1変数関数の無限小解析 |
・定義: 無限小/同位の無限小/〜に対して小さな(無視できる)(高位の)無限小"o( ) "/比較可能/〜で押さえられる無限小"O( ) "・定義:無限大/同位の無限大/〜に対して無視できる無限大"o( ) "/比較可能/〜で押さえられる無限大"O( ) " ・定理:低位の無限大となる例 |
※ 1変数関数の極限関連ページ:定義・定理※無限小解析関連ページ:ベクトル値関数の無限小解析 →総目次 |
infinitesimal | ||
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f (x)→0(x→a) となることをいう。 * f (x)→0(x→+a)や、f (x)→0(x →− a) 等も、 「f (x) はaにおいて無限小である」と言われる。 |
・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437) ・笠原『微分積分学』3.1定義3.1 (p.81). ・杉浦『解析入門』§4 (p.113). ・高木『解析概論』§15付記(p.41). ・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54). |
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類概念: ベクトル値関数の無限小 |
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定義:同位 (同次)の無限小 same order |
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「aにおいて、f (x), g (x)が同位(同次)same orderの無限小である」 とは、 x→aとしたときに、f (x) / g (x)が、0以外の定数 に近づく ことをいう。 つまり、 「aにおいて、f (x), g (x)が同位(同次)same orderの無限小である」 とは、 f (x)→0(x→a) かつ g (x)→0(x→a) かつ f (x) / g (x) →c (x→a) かつ c≠0 が満たされることにほかならない。 * f (x), g (x)の無限小が、f (x)→0(x→+a)の意味で言われる場合、 「aにおいて、f ,g が同位の無限小である」は、 f (x) / g (x)→c (x→+a) かつ c≠0 を指す。 * f (x), g (x)の無限小が、f (x)→0(x →− a)の意味で言われる場合、 「aにおいて、f ,g が同位の無限小である」は、 f (x) / g (x)→ c (x→−a) かつ c≠0 を指す。 |
・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437) ・笠原『微分積分学』3.1 (p.81). ・高木『解析概論』§15付記(p.41). ・杉浦『解析入門』§4定義2(p.115). ・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54). |
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(高次)の無限小、〜より小さな(速い)無限小、〜に対して無視できる無限小 ランダウの記号 o (・) Landau's little o |
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「aにおいて、f はg より高位(高次) higher orderの無限小である」 「aにおいて、g はfより低位(低次) lower orderの無限小である」 「aにおいて、f はg より小さな無限小である」 「aにおいて、f はg に対して無視できる無限小である」 「aにおいて、f が無限小になる速さは、g が無限小になる速さよりも速い」 「aにおいて、g が無限小になる速さは、f が無限小になる速さよりも遅い」 とは、 f (x) / g (x) →0(x→a) となることをいう。 つまり、 「aにおいて、f はg より高位の無限小である」とは、 f (x)→0(x→a) かつ g (x)→0(x→a) かつ f (x) / g (x) →0(x→a) が満たされることにほかならない。 * f (x), g (x)の無限小が、f (x)→0(x→+a)の意味で言われる場合、 「aにおいて、f はg より高位の無限小である」は、 f (x) / g (x)→0(x→+a) を指す。 * f (x), g (x)の無限小が、f (x)→0(x →− a)の意味で言われる場合、 「aにおいて、f はg より高位の無限小である」は、 f (x) / g (x)→0(x→−a) を指す。 |
・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437) ・笠原『微分積分学』3.1 (p.82). ・高木『解析概論』§15付記(p.41). ・杉浦『解析入門』§4定義1(p.114) ・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54). ・黒田『微分積分学』5.2.5(pp.175). ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3Differentiability(p.170)
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「aにおいて、f (x)はg (x)より高位の無限小である」ことを表す。 つまり、 「f (x)=o ( g (x) ) (x→a)」とは、 f (x)→0(x→a) かつ g (x)→0(x→a) かつ f (x) / g (x) →0(x→a) である。 ・記号「o ( g (x) ) (x→a)」は、 aにおいて「g (x)よりも高位の無限小」となる「xの関数」全般を表す。 つまり、 「o ( g (x) ) (x→a)」は、 f (x)→0(x→a) かつ g (x)→0(x→a) かつ f (x) / g (x) →0(x→a) を満たす限りで任意の1変数関数 f (x) を指す。 この記法は、 f (x)、f (x) / g (x)の式や値を知る必要がなく、 ただ、「f (x)は、x→aとしたときに、g (x)よりも先に無限小に近づくから、 無視してしまってよい」 と主張したいとき等に使われる。 ・記号o (・)はランダウの記号Landau's symbolと呼ばれる。 oは、英語のorder,ドイツ語のordnungの略。 |
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o(・)は"little-oh of ・"と読む。[Mathematical Methods and Models for Economists, p.170] |
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活用例: 1変数関数の微分可能性の同値条件、2変数関数の全微分可能性の定義、 n変数関数の全微分可能性の定義類概念:ベクトル値関数についての高位の無限小 |
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定義:比較可能 |
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・f (x), g (x)が同位の無限小である または、 ・f (x), g (x)の一方が他方より高位の無限小である とき、この無限小を比較可能という。 |
・笠原『微分積分学』3.1 (p.82). |
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定義: ~で押さえられる無限小 O ( ) |
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・笠原『微分積分学』3.1 (p.83). ・杉浦『解析入門』§4定義1(p.114) |
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定義:無限大 infinity |
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f (x)→∞(x→a) となることをいう。 ・「1変数関数 f (x) がaにおいて負の無限大である」とは、 f (x)→−∞(x→a) となることをいう。 |
・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437) ・笠原『微分積分学』3.2定義3.4 (p.85). ・杉浦『解析入門』§4 (p.113) ・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54). |
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定義:同位な無限大 same order |
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・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437) ・笠原『微分積分学』3.2 (p.85). ・杉浦『解析入門』§4定義2(p.115). ・黒田『微分積分学』5.2.5(pp.172-6). ・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54). |
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定義:低位の無限大、〜より大きな (速い)無限大、〜に対して無視できる無限大 higher order o ( ) |
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・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437) ・笠原『微分積分学』3.2 (p.85). ・杉浦『解析入門』§4定義1(p.114) ・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54). ・黒田『微分積分学』5.2.5(pp.172-6). |
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ケーススタディ:低位の無限大 higher order o ( ) |
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・黒田『微分積分学』5.2.5定理5.11;12(p.173). |
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定義:比較可能 |
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・笠原『微分積分学』3.2 (p.85). |
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定義: ~で抑えられる無限大 O ( ) |
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・笠原『微分積分学』3.1 (p.83). ・杉浦『解析入門』§4定義1(p.114) |
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