距離空間 (Rn, d)： トピック一覧　　

　A. Rn/空間/点/距離・距離空間(Rn,d)/n次元ユーク リッド距離/n次元ユークリッド空間　
　B. Rnにおけるε近傍/除外ε近傍
　C. 点集合/内点/外点/境界点/内部･開核/外部/境界/閉包/集積点/孤立点/開集合/閉集合
　　　区間/開区間/閉区間・閉矩形/直径/有界な集合連結/弧状連 結/連結･弧状連結･折線の関係/凸集合/領域/閉領域
　※関連ページ：距離空間(Rn,d) 上の開集合の性質、距離空間(Rn,d) と位相空間　
　※関連ページ：距離空間のイントロダクション、距離空間(R1,d)、距離空 間(R2,d)、距離 空間一般、位相空間　
　※参考文献・総目次　

定義：Rn, n次元空間, 点　

Rn

 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn) を全部あつめた集合、すなわち、「実数全体の集合R」 のそれ自身へのn回の直積
　　　R×R×…×R={ (x1,x2,…,xn) | x1∈R かつ x2∈Rかつ…かつ xn∈R }
のことを、Rnで表す。
　※Rnは、実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもあ る。
　　したがって、Rnにベクトルの加法とスカラー乗法を定義して、実n次元数ベクトル空間と できる。

[文献]

　・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
　・杉浦『解析入門I』p.33;
　・松坂『集合･位相入門』4章§ 1A(pp.137-8);
　・笠原『微分積分学』1.3(p.16)。

n次元

空間

 集合Rnのことを、n次元空間と 呼ぶ。　　　Cf.　平面R2　
　※n次元空間Rnにベクトルの加法とスカラー乗法を定義したものが、実n次元数ベクトル空間。
　※Rnにベクトルの加法とスカラー乗法を定義せず、Rnを実n次元数ベクトル空間と して扱っていないときでも、
　　Rnをn次元「空間」と呼ぶことがある。

[文献]

　・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
　・杉浦『解析入門I』p.33.

点

 n次元空間Rnの要素、すなわち、(x1,x2,…,xn)∈Rnの ことを、n次元空間Rnの点と 呼ぶ。
　※n次元空間Rnの 点は、実n次元数ベクトルでもあ る。

[文献]

　・小平『解析入門I』p.72;
　・杉浦『解析入門I』p.33.

→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次
　

 定義：Rnにおける距離・距離空間

定義

 ・P,Q,R ∈Rnとして、
　以下の4要件を満たす（ならば、どんな）非負実数値関数d: Rn×Rn→R+（で あれ、それ）を、　


　Rn上 の距離関数metric,distance、d(P,Q)を点P,Q間の距離と 呼ぶ。　
　(i) 正値性:　任意のP,Q∈Rnに対して、d(P,Q)≧０
　(ii)　　　　任意のP,Q∈Rnに対して、d(P,Q)＝ ０⇔P=Q　　
　　　　　　　　つまり、P=Qのときd(P,Q)=０、
　　　　　　　　　また、d(P,Q)=０になるのは、P=Qのときだけ。
　(iii) 対称性:　任意のP,Q∈Rnに対して、d(P,Q)=d(Q,P)　 　　　　　
　(iv) 三角不等式 triangle inequality:
　　　　　　　任意のP,Q,R∈Rnに対して、d(P,R)≦d(P,Q)＋d(Q,R)
　　　　　　　つまり、
　　　　　　　Q経由でPからRまで測った値は直接PRを測った値以上。
　距離dが定義された集合Rnを「距離空間」 とよび、
　　　　　　　距離空間(Rn,d)
　と書く。　　
　このことを、
　「Rnに距 離distanceまたは計量metricがあたえられた」という。

[文献]

