矩形上の2重積分 double integral
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矩形上の重積分の性質、パラメーターを含む積分の性質、累次積分、
面積(定義、性質、面積ゼロ・negligible・零集合)
VI. 閉矩形における有界2変数関数積分可能条件（3）
可積分の必要十分条件：
[杉浦『解析入門I』IV章§9 定理9.5(pp.266-268.)]
有界関数f(x ,y)が、閉矩形K上リーマン積分可能であるための必要十分条件は、
f(x,y)の閉矩形K上の不連続点の集合が零集合となること。
(証明) 杉浦『解析入門I』IV章§9 定理9.5(pp.266-268.)を見よ。
定理：
閉矩形K上の有界関数f(x,y)の不連続点の集合がnegligibleならば、
f(x,y)は閉矩形K上リーマン積分可能。
[高木『解析概論』p.326;]
(証明) 定理「negligibleな集合ならば零集合」と可積分の必要十分条件による。
定理：閉矩形K上の有界関数f(x,y)の不連続点の集合が面積ゼロならば、
f(x,y)は閉矩形K上リーマン積分可能。
[笠原『微分積分学』7.2節[2]定理7.1 6(pp.258.);]
(証明) 定理「面積ゼロであることとnegligibleであることは同値」により、
定理「不連続点の集合がnegligibleならば可積」を言い換えたもの。
定理：面積確定集合の境界は、面積ゼロで零集合
[杉浦『解析入門I』IV章§9 定理9.6(pp.268-269.)]
(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第8章90-92節pp.325-332. .
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第7章1節(pp.189-196).
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、第7章(pp.317-330.)。連続関数に限定
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第10章1節(pp.346-352.)。連続関数に限定。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、第3章3.8節I(pp. 106-108):矩形上ではなく、いきなり一般の積分範囲上。
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.205-229:矩形上;pp.254-279:一般の積分範囲。（2重積分についてというよりもむしろ、主にn変数関数全般についてリーマン積分を論じている。）
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第9章9.28-: n変数関数。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、5章2節(pp.138-146.):。このテキストは、リーマン積分とルベーク積分の間という特殊な立場を進んで行っている気がする。ついていってよいのかどうか。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.138-9. アイデアだけ。厳密な議論なし。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、87-89. アイデアだけ。厳密な議論なし。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate
Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg
Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (pp.468-482.)。