定下では、 ![]() d (f (P), f (A) )=| f (P)−f (A)|=| f (x1,x2,…,xn )−f (a1,a2,…,an )| だから、 「f (P)=f (x1,x2,…,xn)は、点A(a1,a2,…,an )で連続である」の定義は、具体的には ┌任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、ある正の実数δが存在して、 | 「 ![]() | ならば | f (x1,x2,…,xn )−f (a1,a2,…,an )|<ε」 └を成り立たせる (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x1,x2,…,xn ∈R ) ( ![]() となる。 |
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※ n次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間Rnにおける連続概念Rnにベクトルの加法・スカラー乗法・自然な内積(標準内積)・ユークリッドノルム‖‖が定義されており、 Rnを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、 任意の実n次元数ベクトルx, y∈Rnのユークリッド距離は‖x−y‖ と表せる。 このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rnのもとでは、 d ( P, A )=‖P−A‖ だから、 「f (P)すなわちf (x1,x2,…,xn)は、点A(a1,a2,…,an )で連続であるcontinuous」の定義は、 「任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、ある正の実数δが存在して、 『 ‖P−A‖<δ ならば | f (P)−f (A)|<ε』 を成り立たせる」 (∀ε>0)(∃δ>0)(∀P∈Rn )(‖P−A‖<δ⇒| f (P)−f (A)|<ε ) と表せる。 ただし、上記のPは、「点P (x1,x2,…,xn )」を表す実n次元数ベクトル(x1,x2,…,xn )、 上記のAは、「点A (a1,a2,…,an )」を表す実n次元数ベクトル(a1,a2,…,an ) である。 |
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厳密な |
「 n変数関数f (P)すなわちf (x1,x2,…,xn)は、点A(a1,a2,…,an )で連続であるcontinuous」とは、 実数f (A)の任意の(どんな)「R上のε近傍 Uε( f (A) ) 」に対して(でも)、 ある「Rn上の点Aのδ近傍Uδ(A)」が存在して、 f ( Uδ(A) ) ⊂ Uε( f (A) ) を満たす ということ。 この定義を別の表現でいうと、 任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、ある正の実数δが存在して、 「 f ( Uδ(A) ) ⊂ Uε( f (A) ) 」 すなわち「 (x1,x2,…,xn)∈Uδ(A) ならば、f (x1,x2,…,xn) ∈ Uε(f (A))」 を成り立たせる、 ということ。 この定義を、論理記号で表せば、 (∀ε>0)(∃δ>0)( f ( Uδ(A) ) ⊂ Uε(f (A)) ) (∀ε>0)(∃δ>0)(∀P∈Rn)( P∈Uδ(A) ⇒ f (P) ∈Uε(f (A))) となる。 |
[ 文献]杉浦『解析入門I』命題6.5-c(p.55-56); 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.16(p.90) 松坂『集合・位相入門』4章§1-G(p.149) |
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活用例 |
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n変数関数の右連続・左連続 | ||
不明 |
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定義: n変数関数が点集合D上で連続 |
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はじめに |
「 n変数関数f (P)すなわちf (x1,x2,…,xn)は点集合D上で(n個の変数x1,x2,…,xnについて)連続continuous」とは、 f (P)=f (x1,x2,…,xn)が点集合Dに属す各点で連続であることをいう。 |
cf .点での連続性 一様連続性 [ 具体例]1変数関数の区間連続性/2変数関数が集合上連続[ 一般化]実数値関数/ベクトル値関数/距離空間上の写像/位相空間上の写像[ 文献]吹田新保『理工系の微分積分学』6章§2(II)(p.160); 杉浦『解析入門I』225. 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.16 (p.90) |
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舞台設定 |
厳密には、 Step1: n次元空間Rnを用意する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えたユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 「 n次元空間Rnの点集合D」に属す定点を、A = (a1,a2,…,an )と名づける。 つまり、「P, A∈D⊂Rn」 *P, Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
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厳密な |
