| 2変数関数の無限小解析 |
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・定義： 無限小/〜に対して小さな(無視できる)(高位の)無限小"o( ) "/ |
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| infinitesimal | ||
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点A(x０, y０)において無限小である」とは、 f ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) となることをいう。 |
・杉浦『解析入門』§4 (p.113) |
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類概念： n変数関数の無限小/ベクトル値関数の無限小 |
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(高次)の無限小、〜より小さな(速い)無限小、〜に対して無視できる無限小 ランダウの記号 o (・) Landau's little o |
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y=f ( x, y ), y=g ( x, y ) について、 「点A(x０, y０)において、fはgより高位(高次) higher orderの無限小である」 「点A(x０, y０)において、gはfより低位(低次) lower orderの無限小である」 「点A(x０, y０)において、fはgより小さな無限小である」 「点A(x０, y０)において、fはgに対して無視できる無限小である」 「点A(x０, y０)において、fが無限小になる速さは、gが無限小になる速さよりも速い」 「点A(x０, y０)において、gが無限小になる速さは、fが無限小になる速さよりも遅い」 とは、 f ( x, y )/ g ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) となることをいう。 つまり、 「点A(x０, y０)において、fはgより高位の無限小である」とは、 f ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) かつ g ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) かつ f ( x, y )/ g ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) が満たされることにほかならない。 |
・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437) ・笠原『微分積分学』3.1 (p.82). ・高木『解析概論』§15付記(p.41). ・杉浦『解析入門』§4定義1(p.114) ・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54). ・黒田『微分積分学』5.2.5(pp.175). ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3Differentiability(p.170)
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「点A(x０, y０)において、 f ( x, y )はg ( x, y )より高位の無限小である」 を表す。 つまり、 「f ( x, y )＝o (g ( x, y )) (x→x０ , y→y０)」とは、 f ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) かつ g ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) かつ f ( x, y )/ g ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) が満たされることである。 ・記号「o (g ( x, y )) (x→x０ , y→y０)」は、 点A(x０, y０)において 「g ( x, y )よりも高位の無限小」となる「x1,x2,…,xnの関数」全般を表す。 つまり、 「o (g ( x, y )) (x→x０ , y→y０)」は、 f ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) かつ g ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) かつ f ( x, y )/ g ( x, y )→０ ( x→x０ , y→y０ ) を満たす限りで任意の２変数関数f ( x, y )を指す。 この記法は、 f ( x, y )、f ( x, y )/ g ( x, y )の式や値を知る必要がなく、 ただ、「f ( x, y )は、x→x０ , y→y０としたときに、 g ( x, y )よりも先に無限小に近づくから、 無視してしまってよい」 と主張したいとき等に使われる。 ・記号o (・)はランダウの記号Landau's symbolと呼ばれる。 oは、英語のorder,ドイツ語のordnungの略。 |
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o(・)は"little-oh of ・"と読む。[Mathematical Methods and Models for Economists, p.170] |
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活用例： ベクトル値関数についての高位の無限小 |
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