平面R2における点列とその収束･極限　―　定義　

　・定義：点列/部分列/点列の収束・極限点/ユークリッド平面上の点列の収束･極限/有界な点列
　・定理：点列の収束と座標ごとの収束の関係

　→ R2における点列の関連ページ：収束点列の極限とベクトル演算/コーシー列と収束　
　→ 列の収束・極限の定義の関連ページ：R上の数列/Rn上の点列/点列一般　

　→ 2変数関数の極限定義　
　→ 総目次　

定義 ： 平面 R2上の点列

【はじめに読むべき定義】

　・すべての自然数1,2,3,…の各々に対して、平面R2上の点 P1 , P2 , P3 ,… を定めたものを、
　　平面R2上の点列と呼ぶ。

【厳密な定義】

　・各項が平面R2上の点である列、
　　つまり、「X⊆R2とした、写像 ( 関数 )φ：N→X 」を点列と呼ぶ。

【記法】

　　　　　
　{Pi } i∈N　　　{ P1 , P2 , P3 , … }　　　{ Pi } i=1,2,3,…　
　かなり略して、{ Pi }

【意図】

　　数列を2次元へ拡張したものと理解すればよい。　

【ベクトルとの関連】

　　「平面R2上の点」とは、「実数を2個並べた組(x,y)」のこと。
　　したがって、「平面R2上の点 P1 , P2 , P3 , … 」とは、実際のところ、「実数を2個並べた組(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…」であり、
　　これは、「実2次元数ベクトル(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…」といっても同じ。
　　だから、「平面R2上の点列」は、「実2次元数ベクトルの列」に他ならない。

【他の点列】

　　　R上の数列、Rn上の点列、点列一般

【文献】

　・『岩波数学辞典』項目58D族列(p.158);
　・ 神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.1(p.136);
　・小平『解析入門I』p.60;
　・杉浦『解析入門I』I§4(p.38)

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定義：R2上の点列の部分列　sub-sequence

【はじめに読むべき定義】

　・平面R2上の点列 { P1 , P2 , P3 , …}　が与えられているとする。　　　
　　この点列の項 P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ,…(可算無限個)から、
　　その一部の項(可算無限個)を抜き出し、順序を保ったまま並べた点列
　　　　たとえば、
　　　　　　P1, P3, P5, P7,…　
　　　　　　P10, P11, P12, P13, P14, P15,…　　
　　　　　　P0, P10, P18, P20, P45, P100,…　　
　　　　など　
　　を、点列{P1,P2,P3,…}の部分列と呼ぶ。

【少しかたい定義】

　・点列{Pi}i∈Nの部分列とは、I⊂Nにたいする {Pi}n∈I のこと。

【記法】

　・点列{Pi}i∈Nの部分列は、
　　　　{Pi (k) }　
　　　　{Pik }　
　　などと表す。
　　kは、部分列のなかで何番目の項にあたるかを、
　　i (k) は、もとの点列で何番目の項だったのかを表している。

　　例えば、

もとの点列：  P0 , 
 P1 , 
 P2 , 
 P3 , 
 P4 , 
 P5 , 
 … 
部分列：  P1 ,
 P3 ,
 P5 ,
 P7 ,
 P9 ,
…

↑
 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

 Pi(1),   Pi(2), 
 Pi(3), 
 Pi(4), 
 Pi(5),
…

　　つまり、点列{Pi}i∈Nの部分列{Pi(k) }の添数i(k)は、数列{ ik } k∈N となっており、
　　この数列{ i k } k∈Nは、狭義単調増加i1 ＜i 2 ＜i 3 ＜…である。

【他の点列の部分列】

　　・数列の部分列/Rn上の点列の部分列/一般の集合上の点列の部分列


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定義：距離空間 ( R2,d ) 上の点列の収束と極限点
　　　　※「距離空間(R2,d)上の」の意味がわからない場合→ユークリッド平面上の点列の収束･極限を参照。
　　　　　　なにもことわらずに、「R2上の点列」といえば、それは「ユークリッド平面上の点列」のこと。
　　　　　　なお、距離空間(R2,d)は、ユークリッド平面の一般化。→距離空間のイントロダクション　　
直感的な説明