「 f (P)=f (x1,x2,…,xn)は点集合D上で(n個の変数x1,x2,…,xnについて)連続continuous」とは、点集合Dに属す点Aをひとつ選んで固定した上で、 任意の正数εに対して、ある正数δをとると、 「d ( P, A )<δ ならば、| f (P)−f (A) |<ε」 …(1) が成り立ち、 これが、すべての点A∈Dについてもいえるということ。 論理記号で表せば、すなわち ( ∀A∈D ) ( ∀ε>0 ) ( ∃δ>0 ) ( ∀P∈D ) ( d ( P, A )<δ ⇒ | f (P)−f (A) |<ε) [杉浦『解析入門I』225] ※ここで、(1)を満たすδを全てのA∈Dに対して共通に選ぶ必要はないことに注意。 「f(P)がD上で連続」と言った場合、A∈Dの選び方で(1)を満たすδが変わってもよい。 これに対して、 (1)を満たすδを全てのA∈Dに対して共通に選べる、 A∈Dの選び方によらず、εだけに対応して (1)を満たすδを一様に選べることを意味する概念は、 一様連続性。 |
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n変数連続関数 | ||
n変数関数 f (x1,x2,…,xn)が定義域Dに属する全ての点で連続であるとき、 n変数関数 f (x1,x2,…,xn)を(n個の変数x1,x2,…,xnの)連続関数と呼ぶ。 |
[ 文献] |
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n変数についての連続性」と「各変数についての連続性」との関係 | ||
n変数関数 f (x1,x2,…,xn) はD上でx1,x2,…,xnについて連続 ⇒ n変数関数 f (x1,x2,…,xn) は D上でx2,…,xnを固定したときx1について連続、 D上でx1,x3,…,xnを固定したときx2について連続、 : D上でx1,…,xn−1を固定したときxnについて連続 ※逆は必ずしも成り立たない。 |
[ 文献]小平『解析入門U』p.260 和達『微分積分』pp.115-6; |
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n変数関数の点における連続性の、点列・数列の収束への言い換え | |||
具体例→ 1変数関数の連続の、数列の収束への言い換え/ 2変数関数の連続の、点列・数列の収束への言い換え一般化→ベクトル値関数の連続性の点列の収束への言換え/距離空間のあいだの写像の連続性の、点列の収束への言換え |
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要旨 |
n変数関数 fの連続性は、収束点列の像の数列の収束に、言いかえられる。 | ||
定理 |
つまり、命題P⇔命題Q⇔命題R。
命題 P:f (P)=f (x1,x2,…,xn)は、点A=(a1,a2,…,an )で連続 |
[ 文献]西村『経済数学早分かり』3章§1.2連続関数(p.106) 神谷浦井『経済学のための数学入門』§2.5 (p.95); |
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命題 Q:どんなRn上の点列{ Pn }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n ) , (x21,x22,…,x2n ), (x31,x32,…,x3n ),…}についてであれ、 その点列{ Pn }が点A(a1,a2,…,an )に収束する限り、 その点列の各項 P1 , P2 , P3,…を n変数関数fによりR上に写した像の数列 { f ( Pn ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( (x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… } は実数f (A)=f (a1,a2,…,an)に収束する。 つまり、 任意のRn上の点列{ Pn }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n ) , (x21,x22,…,x2n ), (x31,x32,…,x3n ),…}について、 Pn→A (n→∞) ならば、 f(Pn)→f (A) (n→∞) 論理記号で表すと、 (∀{ Pn })(( Pn→A (n→∞) )⇒( f (Pn)→f (A) (n→∞))) 命題 R:いかなる 「実数a1に収束する数列{ x11 , x21 , x31 ,…}」 「実数a2に収束する数列{ x12 , x22 , x32 ,…}」 : 「実数anに収束する数列{ x1n , x2n , x3n ,…}」 に対しても、 数列 { f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… } が実数f (A)に収束する。 つまり、 (∀ { xi1 } ,{ xi2 }, …, { xin } ) ((xi1→a1 (i→∞)かつxi2→a2 (i→∞)かつ…かつxin→an (i→∞))⇒ f ( xi1,xi2,…,xin )→f (a1,a2,…,an) (i→∞)) ※なぜ? 関数の収束の定義と、関数の連続性の定義を見比べたうえで、 関数の収束と点列の収束の関連性についての定理を、関数の連続性向けに修正。 |
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活用例 |
定理: n変数関数の和差積商の連続性 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えた ユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、 z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 「 n次元空間Rnの点集合D」に属す定点を、A = (a1,a2,…,an )と名づける。 つまり、「P, A∈D⊂Rn」 *P, Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160; 杉浦『解析入門I』定理6.6-3(p.58); |
