矩形上の2重積分　double integral

VII. 閉矩形における累次積分
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　　　　矩形中の2重積分の性質、パラメーターを含む積分の性質　

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　　　　　　矩形上の可積分条件(その3)　　

V-1. 面積の定義


【文献】

　・小平『解析入門II』323-326
　・高木『解析概論』8章93節(pp.334- 337.)
　・和達『微分積分』140-4
　・Lang, Undergraduate Analysis,471-482.)。
 
　　・杉浦『解析入門I』IV章§7(pp.248-254):わざわざ矩形上の重積分に限定して説明;
　　・吹田新保『理工系の微分積分学』196; 一般の積分区間で。

　
定義：累次積分・逐次積分 iterated integral [『微分積分』142.], repeated integral [『解析入門II』324.]
[小平『解析入門II』323-4;杉浦『解析入門I』IV章§7(p.248.):わざわざ矩形上の重積分に限定して説明;
　高木『解析概論』8章93節(p.334.);和達『微分積分』142;]
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
　　積分記号下の積分
　　、
　　を、累次積分・逐次積分などとよぶ。
　　また、これらを、以下の記号で表すこともある。
　　、

　※これらの定義を読む際、前提として留意しておくべきなのは、
　　　　、　
　　が、それぞれ、yの関数、xの関数であるという点。
　　さらに、xで積分可能なyの関数、yで積分可能なxの関数であるかどうか、が、
　　累次積分が可能となるかどうかの分かれ目となる。

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定理：重積分の累次積分への還元可能条件　

[高木『解析概論』8章93節定理79(p. 335.);杉浦『解析入門I』IV章§7定理7.1(pp.249-251.)]
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
〇1
　f (x ,y ) がK上可積分、
　xを固定してyの関数となったf (x ,y )が、
　xを[a,b]上のどんな値に固定しても 、[c,d]上y方向に可積分、
　　　　　　　　　　　　すなわち、が存在する
　ならば、
　xの[a,b]上の固定位置と、y方向の積分値とを対応付けた関数　　
　　
　　は、[a,b]上可積分となって、
　　　
〇2
　f (x ,y ) がK上可積分、
　yを固定してxの関数となったf (x ,y )が、　
　yを[c,d]上のどんな値に固定しても 、[a,b]上可積分
　　　　　　　　　　　　すなわち、が存在する
　ならば、
　　
　　　　　　　(yの固定位置によって積分値が変わってくる)
　　は、[c,d]上可積分となって、
　　　
〇3
　・f (x ,y ) がK上可積分、
　・xを固定してyの関数となったf (x ,y )が、
　　xを[a,b]上のどんな値に固定しても 、[c,d]上y方向に可積分、
　・yを固定してxの関数となったf (x ,y )が、　
　　yを[c,d]上のどんな値に固定しても 、[a,b]上可積分
　ならば、
　　　
(直感的な説明)　和達『微分積分』pp.140-2.を参照せよ。
(〇1証明)　　[高木『解析概論』8章93節定理79(p. 335.);杉浦『解析入門I』IV章§7(pp.249-251.)]　
Step1:　閉矩形K=[a,b]×[c,d]の分割⊿=⊿x×⊿yをとる。
　　　分割⊿xによって、[a,b]を、I1=[a, x1], I2=[x1, x2],…,Im=[xm‐1, b]　(a=x0<x1<x2<…<xm－1<xm =b)に分割し、
　　　分割⊿yによって、[c,d]を、J1=[a, y1], J2=[ y 1, y 2],…,Jn=[ y n‐1, b]　(c=y0<y1<y2<…<yn－1<yn =d)に分割する
　　　ことで、　
　　　分割⊿によって生じたmn個の小矩形を、
　　　　Kij =[ xi－1, xi ] × [ yj－1, yj ] (i=1,2,…,m、j=1,2,…,n) (a=x0、xm =b、c=y0、yn=d )で表すことにする。
　　　　
Step2:　f (x ,y )はK上の有界関数との仮定より、
　　　f (x ,y )はすべての小矩形Kij (すべてのi=1,2,…,m, すべての j=1,2,…,n )でも有界で、上限・下限をもつ。
　　　小矩形Kijにおけるf (x ,y )の上限をMij、下限をmijで表すことにする。　
Step3:　xを固定してyの関数となったf (x ,y )は、xを[a,b]上のどんな値に固定しても 、
　　　　[c,d]上y方向に可積分とするという仮定より、
　　　xを固定してyの関数となったf (x ,y )は、xを[a,b]上のどんな値に固定しても 、
　　　[ yj－1, yj ] (j=1,2,…,n) (ただし、c=y0、yn=d )でy方向に可積分。
Step4:　step2-3より、積分の第1平均値定理〇1を適用できるので、
　　　すべての小矩形Kij =[ xi－1, xi ] × [ yj－1, yj ] (すべてのi=1,2,…,m, すべてのj=1,2,…,n)において、
　　　　xを[ xi－1, xi ]上の任意の値ζiに固定すると、
　　　　　
　　　が成り立つ。
Step5:　区間加法性より、（y0 =c、yn=dに注意）
　　　　
　　　これと、step4の不等式から、　　
　　　　
　　　　　　　(iについて固定して、j 方向に(j=1,2,…,nの場合を)足しあげたかたちになる)
　　　　よって、
　　　　
　　　　　（確認：この不等式は、すべてのi =1,2,…,mについて成り立っている）
Step6-1:
　i=1のとき、step5の不等式は、
　　　　　
　この各辺に、(x1－a)をかけて、　　　
　　　　
　　　分配則によって、次のように書きかえられる。
　　　　　　
Step6-2:
　i=2のとき、step5の不等式は、
　　　　　
　この各辺に、(x2－ x1)をかけて、
　　　　　
・
・
・
Step6-m:
　i=mのとき、step5の不等式は、
　　　　　
　この各辺に、(b－ xm-1)をかけて、
　　　　　　
Step7:　(閉矩形K上のリーマン和とその下限・上限を示す)
　step6-1～6-mの不等式を、足しあげる。
　　　　もちろん、一番小さいものどおしを足し合せたものは一番小さく、
　　　　　　　　　一番大きいものどおしを足し合せたものは一番大きく、
　　　　　　　　　中間のものどおしを足し合せたものは中間になるから、
　　
　　　　　　　　　　　　(a=x0、xm =b、c=y0、yn=dとの記号の取り決めに注意。)
　よく見ると、
　この最左辺は閉矩形Kにおける分割⊿に関するf(x,y)の不足和、
　最右辺は閉矩形Kにおける分割⊿に関するf(x,y)の過剰和の定義にほかならない。
　両者にはさまれた真ん中の辺は、[a,b]上の分割⊿x・代表点{ζk}に関するF(x)のリーマン和となっている。
　だから、次のように書いても同じ。
　　s [⊿]≦R [F(x); ⊿x ; {ζk} ]≦S [⊿]　　
Step8:
　・　f (x ,y )は、K上有界と仮定されているので、ダルブーの定理が成立し、
　　　　　　|⊿|→0のとき、S[⊿]→上積分S、s[⊿]→下積分s　　
　・　f (x ,y ) がK上可積分と仮定されているので、
　　　
　　　　＝f (x ,y ) のK上の上積分S= f (x ,y ) のK上の下積分s　
　以上2点から、|⊿|→0のとき、
　　　
　　　　
　これと、step7の結果を付き合せると、
　|⊿|→0のとき、|⊿x|→0にもなって、
　　　　　
　これは、F(x)が、[a,b]上可積分であり、
　　
　であることの定義に他ならない。
　よって、
　　　　
(〇2証明)　〇1の証明と同様。　
　
(〇3証明)　〇１、〇２より。　
　
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定理：連続関数の重積分は、累次積分に還元可能　

