「収束列」をつかった定義
・「 数列 { an } は発散するdiverge」
「 数列 { an } は発散であるdivergent」
とは、
{ an }が収束列ではないということ。
「収束数列」の意味を書き下した定義
・「 数列 { an } は発散するdiverge」
「 数列 { an } は発散であるdivergent」
とは、
数列 { an } は、どんな実数αに対してであれ、「 an→α (n→∞) 」を満たさない
(∀α∈R ) ￢ ( an →α (n→∞) )
ということ。
[→黒田『微分積分学』(p.43);細井『イプシロン・デルタ』6章(p.59)]
※これは、前記の定義と同じこと。
・「{ an }が収束列である」とは、定義より、
(∃α∈R)（ an→α (n→∞) ）
であったから、
「{ an }が収束列ではない」とは、
￢ (∃α∈R)（ an→α (n→∞) ）
| [文献]
・黒田『微分積分学』§2.5.2定義2.6(p.43); ・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』6章(pp.54-59)ε-N論法で厳密に。 ・杉浦『解析入門I』I-§2-定義5(p.1２); ・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§2(I)(p.7) ・笠原『微分積分学』1.2(p.10) ・小林『微分積分読本:1変数』 1章5数列と収束(p.17) ・Ross,Elementary Analysis:The Theory of Calculus,ChapterⅡ§7:7.1Definition(p.25) ・齋藤正彦『日本語から記号論理へ』3章§6(pp.157-160) |
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| ※発散する数列の分類： |
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| +∞に発散/－∞に発散/振動する |
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￢ (∃α∈R)（ an→α (n→∞) ） は、 (∀α∈R ) ￢ ( an →α (n→∞) ) に言い換えられる。
・以上から、
「 数列 { an } は発散するdiverge」の第1の定義「{ an }が収束列ではない」が、
「 数列 { an } は発散するdiverge」の第2の定義「(∀α∈R ) ￢ ( an →α (n→∞) ) 」と同値になることが確認できる。
「an →α (n→∞)」の意味を書き下した定義
・「 数列 { an } は発散するdiverge」「 数列 { an } は発散であるdivergent」
とは、
どんな実数αに対してであれ、あるε近傍Uε(α)をとると、
{ an } のどの項 aNを選んでも、
その項 aNに後続する項のなかに、Uε(α)に収まらない項が少なくとも一つはでてくる。
ということ
論理記号で表すと、
(∀α∈R ) (∃ε>0) (∀N∈N) (∃n∈N) ( n≧N かつ | an－α|≧ε )
ないし、
(∀α∈R ) (∃ε>0) (∀N∈N) (∃n∈N) ( n≧N かつ an
(α－ε, α＋ε) ) ないし、
(∀α∈R ) (∃ε>0) (∀N∈N) (∃n∈N) ( n≧N かつ an
Uε(α) ) ないし、
(∀α∈R ) (∃ Uε(α)) (∀N∈N) (∃n∈N) ( n≧N かつ an
Uε(α) ) ※これは、前記の定義と同じこと。
(∀α∈R ) ￢ ( an →α (n→∞) )
⇔ (∀α∈R ) ￢ ( (∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒| an－α|＜ε) ) ∵ 「an →α (n→∞)」の定義
⇔ (∀α∈R ) (∃ε>0) ￢ ( (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒| an－α|＜ε) ) ∵ 「全称命題を否定する命題」は「否定命題を主張する存在命題」に言い換えてよい
⇔ (∀α∈R ) (∃ε>0) (∀N∈N) ￢ ( (∀n∈N) ( n≧N⇒| an－α|＜ε) ) ∵ 「存在命題を否定する命題」は「否定命題を主張する全称命題」に言い換えてよい
⇔ (∀α∈R ) (∃ε>0) (∀N∈N) (∃n∈N) ￢ ( n≧N⇒| an－α|＜ε) ∵ 「全称命題を否定する命題」は「否定命題を主張する存在命題」に言い換えてよい
⇔ (∀α∈R ) (∃ε>0) (∀N∈N) (∃n∈N) ( n≧N かつ ￢ ( | an－α|＜ε) ) ∵ 「A⇒Bの否定」は「Aかつ『Bの否定』」に言い換えてよい
⇔ (∀α∈R ) (∃ε>0) (∀N∈N) (∃n∈N) ( n≧N かつ | an－α|≧ε )
[齋藤正彦『日本語から記号論理へ』3章§6(p.160)]