　・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
　・ 矢野『距離空間と位相構造』1.1.1例 1.3 (pp.3-5);
　・志賀『位相への30講』第11講 (pp.78-80;82);
　・松坂『集合・位相入門』4章§ 1A(p.138);6章§1A例1;
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』 第3章§4数空間Rn(pp.84-93);4.5.6(p.127);
　・西村『経済数学早わかり』1.4 距離空間(p. 280);
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』pp.120-1;135;
　・佐久間『集合･位相』3.3距離 空間と完備性(pp.56-8)
　・彌永『集合と位相』pp.135-6;141;

ベクトル
表現

 ・Rnを、ベクトルの加法･スカラー乗法が定義された実n次元数ベクトル空間として扱っている 場合は、　
　次の手順で、Rnに距 離dを定義して、距離空間(Rn,d)を 構成するのが普通。
　手順1：実n次元数ベクトル 空間Rnに内積〈 , 〉を定義して、計 量実ベクトル空間とする。　
　手順2：計 量実ベクトル空間Rnに内積により定まるノルム‖‖ を定義したノルム空間（ Rn, ‖‖ ）を構成。
　手順3：任意の実n次元数ベクトルx,yに 対し、
　　　　　　xと「yの逆ベクトル」の和の内積により定まるノルム　d(x,y)=‖x−y‖
　　　　　は、Rnにおけるx,y間 の距離の定義を満たす。
　　　　　そこで、このノ ルムから定めた距離dをRnに定義して、距 離空間（Rn,d）を構成する。

活用例

 ε近傍の定義/有 界な集合/直径/点 列の極限の定義/関 数の極限の定義/関 数の連続性の定義 　

Cf.

 距離空間のイントロダクション/距離空間一般/距離空間(R,d)/距離空間(R2,d)/位相空間

→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次
　

Rnにおける距離の例　

　n次元空間Rnの 元P(p1,p2,…,pn), Q(q1,q2,…,qn)にたいして、以下の距離 d(P,Q)の諸タイプをとると、
　dは距離の公準を満たし、(Rn,d)は距離空間となる。

(type1)

n次元 ユークリッド距離： d(P, Q) ＝
(p1−q1)2 ＋(p2−q2)2 ＋…＋(pn−qn)2 　 　
※距離dを、n次元ユークリッド距離とした距離空間 (Rn,d)をn次元ユークリッド空間という。
※n次元ユークリッド空間が距離の公準を満たすことの証明→志賀『位相への30講』第11講(pp.79-80); 斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』3.4.2 (pp.85-6);

　

 ※Rnにベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖が定義されており、
　Rnを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　任意の実n次元数ベクトルx,y∈Rnのユークリッド距離d(x,y)は、
　　　xと「yの逆ベクトル」の和のユークリッドノルム　‖x−y‖　
　と簡潔に表せる。　　　　　[→笠原『微分積分学』1.3(p.16)。]

(type2)

 　「マンハッタン距離」「変分ノルムから導かれる距離」
　　　　d1(P,Q)=|p1−q1|+|p2−q2|+…+|pn−qn|　		 　

(type3)

 　d(P,Q)=sup{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|}　　　　　　[→矢野『距離空間と位相構造』] 　

(type4)

 　d∞(P,Q)=max{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|}　　　[→松坂『集合・位相入門』;志賀『位相への30講』]

(type5)

dr(P, Q)＝ 
r
 (p1−q1)r ＋(p2−q2)r＋…＋(pn−qn)r  　[→志賀『位相への30講』p.81]
　　
 cf. R2における距離の例/
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次
　

 定義：n次元ユークリッド空間　n-dimensional Euclidean Space　

定義

 ・n次元ユークリッド空間とは、
　距 離をユークリッド距 離で定義した距離空間 (Rn,d)のこと。

　

[文献]

　・志賀『位相への30講』第11講(p.79);

