ラグランジュの未定乗数法
Lagrange-Multiplier Method
cf.
n
変数関数のラグランジュ未定乗数法
→
総目次
定理:条件付極値の1階の必要条件(ラグランジュの未定乗数法)
条件
g(x,y)
=0
のもとで関数
f(x,y)
が点
P
0
(
x
0
,y
0
)
で極値をとり、
g
x
(
x
0
,y
0
)
≠
0
または
g
y
(
x
0
,y
0
)
≠
0
ならば(少なくとも一方がゼロでないなら)、
λを定数として次の式が成り立つ。
f
x
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
x
(
x
0
,y
0
)
=
0
―@
f
y
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
y
(
x
0
,y
0
)
=
0
―A
しかし逆に、この式を満たす点
P
0
(
x
0
,y
0
)
が、極値であるとは限らない。
(上の等式は、条件付極値の十分条件ではない)
利用法:
条件付極値を求めるときは、
(1)
等式@Aと条件
g
(
x
0
,y
0
)=0
を連立させて、
x
0
,y
0
,
λについて解き、
(2)
解
(
x
0
,y
0
)
は極値の候補であるが、極値とは限らないので、本当に極値であるかどうか吟味する。
利用例:
(ex-1)
正の定数rにたいして、
x
2
+
y
2
=r
2
上での
xy
の最大値・最小値を求めよ。
[和達『
微分積分
』239;矢野田代『
社会科学者のための基礎数学
』97;竹之内『
経済・経営系数学概説
』117.]
条件
g(x,y)
=
x
2
+
y
2
−
r
2
= 0
のもとで、関数
f(x,y)
=
xy
の条件付極値の
1
階の必要条件を求める。
g
x
(
x ,y
)=2
x
、
g
y
(
x ,y
)=2
y
を同時に
0
にする
(
x
,
y
)=0
は
x
2
+
y
2
=
r
2
上にはないので、
g
x
(
x ,y
)
≠
0
または
g
y
(
x ,y
)
≠
0
が成立。
よって、
条件
g(x,y)
=
x
2
+
y
2
−
r
2
= 0
のもとで、−@
関数
f(x,y)
=
xy
が点
P
0
(
x
0
,y
0
)
で極値をとるならば、
ラグランジュの未定乗数法より、
f
x
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
x
(
x
0
,y
0
)=
y
0
−λ
2
x
0
=
0
―A
f
y
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
y
(
x
0
,y
0
)
=
x
0
−λ
2
y
0
=
0
―B
点
P
0
(
x
0
,y
0
)
は@を満たすので、
x
0
2
+
y
0
2
−
r
2
= 0
−C
よって、
3
元連立方程式ABCを
x
0
,
y
0
,
λについて解けば良い。
Aより、
y
0
=λ
2
x
0
これをBに代入して、
x
0
−
4
λ
2
x
0
=
0
(1
−
4
λ
2
)
x
0
=
0
Cより、
x
0
≠
0
だから、
1
−
4
λ
2
=
0
ゆえに、λ
=
±
1/2
。
(i)
λ
=1/2
のとき、
ABから
y
0
=
x
0
。これを、Cに代入して、
x
0
2
=
r
2
/
2
よって、条件付極値の1階の必要条件を満たす点は、
このとき、
f(x,y)
=
xy= r
2
/
2
(ii)
λ
=
−
1/2
のとき、
ABから
y
0
=−
x
0
。これを、Cに代入して、
よって、条件付極値の
1
階の必要条件を満たす点は、
このとき、
f(x,y)
=
xy=
−
r
2
/
2
立体グラフ
→[
トピック一覧:ラグランジュの未定乗数法
]
→
総目次
(
ex
-2)
正の定数rにたいして、
x
2
+
y
2
=r
2
上での
x
+
y
の最大値・最小値を求めよ。
[小形『
多変数の微分積分
』192.]
