グラフ
| 1変数関数y=f(x)=x3の性質 ：トピック一覧 |
|---|
|
・y=x3のグラフ/増減/値域/逆像/単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/有界性/最大最小/極大極小 ・3乗根と3√の定義 |
|
※1変数関数の具体例：y=x / y=x2/ y=1/x → 自然数指数の冪関数/整数指数のべき関数/有理数指数のべき関数/実数指数のべき関数 定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数 指数関数/対数関数 絶対値関数/三角関数 /ガンマ関数 ※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分 ※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般 ※総目次 |
|
y=f(x)= x3 |
||
|---|---|---|
グラフ |
・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)=x3のグラフは、下図のとおり。 | |
|
||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の性質] →総目次 |
| y=f(x)= x3の増減 | ||
|---|---|---|
| ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、狭義単調増加関数。 |
||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の性質] →総目次 |
| y=f(x)= x3の値域 | ||
|---|---|---|
| ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3の値域は、R＝(−∞,∞） 。 |
||
| y=f(x)= x3は非有界 | ||
|---|---|---|
| ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、上にも下にも有界でない。 | ||
| y=f(x)= x3の最大値・最小値 | ||
|---|---|---|
| ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のR＝(−∞,∞）における最大値は、 存在しない。 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のR＝(−∞,∞）における最小値も、 存在しない。 |
||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の性質] →総目次 |
|
| y=f(x)= x3による逆像。立方根 3√の定義 | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ※一般化：べき関数y=xnによ
る逆像 |
【解説】・左図からわかるように、「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」に関して、 任意の実数yに対して、 yのfによる逆像 f−1(y)は、「1個の実数」からなる。 つまり、「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」は単射。 したがって、「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」には、逆関数が存在する。 ・「実数yの『R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3』による逆像」を、
・「(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」の逆関数「(−∞,∞）で定義された1変数関数x = f-1(y)」を、
※一般化： n√ |
||||||||||||||||||
|
・「実数yの『R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3』による逆像」を、 「実数yの立方根」、「実数yの三乗根」などと呼び、
※これを一般化した概念→ n√ |
|||||||||||||||||||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の性質] →総目次 |
| y=f(x)= x3 と全単射 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、単射。 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、Rの上への全射。 ・だから、 R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、Rの上への全単射になっている。 |
|
||||||||||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の性質] →総目次 |
| y=f(x)=x3の逆関数 | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [説明] |
[逆関数の存在の有無]・「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」は単射になるので、「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」の逆対応は、 関数の定義を満たす。 すなわち、 「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」には、逆関数が存在する。 [逆関数の定義域]・「(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」の値域は(−∞,∞）だから、「(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」の逆関数は、 「(−∞,∞）で定義された1変数関数x= f-1(y)」となる。 [逆関数の表現]・「正の実数yの『(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3』による逆像」は、
したがって、 「(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」の逆関数 「(−∞,∞）で定義された1変数関数x= f-1(y)」 は、
|
|
|||||||||||||||||
[ (-∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3の逆関数のグラフ]・「(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」のグラフを、通常とは逆に、 「yの値を一つ決めて、それに対応するxの値(yの値の逆像)を読み取る」 という方向で読み取ると(→右図)、
・慣例に従って、
 |
|||||||||||||||||||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の性質] →総目次 |
| ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、 どんな実数aに対しても、 f(x)→a3 (x→a)
|
| |||||||||||||||||||||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の 性質] →総目次 |
| ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、 R＝(−∞,∞）上の連続関数。
|
|
|||||||||||||||||||||
|
→[トピック一覧:y=f(x)=x3の性質] →総目次 |