「点列{Pi}が、点Pに収束する」とは、iが大きくなるにつれて、点列をなす各点Piが点Pに「近づく」こと。

だけど、この「近づく」とは、どういうことなのか
　　　　　…　よく考えてみると、はっきりしない。

この点を明確化するために、点列の収束は、次のように、少々面倒くさいかたちで定義されることになる。
はじめによむべき定義

【文献】
　・『岩波数学辞典』項目92D(pp.254-255); 項目166E(pp436)
　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.2(p.10);
　・松坂『集合・位相入門』6章§1-C(pp.238-9) ;
　・小平『解析入門I』§1.6(p.60);
　・吹田新保『理工系の微分積分学』p.155

設定

 (R2,d)　：平面R2に距離dを与えてつくった距離空間　
P : 　　　R2上の点　
{ Pi }＝{P1 , P2 , P3 , …} :　R2上の点列 　

定義

 「距離空間 (R2, d ) 上の点列{Pi}が、点P∈R2に収束する」 とは、
　　　　　
　　数列{ d ( P1 , P ) , d ( P2 , P ) , d ( P3 , P ) ,… }が0に収束すること、　
　　すなわち、d ( Pi , P ) →0 ( i→∞ )　
　　　　　　　　
　　が成り立つこと
を言う。
また、点列{ Pi }が点Pに収束するとき、Pを極限limit、極限点などと呼ぶ。

※距離＝ユークリッド距離,距離空間=ユークリッド平面上としたときの具体例
　　→ユークリッド平面上の点列の収束･極限
厳密な定義

　【文献】

　　・松坂『集合・位相入門』6章§1-C(pp.238-9) ;
　　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.5.11(p.131);
　　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.2(p.137) ;
　　・杉浦『解析入門I』1章§4(pp.38-40)

設定

 (R2,d)　：平面R2に距離dを与えてつくった距離空間　
P : 　　　R2上の点　
{ Pi }＝{P1 , P2 , P3 , …} :　R2上の点列 　

定義

 「距離空間 (R2, d ) 上の点列{Pi}が、点P∈R2に収束する」 とは、

　　・ε1> 0に対して、
　　　　　「N1以上のすべての番号iについて、d ( Pi , P ) <ε1 」
　　　を成立させる番号N1が存在する　
　　・ε2> 0に対して、
　　　　　「N2以上のすべての番号iについて、d ( Pi , P ) <ε2 」
　　　を成立させる番号N2が存在する　
　　・ε3> 0に対して、
　　　　　「N3以上のすべての番号iについて、d ( Pi , P ) <ε3 」
　　　を成立させる番号N3が存在する　
　　：
　　：
　といった具合に、
任意のε> 0に対して、ある番号Nが存在して、
　「N以上のあらゆる番号iに対して、d ( Pi , P ) <ε」
　ないし「N以上のあらゆる番号iに対して、Pi が点Pのε近傍に属す」
を成立させる　
ということ。
点列{ Pi }が点Pに収束するとき、Pを極限limit、極限点などと呼ぶ。

※距離＝ユークリッド距離,距離空間=ユークリッド平面上としたときの具体例
　　→ユークリッド平面上の点列の収束･極限
論理記号による表現

・「距離空間 (R2, d ) 上の点列{Pi}が、点P∈R2に収束する」 とは、

　　 ∀ε＞０　∃N∈N　∀i∈N　( i≧N⇒ d ( Pi , P ) <ε)　
　　 ∀ε＞０　∃N∈N　∀i∈N　( i≧N⇒ Pi ∈Uε(P) )　
　　 ∀Uε(P)　∃N∈N　∀i∈N　( i≧N⇒ Pi ∈Uε(P) )　