条件
g(x,y)
=
x
2
+
y
2
−
r
2
= 0
のもとで、関数
f(x,y)
=
x
+
y
の条件付極値の
1
階の必要条件を求める。
g
x
(
x ,y
)=2
x
、
g
y
(
x ,y
)=2
y
を同時に
0
にする
(
x
,
y
)=0
は
x
2
+
y
2
=
r
2
上にはないので、
g
x
(
x ,y
)
≠
0
または
g
y
(
x ,y
)
≠
0
が成立。
よって、
条件
g(x,y)
=
x
2
+
y
2
−
r
2
= 0
のもとで、−@
関数
f(x,y)
=
x
+
y
が点
P
0
(
x
0
,y
0
)
で極値をとるならば、
ラグランジュの未定乗数法より、
f
x
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
x
(
x
0
,y
0
)=1
−λ
2
x
0
=
0
―A
f
y
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
y
(
x
0
,y
0
)
=
1
−λ
2
y
0
=
0
―B
点
P
0
(
x
0
,y
0
)
は@を満たすので、
x
0
2
+
y
0
2
−
r
2
= 0
−C
よって、
3
元連立方程式ABCを
x
0
,
y
0
,
λについて解けば良い。
ABより、
x
0
=
1
/
(2
λ
)
、
y
0
=
1
/
(2
λ
)
Cに代入すると、
λ
2
=1/(2
r
2
)
ABに戻して、
よって、条件付極値の1階の必要条件を満たす点は、
このとき、
→[
トピック一覧:ラグランジュの未定乗数法
]
→
総目次
(証明1〜
全微分
から)
[
Chiang
, 369-387; 和達『
微分積分
』239]
条件
g(x,y)
=0
のもとで関数
f(x,y)
が点
P
0
(
x
0
,y
0
)
で極値をとるということは、
点
P
0
(
x
0
,y
0
)
における
g
の
全微分
dg
=
g
x
(
x
0
,y
0
)
dx +
g
y
(
x
0
,y
0
)
dy
= 0
―@
を満たす
dx,dy
に関して、
点
P
0
(
x
0
,y
0
)
における
f
の
全微分
df
=
f
x
(
x
0
,y
0
)
dx +
f
y
(
x
0
,y
0
)
dy
= 0
―A
となるということ。
∵
g
(
x,y
)
が一定ならば、
g
(
x,y
)
の
全微分
は常にゼロ。
(
逆は必ずしも成り立たない
)
(i)
少なくとも
g
y
(
x
0
,y
0
)
≠
0
である場合
@を変形して、
dy
=
−
g
x
(
x
0
,y
0
)
dx
/
g
y
(
x
0
,y
0
)
これをAへ代入して、変形していくと、
f
x
(
x
0
,y
0
)
dx +
f
y
(
x
0
,y
0
) (
−
g
x
(
x
0
,y
0
)
dx
/
g
y
(
x
0
,y
0
))
= 0
f
x
(
x
0
,y
0
)
+
f
y
(
x
0
,y
0
) (
−
g
x
(
x
0
,y
0
)/
g
y
(
x
0
,y
0
))
= 0
(
両辺を
dx
で割った
)
f
x
(
x
0
,y
0
)=
f
y
(
x
0
,y
0
) (
g
x
(
x
0
,y
0
)/
g
y
(
x
0
,y
0
)
)
(移項しただけ)
f
x
(
x
0
,y
0
)/
g
x
(
x
0
,y
0
)=
f
y
(
x
0
,y
0
)/
g
y
(
x
0
,y
0
)
(両辺を
g
x
で割った)
ここで、λ
=
f
x
(
x
0
,y
0
)/
g
x
(
x
0
,y
0
)=
f
y
(
x
0
,y
0
)/
g
y
(
x
0
,y
0
)
とおくと、
二つに分けて書けて、
λ
=
f
x
(
x
0
,y
0
)/
g
x
(
x
0
,y
0
)
、λ
=
f
y
(
x
0
,y
0
)/
g
y
(
x
0
,y
0
)
これを整理すると、
f
x
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
x
(
x
0
,y
0
)
=
0
f
y