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定理 1 |
n変数関数f (P)=f (x1,x2,…,xn)が、点A=(a1,a2,…,an )において連続であり、 かつ n変数関数g (P)=g (x1,x2,…,xn)が、点A=(a1,a2,…,an )において連続である ならば、 n変数関数 f ( P )±g ( P )=f (x1,x2,…,xn)±g (x1,x2,…,xn)もまた、点A=(a1,a2,…,an )において連続となる |
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定理 2 |
n変数関数f (P)=f (x1,x2,…,xn)が、点A=(a1,a2,…,an )において連続であり、 ならば、 任意の定数k∈Rにたいして、 kf( P )=kf (x1,x2,…,xn)もまた、点A=(a1,a2,…,an )において連続となる。 |
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定理 3 |
n変数関数 f (P)=f (x1,x2,…,xn)が、点A=(a1,a2,…,an )において連続であり、 かつ n変数関数 g (P)=g (x1,x2,…,xn)が、点A=(a1,a2,…,an )において連続である ならば、 n変数関数 f ( P ) g ( P )= f (x1,x2,…,xn) g (x1,x2,…,xn)もまた、点A=(a1,a2,…,an )において連続となる。 |
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定理 4 |
n変数関数 f (P)= f (x1,x2,…,xn)が、点A=(a1,a2,…,an )において連続であり、 かつ n変数関数 g (P)= g (x1,x2,…,xn)が、点A=(a1,a2,…,an )において連続であり、 かつ f(A)=f(a1,a2,…,an )≠0 ならば、 n変数関数 g ( P )/f ( P )=g (x1,x2,…,xn)/f (x1,x2,…,xn)もまた、点A=(a1,a2,…,an )において連続となる. |
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証明 |
関数の極限値どおしの演算についての定理より。 | |||
→ [トピック一覧:n変数関数の連続性]→総目次 |
compositionの連続性 | |||
要旨 |
二つの 連続関数の合成関数は連続。 |
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設定 |
n次元空間Rn:実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 ※これは実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある (Rn,d) : n次元空間Rnに距離dを与えてつくった距離空間。 普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えたユークリッド空間 を考える。 D : n次元空間Rnの点集合。つまり、D⊂Rn 。 E : n次元空間Rnの点集合。つまり、E⊂Rn 。 ※D,Eは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 A= (a1,a2,…,an ): n次元空間Rnの点集合D上の定点。 つまり、A= (a1,a2,…,an )∈D⊂Rn P= (x1,x2,…,xn ): n次元空間Rnの点集合上の動点。 つまり、P= (x1,x2,…,xn )∈D⊂Rn ※A,Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 |
[一般化]距離空間のあいだの合成写像の連続性 [文献] 杉浦『解析入門I』定理6.7-3(p.59):ベクトル値関数のケース; 高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.146:ベクトル値関数のケース; |
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f : n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数。つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂Rn ) 、 z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈D⊂Rn ) g: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数。 つまり、g : D→R (D⊂Rn )、z=g(P) ( z∈R, P∈D⊂Rn ) 、 z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) 。 |
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定理 |
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※ |
関連事項: 1変数関数の合成関数の連続性、二つの1変数関数と一つの2変数関数から出来た合成関数の連続性 |
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→ [トピック一覧:n変数関数の連続性]→総目次 |