・点列{ Pi }が点Pに収束するとき、Pを極限limit、極限点などと呼ぶ。		 　【文献】

　　・杉浦『解析入門I』1章§4(pp.38-40)
記法

　　Pi→ P　（i→∞）　
　　　
　と記す。　
※（はじめに読むべき定義）と（厳密な定義）は同じもの

【はじめに読むべき定義】「d ( Pi , P ) →0 ( i→∞ )」は、数列の収束の厳密な定義より、次のように言い換えても同じこと。
　　　　　　　　∀ε> 0　∃N∈N　∀i∈N　（ i≧N⇒ | d ( Pi , P )−0 |< ε) 　…(1)　
距離dの定義より、 d ( Pi , P ) ≧0だから、| d ( Pi , P )−0 |< ε⇔ d ( Pi , P )< ε　
したがって、(1)は、【厳密な定義】「∀ε＞０　∃N∈N　∀i∈N　( i≧N⇒ d ( Pi , P ) <ε)」 に言い換えても同じこと。
点列の収束の必要十分条件

数列との関連、コーシー列との関連　
他の収束･極限概念

数列の収束と極限値、Rn上の点列の収束・極限、一般の距離空間上の点列の収束･極限

2変数関数の極限定義


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定義：ユークリッド平面R2上の点列の収束と極限点

　※ここでは、特に、距離がユークリッド距離で定義されたユークリッド平面の上で、点列の収束について考える。

はじめに読むべき定義

【設定】

　(R2,d)：平面R2にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド平面　
　P ：ユークリッド平面 (R2,d)上の点(x,y)　
　{ Pi } i∈N ：ユークリッド平面 (R2,d)上の点列
　{ P1 , P2 , P3 , … }＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }

【定義】

【文献】

　・『岩波数学辞典』項目92D(pp.254-255); 項目166E(pp436)
　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.2(p.10);
　・松坂『集合・位相入門』6章§1-C(pp.238-9) ;
　・小平『解析入門I』§1.6(p.60);
　・吹田新保『理工系の微分積分学』p.155

　ユークリッド平面(R2, d )上の点列 { Pi } i∈N ＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }が、点P (x,y)に収束するとは、
　数列{ d ( P1 , P ) , d ( P2 , P ) , d ( P3 , P ) ,… }が0に収束すること、　
　　　　すなわち、　　　　　

　が成り立つことをいい、

　これを、

　または、Pi→P　（i→∞）

　で表す。

　また、点列{ Pi }が点Pに収束するとき、Pを極限limit、極限点などと呼ぶ。

厳密な定義：ε-N論法

【設定】

　(R2,d)：平面R2にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド平面　
　P ：ユークリッド平面 (R2,d)上の点(x,y)　
　{ Pi } i∈N ：ユークリッド平面 (R2,d)上の点列
　{ P1 , P2 , P3 , … }＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }

【定義】

【文献】

　・高木『解析概論』p.14.;
　・志賀『位相への30講』第2講(pp.10-15);
　・松坂『集合・位相入門』6章§1-C(pp.238-9) ;
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.5.11(p.131);
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.2(p.137) ;
　・杉浦『解析入門I』1章§4(pp.38-40)

　ユークリッド平面(R2,d)上の点列 { Pi } i∈N ＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }が、点P (x,y)に収束する 　
　　　Pi→P　（i→∞）
　　　
　とは、
　　・ε1 > 0に対して、
　　　　命題「N1以上のすべての番号iについて、」
　　　を成立させる番号N1が存在する　
　　・ε2 > 0に対して、
　　　　命題「N2以上のすべての番号iについて、 」
　　　を成立させる番号N2が存在する　
　　・ε3 > 0に対して、
　　　　命題「N3以上のすべての番号iについて、 」
　　　を成立させる番号N3が存在する　
　　：　
　　：　
　といった具合に、
　どんなε> 0に対してでも、ある番号Nが存在して、
　命題「N以上のあらゆる番号iについて、　」
　を成立させる　
　ということ。

