矩形上の2重積分　double integral

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VI. パラメーターを含む積分の性質

【文献】

　・小平『解析入門II』323-326
　・高木『解析概論』8章93節(pp.334- 337.)
　・和達『微分積分』140-4
　・Lang, Undergraduate Analysis,471-482.
 　・吹田新保『理工系の微分積分学』246:矩形上で;196: 一般の積分区間で。
　 ・杉浦『解析入門I』IV章§7(pp.248-254):わざわざ矩形上の重積分に限定して説明;
　

定理：極限と積分の順序交換　

[小平『解析入門II』補題6.1:298-9;]
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　t :　tは閉区間[c,d]の一点。つまり、　t∈[c,d]　(あるいは、 c≦t≦d　)
　f (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
(1)　　f (x ,y ) がK上でyを固定したときxについて連続であり、　
　各xについて、極限
　　
　が存在し、これがxについて連続であるならば、　
　　　
（証明）
　小平『解析入門II』補題6.1:299:背理法による証明。Arzelaの定理を利用。　
　
(２)　f (x ,y ) がK上連続関数ならば、　
　各xについて、極限
　　　　　
　が存在して、　
　　
（証明）
　　f (x ,y ) がK上連続関数ならば、2変数関数の連続性の性質より、　
　　　　f (x ,y ) はK上でxを固定したときyについて連続、yを固定したときxについて連続。
　　　

