閉集合の公理
【設定】
X : 集合(空間)。ここでの考察の範囲での 普遍集合。
𝔉: Xの 部分集合系。
【定義】
「『集合Xの部分集合系』
𝔉は、
『集合Xの閉集合系 system of closed sets』 である」
とは、
「集合Xの
部分集合系」
𝔉
が
下記3条件を満たすということ。
(条件1)
𝔉
は、
集合X自体と
空集合∅
を自らの
元として持っていること。
つまり、
集合X自体と
空集合∅
が
𝔉
に属す
。
すなわち
X
∈
𝔉
かつ
∅
∈
𝔉
(条件2)
𝔉
に属す
任意の
二つの集合
の合併
も、
𝔉
に属す
。
すなわち、
∀
O1 , O2
( O1
∈
𝔉
かつ
O2
∈
𝔉
⇒
O1
∪
O2
∈
𝔉
)
ないし、
∀
O1 , O2
∈
𝔉
(O1
∪
O2
∈
𝔉
)
(条件3)
𝔉
に属す
「Xの
部分集合
」の
任意の
重複部分
も、
𝔉
に属す
。
すなわち、
∀
Oλ
(λ∈Λ)
(Oλ
∈
𝔉(λ∈Λ)
⇒
∩Oλ
∈
𝔉
)
ないし、
∀
Oλ∈
𝔉
(λ∈Λ)
(
∩Oλ
∈
𝔉
)
【定義】
「集合Xの閉集合系 𝔉」 とは、 「『集合Xの部分集合系』 𝔒は 『集合Xの閉集合系』 である」 と言える 「集合Xの部分集合系」 𝔉のこと。
「集合Xの閉集合 closed set 」 とは、 「集合Xの閉集合系 𝔉」 に属す 集合のこと。