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
y
(
x
0
,y
0
)
=
0
(ii)
少なくとも
g
x
(
x
0
,y
0
)
≠
0
である場合
@を変形して、
dx
=
−
g
y
(
x
0
,y
0
)
dy
/
g
x
(
x
0
,y
0
)
これをAへ代入して、変形していくと、
f
x
(
x
0
,y
0
)
{−
g
y
(
x
0
,y
0
)
dy
/
g
x
(
x
0
,y
0
) }
+
f
y
(
x
0
,y
0
)
dy
= 0
f
x
(
x
0
,y
0
)
{−
g
y
(
x
0
,y
0
)/
g
x
(
x
0
,y
0
)
}
+
f
y
(
x
0
,y
0
) = 0
(
両辺を
dy
で割った
)
f
y
(
x
0
,y
0
)
=
f
x
(
x
0
,y
0
) {
g
y
(
x
0
,y
0
)/
g
x
(
x
0
,y
0
)
}
(移項しただけ)
f
y
(
x
0
,y
0
)
/
g
y
(
x
0
,y
0
)=
f
x
(
x
0
,y
0
) /
g
x
(
x
0
,y
0
)
(両辺を
g
y
で割った)
ここで、
λ
=
f
y
(
x
0
,y
0
)/
g
y
(
x
0
,y
0
)
=
f
x
(
x
0
,y
0
)/
g
x
(
x
0
,y
0
)
とおくと、
二つに分けて書けて、
λ
=
f
y
(
x
0
,y
0
)/
g
y
(
x
0
,y
0
)
、λ
=
f
x
(
x
0
,y
0
)/
g
x
(
x
0
,y
0
)
これを整理すると、
f
x
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
x
(
x
0
,y
0
)
=
0
f
y
(
x
0
,y
0
)
−λ
g
y
(
x
0
,y
0
)
=
0
→[
トピック一覧:ラグランジュの未定乗数法
]
→
総目次
(
reference
)
Chiang,
Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition
, McGraw Hill,1984,pp.369-387.
全微分
から説明。
和達三樹『
理工系の数学入門コース1・微分積分
』岩波書店、1988年、p.135;239
全微分
から証明。
矢野健太郎・田代嘉宏『
社会科学者のための基礎数学 改訂版
』裳華房、pp.95-7.
竹之内脩『
経済・経営系数学概説
』新世社、1998年、pp.114-117。
高橋一『
経済学とファイナンスのための数学
』新世社、1999年、pp.163-166。陰関数定理・合成関数の微分則を使用。
吹田・新保『
理工系の微分積分学
』学術図書出版社、1987年、pp.178-180. 結果だけ簡潔に。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:
多変数の微分積分
』岩波書店、1996、pp. 205-211. 背後にある陰関数定理・逆関数定理から説き起こしている。しかし、極値の必要条件に過ぎない点を、明記していない点に注意。
西村和雄『
経済数学早わかり
』日本評論社、1982年、pp.153-166。.
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、pp.285-299.2変数関数の条件付最適化を例にとりながら、n変数関数の条件付最適化問題についてのラグランジュ乗数法を説明。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門:
微分と積分2
』 岩波書店、1995年、pp.115-117。
高木貞治『
解析概論 改訂第三版
』岩波書店、1983年、pp. 320-323.「陰伏関数の極値」
杉浦光夫『
解析入門
』岩波書店、1980年、pp.151-152. ただし、f:Rn→Rnの逆関数(逆写像)。
杉浦光夫『
解析入門II
』岩波書店、1980年、pp.30-33.
奥野正寛、鈴村興太郎『
ミクロ経済学
』岩波書店、1985年,pp.289-292.