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定理：パラメータを含む積分の連続性　

[小平『解析入門II』定理6.19(p.299);吹田新保『理工系の微分積分学』付録1 (246-7);
　　　杉浦『解析入門I』IV章§14(pp.317-8)。　]
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　t :　tは閉区間[c,d]の一点。つまり、　t∈[c,d]　(あるいは、 c≦t≦d　)
　f (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
　f (x ,y ) がK上連続関数ならば、　
　　　
　は、[c,d]においてyの連続関数。　
（証明1）[小平『解析入門II』定理6.19(p.299)]　
step1:　f (x ,y ) がK上連続関数ならば、2変数関数の連続性の性質より、　
　　　　f (x ,y ) はK上でxを固定したときyについて連続、
　　　　つまり、∀t∈[c,d]（閉区間[c,d]上の任意の一点t　)にたいして、
　　　　　　　　…(1)
step2:　f (x ,y ) がK上連続関数ならば、極限と積分の順序交換が成り立って、
　　　　　　　　…(2)
step3:　(1)と(2)より、　f (x ,y ) がK上連続関数ならば、
　　　　　　　　　…(3)
step4:　(3)より、　f (x ,y ) がK上連続関数ならば、
　　　　　　
　　　　これは、F(y)がt∈[c,d]で連続であることの定義に他ならない。　
（証明2）[吹田新保『理工系の微分積分学』付録1 (246-7):関数列の一様収束に帰着.]　
予告編：
　Step1:　次の関数列を定義。
　　　　　
　Step2-6:　関数列Fn(t)は、極限関数F(t)に[c,d]上一様収束することを示す。　
　Step7:　Step2-6の結果と、もとのf ( x ,y ) の連続性から、定理より、極限関数F(t)も[c,d]上連続となる。　
本編：　
Step0:設定
　仮定：2変数関数f (x ,y ) はK=[a,b]×[c,d]上の連続関数。…(0-1)
　仮定：2変数関数f (x ,y ) はK=[a,b]×[c,d]上の有界関数。…(0-2)
　仮定: t :　tは閉区間[c,d]の任意の一点。つまり、　∀t∈[c,d]　…(0-3)
　2変数関数f (x ,y )で、yをt∈[c,d]に固定してxの1変数関数としたものを、f (x ,t )とする。…(0-4)　
　　(z=f(x,y)の立体グラフを、y=tという面で切断したときの断面に現れる平面グラフがf (x ,t )となる。)
　仮定(0-1)から2変数関数の連続性の性質が成り立って、　
　　　(0-4)でつくったxの1変数関数f (x ,t ) も[a,b]上連続 　　　…(0-5)
　　とおく。…(0-6)
　　(z=f(x,y)の立体グラフを、y=tという面で切断したときの、断面の面積がF(t)となる。)
Step1:　　
・閉区間 [a,b]を、n等分して、a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=bを分点としたn個の小閉区間
　　I1=[a, x1], I2=[x1, x2],…,In=[xn‐1, b]　へ分割する。
　　n等分なので、i=1,2,…,nに対して、(xi－ xi－1) =(b-a)/nである。　…(1-0)　
この[a,b]のn等分割を⊿nであらわすことにする。…(1-1)
各小閉区間 Iiの右端点xiを代表点として、分割⊿nに関する、f (x ,t )[→(0-4)]のリーマン和をとる。　　
　　
 f (x ,t ) [→(0-4)]の、分割⊿nに対する、リーマン和を、Fn(t)と定義する。　　
　　　　　　　　…(1-2)
・上記の関数Fn(t)で、分割⊿nの分点の数nを1,2,3,…と、色々変えて、
　　関数列{ Fn(t)}={ F1(t), F2(t), F2(t),…, Fn(t), …}
　　　　　　　　　　
　をつくる。　
Step2:　　
・区間加法性より、　
　　…(2-1)　
・(0-5)より、[a,b]に含まれる任意の閉区間でf (x ,t )に積分の第1平均値定理〇2が適用できて、
　i=1,2,…,nに対して、
　　　　
　　を満たすζi∈( xi‐1 , xi )　が存在する。　　…(2-2)　
・(2-1)と(2-2)をあわせると、
　　
　　を満たすζi∈( xi‐1 , xi )　が存在する。　　…(2-3)　
Step3:　f (x ,y ) の一様連続性→任意のεに対し、あるδをとれる。　
・定理：2変数関数が有界閉集合上連続ならば、そこで一様連続より、　
　仮定(0-1)下で、f (x ,y ) はK=[a,b]×[c,d]上一様連続。　
　すなわち、任意の正数εに対して、
　　　d (点P, 点 A) ＜ δ（点P,A∈K ）ならば、　| f (点P)－f (点A) |＜ε　
　を成り立たせるある正数δが存在する。(δは、各点A∈Kに対して共通にとれる)　…(3-1)
Step4:　(step3で任意のεに対してとれた)δに対し、あるNをとれる。　
Step1で採った[a,b]の分割⊿nの分点xi、(2-3)で存在が保証されたζi∈( xi‐1 , xi )を用いて、
点P=(ζi , t )、点A=( xi ,t )を考える。　
この2点について、以下が成り立つ。
・点P,A∈K 　…(4-1)
・d (P, A) = |ζi－xi |
　　　　　≦ xi－ xi－1 　∵(2-3) ζi∈( xi‐1 , xi )より、　
　　　　　= (b-a)/n　 ∵(1-0)より。
　だから、[a,b]の分割⊿nをある限度以上細かくすれば、すなわち、ある限度以上nを大きくすれば、
　d (P, A) ≦(b-a)/n＜ δ　となる。
　すなわち、「n＞Nならば、d (P, A) ＜ δ　」を成り立たせる、Nが存在する。　　…(4-2)　
(4－1)(4－2)(3-1)から、　　
n > N ならば、　| f (P)－f (A) |=| f (ζi , t )－f ( xi ,t ) |＜ε　　　　…(4-3)　
Step5:　　　
| Fn (t)－F (t) |
　　∵(1-2) (2-3)から。
　
よって、
| Fn (t)－F (t) |　
　　
　　∵絶対値の性質
　　　∵絶対値の性質　　
　　　∵ xi‐1 < xi　
以上をまとめると、
　　　…(5-1)　
Step6:　　　
(4-3)(5-1)より、　
n > N ならば、　
　
εとは、任意の正数であった。[(3-1)に戻って確認せよ。]　
また、tとは、閉区間[c,d]の任意の一点であった。[(0-3)に戻って確認せよ。]
よって、上記の命題は、
任意の正数ε(b-a)に対して、　
　「∀t∈[c,d]かつn > N ならば、| Fn (t)－F (t) |＜ε(b-a)　」
を成り立たせるNが存在する、
ということになる。
つまり、
関数列Fn(t)は極限関数F (t)に[c,d]上一様収束する。…(6-1)
Step7:　　　
関数列{ Fn(t)}={ F1(t), F2(t), F2(t),…, Fn(t), …}
　　　　　　　　　　
の各項はすべて、[c,d]上連続である。…(7-1)
　なぜなら、(0-1)より、f (xi ,t )は、K=[a,b]×[c,d]上の連続関数、
　　　　　連続関数の定数倍・連続関数どおしの和も連続関数だから、
　　　　　
　　　　　は、n=1,2,…で、K=[a,b]×[c,d]上の連続関数となる。
　　　　　2変数関数の連続性の性質から、　
　　　　　Fn(t) (n=1,2,…)は[c,d]上連続となる。
(6-1)と(7-1)から、定理により、
関数列Fn(t)の極限関数F (t)も、[c,d]上の連続関数となる。
　
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(reference)


I.わざわざ矩形上の重積分に限定して説明しているテキスト。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、付録1積分記号下の微分・積分(pp.246-7).
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、第6章§6.3.b) (pp.298-300;)。
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、IV章§14(pp.317-8)。
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第10章1節定理10.2の証明(p.349.の終わり3行のみ)。