[関連項目]
　・具体化：2次元ユークリッド空間　

ベクトル

表現

 ・Rnをベクトルの加法・スカラー乗法が定義された実n次元数ベクトル空間として扱っている場合、　
  n次元ユークリッド空間は、
　　実n次元数ベクトル空間Rnに、
　　次のように、内積、ノルム、距離を定めた距離空間 (Rn,d)として
　　定義される。
　手順1：実n次元数ベクトル空間Rnに自然な内積(標準内積)を定義して、計量実ベクトル空間とする。　
　手順2：計量実ベクトル空間Rnに、ユークリッドノルム‖‖を定義したノルム空間（ Rn, ‖‖ ） を設定。
　手順3：任意の実n次元数ベクトルx,yに対し、
　　　　　xと「yの逆ベクトル」の和のユークリッドノルム
　　　　　　　d(x,y)=‖x−y‖　　
　　　　　は、Rnにおけるx,y間の距離の定義を満たす。
　　　　　そこで、このユークリッドノルムから定めた距離dをRnに定義して、
　　　　　距離空間 (Rn,d)を設定する。
　　　　　このユークリッドノルムから定めた距離dをユー クリッド距離と呼び、
　　　　　この距離空間 (Rn,d)をn次元ユークリッド空間と呼ぶ。
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次		 　

定義：Rnにおける点Pのε近傍ε-neighborhood・開球　Uε(P)　

定義

 ・Rnにおける点Pのε近傍とは、
　点Pか らの距離がε以下となる「Rn上の点」をす べてあつめた集合。
　すなわち、Uε(P)＝{ Q∈Rn | d(P,Q)＜ε }　
　　　　　　　　※半径εは正ならばどんなに小さくてもよい。

[文献]

小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
笠原『微分積分学』1.3(p.17).
杉浦『解析入門I』p.50.
黒田『微分積分学』8.1.4(p.271);
矢野『距離空間と位相構造』1.3.1(pp.37-9;40);
志賀『位相への30講』第11講(pp.80-81);
松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.140);6章§1B(p.237);
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』3.4.3 (p.86);4.5.2(p.125) ;
佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.61);
西村『経済数学早わかり』2.2 (p.281);
神谷浦井『経済学のための数学入門』p. 136;143;

　

 ・ε近傍は、距離をどう定義するかによって、かたちが変容する。
[彌永『集合と位相』p.141; 志賀『位相への30講』p.15;矢野『距離空間と位相構造』例1.34(pp.38-9)]

類型1

 ユークリッド距離を距離とした場合(つ まりユークリッド空間において)、
点P=(p1,p2,…,pn)のε近傍Uε(P)は、
点P中 心、半径正数εの球体の内部の点全体からなる集合となる。
　つまり、点P=(p1,p2,…,pn)とすると、　

 Uε(P) ＝{ (q1,q2,…,qn) |
(q1−p1)2 ＋(q2−p2)2 ＋…＋(qn−pn)2 　  ＜ε }

※Rnに、ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖が定義されており、
　Rnを、実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として、扱える場合、
　ユークリッド空間におけるPのε近傍は、
　ユークリッドノルム‖‖を用いて、　　　　
　　　　　　　Uε(P)＝{ Q∈Rn | ‖Q−P‖＜ε }
　とも表せる。
　ただし、P,Qは、Rn上の点―すなわち実n次元数ベクトル―を表すとする。

類型2

 点P(p1,p2,…,pn), 点Q(q1,q2,…,qn)にたいして、
　　d1(P,Q)=|p1−q1|+|p2−q2|+…+|pn−qn|　
を距離と 定義した場合、
点P(p1,p2,…,pn)のε近傍Uε(P)は
　　Uε(P)＝{ (q1,q2,…,qn) | |q1−p1|+|q2−p2|+…+|qn−pn|<ε }　

類型3

 点P(p1,p2,…,pn), 点Q(q1,q2,…,qn)にたいして、
　　d∞(P,Q)＝max{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|}
を距離と定義した場合、
点P(p1,p2,…,pn)のε近傍Uε(P)は、
　　Uε(P)＝{ (q1,q2,…,qn) | max{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|} <ε }　

活用例

 内点・境界点・開集合の定義。集積点の定義。
点列の極限の定義。関数の極限の定義。関数の連続性の定義。

cf.

