関数列の極限と積分：トピック一覧　　

　・関数列の一様収束についてのコーシーの判定条件/ワイエルストラスのM判定法　　

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　　　関数列･関数項級数とその極限の定義/一様収束判定条件/極限関数の連続性/単関数列近似　　
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定理：極限と積分の順序交換

定理

(条件1)　関数列{ f_n(x)}の各項f₁(x), f₂(x), f₃(x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続
かつ
(条件2)　関数列{ f_n(x)}が閉区間[a,b]上で極限関数f (x)に一様収束
が成り立つ
ならば、

ないし、
極限関数f (x)を、　　で表して、

[文献]
小平『解析入門I』
　5章3節a定理5.8(p.223);
小平『解析入門II』
　6章3節a (p.298)
吹田新保『理工系の微分積分学』
　第5章3節(p.142);
黒田『微分積分』定理7.1(p.228.);
ルディン『現代解析学』7.14(p.152)：スチルチェス積分のケース。

※

そもそも、f₁(x), f₂(x), f₃(x),…って、積分できるの？（上の式の左辺について）
　　条件1で、f₁(x), f₂(x), f₃(x),…は閉区間[a,b] 上で連続。閉区間上の連続関数は積分可能だから、
　　f₁(x), f₂(x), f₃(x),…は閉区間[a,b]で積分可能。　

※

※そもそも、極限関数f (x)って、積分できるの？（上の式の右辺について）
　　条件1で、定理より、条件2のもとでは、極限関数f (x)は閉区間[a,b] 上で連続。
　　閉区間上の連続関数は積分可能だから、極限関数f (x)は閉区間[a,b]で積分可能。　

証明

右に揚げた文献を参照のこと。

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定理：項別積分

定理

(条件1)　関数列{ f_n(x)}の各項f₁(x), f₂(x), f₃(x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続
かつ
(条件2)　関数列{ f_n(x)}からつくった関数項級数が
　　　　　　　閉区間[a,b]上一様収束
が成り立つ
ならば、

[文献]
小平『解析入門I』5章3節a(p.223);
吹田新保『理工系の微分積分学』
　第5章3節(p.142);
黒田『微分積分』定理7.3(p.231.);

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アルツェラの定理Arzela's theorem

定理

(条件1)　関数列{ f_n(x)}の各項f₁(x), f₂(x), f₃(x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続
かつ
(条件2)　関数列{ f_n(x)}が閉区間[a,b]上で
　　　　　　極限関数f (x)に(一様収束しなくても)各点収束する
が成り立つ
(条件3)　関数列{ f_n(x)}が一様に有界、
　　　　　　　すなわち、、
　　　　　　　　　　
　　　　　　　をすべてのnにたいして満たす、共通のMが存在　
ならば、

ないし、
極限関数f (x)を、　　で表して、

[文献]
小平『解析入門I』5章3節b定理5.10(pp.224-9):証明付;
黒田『微分積分』第7章1節(p.229.):証明略;

※

ルベーク積分論におけるルベーグの項別積分定理の特殊ケース。

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