※以上を、論理記号で表すと、

　　　Pi→P　（i→∞）　ないし　　　　　　　　⇔ ∀ε＞０　∃N∈N　∀i∈N　　
　となる。

厳密な定義：ε近傍をもちいて

【設定】

　(R2,d)：平面R2にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド平面　
　P ：ユークリッド平面 (R2,d)上の点(x,y)　
　{ Pi } i∈N ：ユークリッド平面 (R2,d)上の点列
　{ P1 , P2 , P3 , … }＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }

【定義】

　ユークリッド平面(R2,d)上の点列 { Pi } i∈N ＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }が、点P(x,y)に収束する　
　　　Pi→P　（i→∞）
　　　
　とは、
　　　・ε1 > 0に対して、
　　　　　「N1以上のすべての番号iについて、
　　　　　　　　　」
　　　　を成立させる番号N1が存在する　

　　　・ε2 > 0に対して、
　　　　「N2以上のすべての自然数iについて、
　　　　　　　　　」
　　　を成立させる番号N2が存在する　

　　・ε3 > 0に対して、
　　　　「N3以上のすべての番号iについて、
　　　　　　　　　」
　　　を成立させる番号N3が存在する　
　　：　
　　：　
　といった具合に、

　　どんなε> 0に対してでも、ある番号Nが存在して、
　　　　　　命題「N以上のあらゆる番号iについて、」
　　　を成立させるということ。

※以上を、論理記号で表すと、
　　「　Pi→P　（i→∞）　」　　ないし　「　　」　⇔　∀ε＞０　∃N∈N　∀i∈N　
　となる。

論理記号による表現

「　Pi→P　（i→∞）　」　　ないし　「　　」

　　⇔ ∀ε＞０　∃N∈N 　∀i∈N　　　　
　　　　　　　　ないし、　∀ε＞０　∃N∈N 　∀i∈N　　


ベクトル表現

【文献】

　杉浦『解析入門I』1章§4(pp.38-40)

【設定】

R2　：

実数を2個並べた組 (x,y) をすべてあつめた集合。すなわち、「実数全体の集合R」と「実数全体の集合R」の直積　　R×R={ (x,y) | x∈R かつ y∈R }

実2次元数ベクトル空間R2　：　　

R2にたいして、通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。

ノルム空間（ R2, ‖‖ ）　：

実2次元数ベクトル空間R2にたいして、「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖」を定義したもの。
ユークリッド空間(R2,d)　：

ノルム空間（ R2, ‖‖ ）にたいして、ユークリッドノルムから定めた距離d(x, y)=‖x−y‖を定義したもの。　　

P ：

ユークリッド平面 (R2,d)上の点(x,y)。「平面R2上の点(x,y)」は、実2次元数ベクトルであるから、この実2次元数ベクトル(x,y)をPで表すことにする。
{ Pi } i∈N 　　： ユークリッド平面 (R2,d)上の点列。すなわち実2次元数ベクトルの列。
{ P1 , P2 , P3 , … }　　： { (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }

【定義】

・ユークリッド空間(R2,d)上の点列　{ Pi } i∈N 　＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }が、点P (x,y)に収束するとは、
　数列{ d ( P1 , P ) =‖P1 −P‖, d ( P2 , P )=‖P2 −P‖ , d ( P3 , P )=‖P3 −P‖ ,… }が0に収束すること、　

　　すなわち、　　　　　が成り立つこと、をいう。
・数列の収束の定義にまで遡ると、
　ユークリッド空間(R2,d)上の点列　{ Pi } i∈N 　＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }が、点P (x,y)に収束するとは、
　　∀ε＞０ 　∃N∈N　∀i∈N　( i≧N⇒ d ( Pi , P )= ‖Pi −P‖<ε)　　
　　　

