矩形上の2重積分　double integral

V-2. 面積の性質

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V-2. 面積の性質

 
  [杉浦『解析入門I』pp. 259-260-;吹田新保『理工系の微分積分学』194;]

〇１. 面積の加法性

　R2上の有界な点集合A、Bが面積確定ならば、
　A∩B、A∪B、A−Bも面積確定で、　
　次の関係が成り立つ。
　(A∪B の面積)=(Aの面積)＋(Bの面積)−(A∩Bの面積)
　(A−B の面積)＝(Aの面積)−(A∩Bの面積)

〇2. 面積の有限加法性

　R2上の有界な有限個の点集合A1,A2,…Anが面積確定ならば、
　
　も面積確定で、
　
　Ai∩Ajの面積=0(i≠j)という条件を加えれば、
　

〇3.面積の劣加法性

　R2上の有界な有限個の点集合A1,A2,…,Anが面積確定ならば、
　

〇4.

　R2上の有界な有限個の点集合A1,A2,…Anがすべて面積確定かつ面積ゼロならば、
　
　
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( reference )

・日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、
・高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第8章91-92節(pp.326-334.)
・吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第7章1節(II)-(III) (pp.191-196).
・杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、IV章§8(pp.254-261.)（2重積分についてというよりもむしろ、主にn変数関数全般についてリーマン積分を論じている。）
・黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第10章2節(pp. 352-359.)。連続関数に限定。
・小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、第7章 d)矩形塊上の積分(pp.327-330.)。有限個の矩形の合併集合に限定。連続関数に限定.。なお、pp.348-9.の注意において、内面積・外面積・面積確定などを述べたうえで、このテキストでは矩形と矩形の合併集合に積分範囲を限定して論じている旨、明らかにされている。
・高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、第3章3.8節I(pp. 106-108)。
・Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
　=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第6章。
・高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、5章2節(pp.138-146.):。このテキストは、リーマン積分とルベーク積分の間という特殊な立場を進んで行っている気がする。ついていってよいのかどうか。
・片山孝次『微分積分学』(現代数学レクチャーズB-8)、培風館、1980年、p.202.極めて簡潔な要約。　
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.138-9. アイデアだけ。厳密な議論なし。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、87-89. アイデアだけ。厳密な議論なし。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (pp.468-482.)。