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n変数関数の一様連続性 uniformly continuous | |||
設定 |
「 n変数関数 f の一様連続性」の定義は、以下の手順で設定された舞台上でなされる。 Step1: n次元空間Rnを用意する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dを定めて、距離空間(Rn,d)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えた ユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rn上の点集合Dで定義された n変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂Rn )、z=f(P) ( z∈R, P∈Rn ) 、 z=f(x1,x2,…,xn ) ( z∈R, (x1,x2,…,xn )∈Rn ) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す2点を、 P= (x1,x2,…,xn )、A = (a1,a2,…,an )と名づける。 つまり、「P, A∈D⊂Rn」 *P, Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
cf .点での連続性[具体例]1変数関数の一様連続性/2変数関数の一様連続性 [一般化]ベクトル値関数の一様連続性/実数値関数の一様連続性/距離空間のあいだの写像の一様連続性 [ 文献]斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.17 (p.90) 杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定義1(p. 225).; ルディン『現代解析学』4.18(p.88):距離空間一般上。 吹田新保『理工系の微分積分学』6章§2(II)6〇(p.160) 木『解析概論』10連続函数定理14(p.27) |
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定義 |
n変数関数f (P)=f (x1,x2,…,xn)が、点集合D上で一様連続uniformly continuousであるとは、 任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、 「d (P, A)<δを満たす限りで任意の『Dの元』」P,Aについて、 | f (P)−f (A) |<ε を成り立たせる ということ。 論理記号で表せば、すなわち、 ( ∀ε>0 ) ( ∃δ>0 ) ( ∀ A∈D ) ( ∀ P ∈D ) ( d ( P, A )<δ ⇒ | f (P)−f (A) |<ε) ※δが、各A∈Dに対して一様にとれることを意味している点が、重要。 |
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性質 |
・ n変数関数f が点集合D上で一様連続ならば、f は点集合D上で連続。・一般には、 n変数関数f が点集合D上で連続だからといって、点集合D上で一様連続だとは限らない。 ・点集合Dが有界な閉集合ならば、 n変数関数f が点集合Dで一様連続であることと連続であることは同値 →詳細 |
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否定命題 |
「 n変数関数f (P)=f (x1,x2,…,xn)が、点集合D上で一様連続でない」とは、( ∃ε>0 ) ( ∀δ>0 ) ( ∃A∈D ) ( ∃ P ∈D ) ( d (P, A)<δかつ| f (P)−f (A) |≧ε) [杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1証明(4.4)(p. 226)] |
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※ |
Cf .D上で連続:δが各A∈D毎にちがっていてもよい。関連事項:点での連続性、D上で連続 具体例: 1変数関数の一様連続性 / 2変数関数の一様連続性 一般化:ベクトル値関数の一様連続性 /実数値関数の一様連続性 /距離空間のあいだの写像の一様連続性 |
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→ [トピック一覧:n変数関数の連続性]→総目次 |
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(
reference)『
岩波数学辞典(第三版)』項目441連続関数 (pp.1329-1331).神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.148-160.高木貞治『
解析概論 改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 26-8.小平邦彦『
解析入門II』(軽装版)岩波書店、2003年、pp.260-264.和達三樹『
理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.115-6.吹田・新保『
理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.160-1。杉浦光夫『
解析入門』岩波書店、1980年、pp.55-56;74-75. 極限の定義が特殊なので注意。高橋一『
経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.144-146.ルディン『
現代解析学』共立出版、1971年、4.5-4.24(pp.83-91)。一般の距離空間の上で論じている。→
[トピック一覧:n変数関数の連続性]