（図解1）


　　　　　
　　　ε=ε1をとった場合、P1からP4までは、Pのε1近傍に入らないが、
　　　　　P5以降のすべての点は、Pのε1近傍のなかにおさまる。
　　　　　つまり、ε1にたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすN=5が存在する。
　　　ε=ε2をとった場合でも、P1からP6までは、Pのε2近傍に入らないが、
　　　　　P7以降のすべての点は、Pのε2近傍のなかにおさまる。
　　　　　つまり、ε2にたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすN=7が存在する。
　　　ε=ε3をとった場合でも、P1からP8までは、Pのε3近傍に入らないが、
　　　　　P9以降のすべての点は、Pのε3近傍のなかにおさまる。
　　　　　つまり、ε3にたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすN=9が存在する。
　　　：
　　　：
　　この例では、
　　このように、どこまでεを小さくとっていっても、
　　　　　そのεにたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすNが存在するから、　
　　点列{Pi}i∈N＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }は点P (x , y )に収束するといえる。

（図解2）

　
　　　
　　　ε=ε1をとった場合、P1からP2までは、Pのε1近傍に入らないが、
　　　　　P3以降のすべての点は、Pのε1近傍のなかにおさまる。
　　　　　つまり、ε1にたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすN=3が存在する。
　　　ε=ε2をとった場合でも、P1からP5までは、Pのε2近傍に入らないが、
　　　　　P6以降のすべての点は、Pのε2近傍のなかにおさまる。
　　　　　つまり、ε2にたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすN=6が存在する。
　　　ε=ε3をとった場合でも、P1からP8までは、Pのε3近傍に入らないが、
　　　　　P9以降のすべての点は、Pのε3近傍のなかにおさまる。
　　　　　つまり、ε3にたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすN=9が存在する。
　　　：
　　　：
　　この例では、
　　このように、どこまでεを小さくとっていっても、
　　　　　そのεにたいして、(∀i∈N)　( i≧N⇒ Pi∈Uε(P) )　を満たすNが存在するから、　
　　点列{Pi}i∈N＝{ (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) ,… }は点P (x , y )に収束するといえる。
※ 以上は、距離空間(R2,d)一般の点列の収束・極限の定義における距離dに、ユークリッド距離を与えるだけで得られる。
※

ユークリッド距離と位相的に同値である距離をR2に与えてつくった距離空間でどうなるか
　　→志賀『位相への30講』第11講(pp.81-2)

(点列の収束の必要十分条件)

数列との関連、コーシー列との関連　


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定理：ユークリッド平面R2上の点列の収束と座標ごとの収束の関係

設定

(R2,d)　：　R2にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド平面　
P　　:　ユークリッド平面 (R2,d)上の点 ( x ,y )を表すとする。
{Pi}i∈N　:　ユークリッド平面 (R2,d)上の点列{ P1 , P2 , P3 , …}で、　
　　　　　　　各点Piはふたつの実数の順序対[つまり座標]( xi , yi )を表すとする。
　　　　　　　つまり、点列{ P1 , P2 , P3 , …}は、　　　　　
　　　　　　　{ (x1 , y1) , (x2 , y2) , (x3 , y3) ,… }とも書ける。
{xi}i∈N　:　点列{Pi}i∈Nの各点Pi( xi , yi )のxiだけを取り出して並べた数列{ x1 , x2, x3,… }　　
{yi}i∈N　:　点列{Pi}i∈Nの各点Pi( xi , yi )のyiだけを取り出して並べた数列{ y1 , y2, y3,… }　　　
定理 以下の二つの命題は同値である。
命題1:　点列{Pi}i∈N={ (x1 , y1), (x2 , y2) , (x3 , y3) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する。
　　　　　つまり、　
　　　　　　　　　

命題2:　数列{xi}i∈Nがxに収束し、かつ、数列{yi}i∈Nがyに収束する。
　　　　　　　
※なぜ？→証明　
　　
　　　
　
[文献]
高木『解析概論』p.14:R2上のユークリッド空間;
小平『解析入門I』§1.6-d(p.60) :R2上のユークリッド空間;
矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12) :Rnにおいて;
志賀『位相への30講』第13講(pp.91-2):Rnにおいて;
神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元ユークリッド空間において;
杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-1(p.38):n次元ユークリッド空間において;
吹田新保『理工系の微分積分学』p.155-6　
※ 活用例：点列のベクトル和の極限、点列と数列のスカラー積の極限
※ ユークリッド距離と位相的に同値である距離をR2に与えてつくった距離空間でどうなるか
　　→矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12)　


