閉集合の公理

【設定】

X :　集合(空間)。ここでの考察の範囲での 普遍集合。

𝔉: 　Xの 部分集合系。

【定義】

「『集合Xの部分集合系』 𝔉は、 『集合Xの閉集合系 system of closed sets』 である」 とは、
「集合Xの 部分集合系」 𝔉 が 下記3条件を満たすということ。

(条件1)
𝔉 は、 集合X自体と 空集合∅ を自らの 元として持っていること。
つまり、 　集合X自体と 空集合∅ が 𝔉 に属す 。
すなわち X ∈ 𝔉 　 かつ ∅ ∈ 𝔉

　　 　

(条件2)　
𝔉 に属す 任意の 二つの集合 の合併 も、 𝔉 に属す 。
すなわち、
∀ O1 , O2 ( O1 ∈ 𝔉 かつ O2 ∈ 𝔉 ⇒ O1 ∪ O2 ∈ 𝔉 )
ないし、
∀ O1 , O2 ∈ 𝔉 (O1 ∪ O2 ∈ 𝔉 )

　 　

(条件3)　
𝔉 に属す 「Xの 部分集合 」の 任意の 重複部分 も、 𝔉 に属す 。
すなわち、
∀ Oλ (λ∈Λ) (Oλ ∈ 𝔉(λ∈Λ) ⇒ ∩λ∈ΛOλ ∈ 𝔉 )
ないし、
∀ Oλ∈ 𝔉 (λ∈Λ) (     ∩λ∈ΛOλ ∈ 𝔉     )

　　　

【定義】

「集合Xの閉集合系 𝔉」 とは、 「『集合Xの部分集合系』 𝔒は 『集合Xの閉集合系』 である」 と言える 「集合Xの部分集合系」 𝔉のこと。

「集合Xの閉集合 closed set 」 とは、 「集合Xの閉集合系 𝔉」 に属す 集合のこと。

【文献】

　

性質：開集合系と閉集合系の関係

【設定】

X :　集合(空間)。ここでの考察の範囲での 普遍集合。

【本題1】

「集合X の開集合系 」 𝔒 に属す 集合 O1 , O2, O3 , … の 補集合 O1 c , O2 c , O3 c , … がなす「X の部分集合系 」は、 集合X の閉集合系 となる （だからこのとき、 O1 c , O2 c , O3 c , … は 閉集合 ）。　

【本題2】

集合X の閉集合系 𝔉 に属す 集合 F1 , F2, F3 , … の 補集合 F1 c , F2 c , F3 c , … がなす「X の部分集合系 」は、 「集合X の開集合系 」 となる （だからこのとき、 F1 c , F2 c , F3 c , … は開集合 ）。

【証明】

→ 松坂『 集合・位相入門 』第4章§2-C (p.156) 『 岩波数学事典』項目14B;

【文献】