[高木『解析概論』8章93節定理78(p. 334-5.); 小平『解析入門II』p.323;和達『微分積分』pp.140-2.]
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
　f (x ,y ) がK上連続ならば、
〇1　　
〇2　　
が成り立って、ゆえに、
〇3　　
(直感的な説明)　和達『微分積分』pp.140-2.を参照せよ。
(証明1)　　
Step1:　f (x ,y ) がK上連続ならば、定理より、f (x ,y ) はK上リーマン積分可能。
Step2:　f (x ,y ) がK上連続ならば、定理より、
　　　f ( x, y ) はK上でyを固定したとき[a,b]上xについて連続、xを固定したとき[c,d]上yについて連続　　
　　　よって、yを固定してxの関数となったf (x ,y )は[a,b]上可積分、
　　　xを固定してyの関数となったf (x ,y )は[c,d]上可積分。
　　　（∵閉区間上の連続関数はその閉区間上リーマン積分可能）
Step3:　step1-2の結果から、重積分の累次積分への還元可能条件が成立し、〇1-3が成り立つ。　
(証明2)　　[小平『解析入門II』pp.299-300;p.323;]　
　f (x ,y ) がK上連続ならば、
　　　　　　
　は[a,b]上連続 (→なぜ？)。
　ここから、積分の第1平均値定理〇２を適用して、

　重積分の累次積分への還元可能条件と同様に証明。


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、
I.わざわざ矩形上の重積分に限定して説明しているテキスト。
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、第7章§7.1.c) (pp.323-326;)。連続関数に限定。
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、IV章§7(pp.248-254)。
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第10章1節(pp.349-351.)。連続関数に限定。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、1章1.4節(pp.18-26.):フビニの定理→累次積分。このテキストは、リーマン積分とルベーク積分の間という特殊な立場を進んで行っている気がする。ついていってよいのかどうか。

II. 閉区間(矩形)に限定せず、一般の積分区間で。
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、8章93節(pp.334- 337.); .
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第7章2節(pp.196-199).
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.140-4.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、第3章3.8節II(pp. 109-110) 全然詳しくない。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、90-94.厳密な議論なしにアイデアを示し、すぐ、実際の計算の手順の手ほどきへ。
片山孝次『微分積分学』(現代数学レクチャーズB-8)、培風館、1980年、10.2.2定積分・反復積分(p.205.)ごく簡潔に。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. §3.Repeated Integrals (pp.485-487.)。