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定義：「有界」な点列

　・点列{Pn}の各点と原点Ｏ(0,0)との距離が、nによらない一定の実数を超えないとき、　　　
　　点列{Pn}は「有界」であるという。[　小平邦彦『解析入門I』 p. 65。　]
　・点列{Pn}の各点の各座標が有界なるとき、点列が有界であるという。
　　　　　　　[杉浦『解析入門I』p.38；高木貞二『解析概論』p.14.]　
※有界, 平面R2における「有界」な点集合


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定理：収束点列どおしのベクトル和・スカラー積の極限

定理
(1)

ユークリッド空間(R2,d)において、
点列{ P1 , P2 , P3 , … }＝{ (xP1,yP1), (xP2,yP2 ) , (xP3,yP3 ) ,…}が点P=(xP,yP)に収束し、
かつ、
点列{ Q1 , Q2 , Q3 ,…}＝{ (xQ1,yQ1), (xQ2,yQ2 ) , (xQ3,yQ3 ) ,…}が点Q=(xQ,yQ)に収束する
ならば、
点列{ P1＋Q1 , P2＋Q2 , P3＋Q3 , … }
　　　＝{ (xP1,yP1)＋(xQ1,yQ1), (xP2,yP2 )＋(xQ2,yQ2 ), (xP3,yP3 )＋(xQ3,yQ3 ) ,… }
　　　＝{ (xP1+xQ1 , yP1+yQ1 ), (xP2+xQ2 , yP2+yQ2 ), (xP3+xQ3 , yP3+yQ3 ),… }
は、点P＋Q＝ (xP,yP)＋(xQ,yQ)＝(xP+xQ , yP+yQ )に収束する。　
つまり、

　

→詳細　

定理
(2)

 ユークリッド空間(R2,d)において、
点列{ P1 , P2 , P3 , … }＝{ (xP1,yP1), (xP2,yP2 ) , (xP3,yP3 ) ,…}が点P=(xP , yP)に収束し、
かつ、
数列{ a1 , a2 , a3 , … }がaに収束する　
ならば、
　P1のスカラーa1倍、P2のスカラーa2倍、P3のスカラーa3倍、…
と並べた点列　
　　{ a1P1 , a2P2 , a3P3 , … }
　　　　　＝{ a1(xP1,yP1), a2(xP2,yP2 ), a3(xP3,yP3 ) ,…}　
　　　　　＝{ (a1xP1,a1yP1), (a2xP2,a2yP2), (a3xP3,a3yP3) ,…}　　
は、Pのスカラーa倍として表される点　
　　　　　　aP＝a(xP,yP)＝(axP , ayP )
に収束する。　
つまり、
　

　

→詳細


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→総目次

reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(第3版)』項目58関数D族・列(p.158);項目92距離空間(pp.253-256);項目166収束(pp436);項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).
（解析学についての教科書）
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、p.14.
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、§1.6平面上の点集合-d.点列の極限(pp.60-61)。
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、1章§4(pp.38-40):Rn上の点列について。収束定義の論理記号での表現がある。.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。6章§1(pp.155-157):平面上。
（数理経済学についての教科書）
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.67-68;120-123;4.3Rnにおける点列の収束(pp.135-141).
奥野正寛、鈴村興太郎『ミクロ経済学Ｉ』岩波書店、1985年、pp.261-265.
（位相についての教科書）
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第2講平面上の座標・点列の収束(pp.10-15)。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 1章距離空間1.1.2点列の収束(pp.10-11);2章位相空間2.1位相構造(p.65)
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。1章§2定義1.2.11:点列;定義1.2.12部分列(pp.13-4); 3章§4定義3.4.4Rn点列収束(pp.86-87);第4章位相空間(その1)§4点列の収束 (p.122-3)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。第6章§1-C点列の収束(pp.238-9)。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：　集合と位相II』 岩波書店、1977年, §1.7距離空間のCauchy列,完備距離空間(pp.154-8);§2.5有向点列の収束(p.198)。
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