距離空間一般におけるε近傍定義、Rにおけるε近傍、R2における ε近傍　

→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rnにおける点Pの除外ε近傍 a deleted ε-neighborhood of P 　　　U*ε(P)　

定義

 　点Pのε近傍から、点Pを除外したもの。
　　　U*ε(P)＝{ Q∈Rn |０＜d(P,Q)＜ε }　　　
　　　　　　※半径εは正ならばどんなに小さくてもよい。　

[文献]

・杉浦『解析入門I』§4(p.113);

活用例

 関数の極限の定義　

cf.

距離空間一般における除外ε近傍定義/Rにおける除外ε近傍/R2における除外ε近傍

→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rnにおける点集合

定義

 「Rnにおける点集合」とは、Rn上の点の集合のこと。
つまり、「Rnにおける点集合」は、Rnの部分集合である。（点集合S⊂Rn）

関連

 数直線Rにおける点集合についての諸概念、平面R2における点集合についての諸概念
　　　距離空間一般における点集合についての諸概念
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rnにおける点集合の内点inner point

定義

 ・εの値を加減して、 様々な大きさの「点Pのε近傍Uε(P)」をつくる。
　そのなかに、
　点集合Eにすっぽり含まれるよ うなUε(P)が、「ひとつでも」つくれれば、
　点Pは点集合Eの内点であるという。　
　すなわち、
　点Pが点集合Eの 内点⇔「あ る」Uε(P)に対して、Uε(P)⊂E　
　　　　　　　　　　⇔「ある」ε>0に対して、Uε(P)⊂E　　 		　

[文献]

　・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
　・松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141);
　・杉浦『解析入門I』p.66;
　・黒田『微分積分学』8.1.4(p.271);

関連

 Rに おける内点/R2における内点/距離空間一般における内点　

活用例

内部の 定義/開集合の定義
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rnにおける点集合の外点exterior point　


定義

 εの値を加減して、様々な大きさの点Pのε近傍Uε(P)をつくる。
そのなかに、点集合Eと共有点を持たないUε(P)が「ひとつでも」つくれれば、
点Pは点集合Eの外点であるという。
すなわち、
点Pが点集合Eの外点⇔「ある」Uε(P)に対して、Uε(P)∩E＝φ
　　　　　　　　　　⇔「ある」ε>0に対して、Uε(P)∩E＝φ　　

　

[文献]
松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141);
黒田『微分積分学』8.1.4(p.271);

関連

 Rにおける外点、R2における外点、距離空間一般における外点

活用例

 外部の定義

→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rnにおける点集合の境界点boundary point　　

定義

 点集合Eの内点でも外点でもない点を「点集合Eの境界点」という。
点Pが「点集合Eの境界点」であるための必要十分条件は、
どんな風にεをとっても、点Pの「すべての」ε近傍Uε(P)が、
Eに属す点もEに属さない点も含むこと。　　　
すなわち、
点Pが点集合Eの境界点
　　⇔点Pの「任意」のUε(P)に対して、　　
　　　　　　　　　Uε(P)右の部分集合ではないE,Uε(P)∩E≠φ　
　　⇔点Pの「任意」のUε(P)に対して、　
　　　　　Uε(P)∩E≠φかつUε(P)∩Ec≠φ　　		 　

[文献]

小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141);
黒田『微分積分学』8.1.4(p.271);

関連

 Rにおける境界点、R2における境界点、距離空間一般における境界点

活用例

 境界の定義、閉包の定義、閉集合の定義、開集合の定義。

→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rnにおける点集合の内部interior開核open kernel

定義

 点集合Eの内点全体からなる集合をEの内部と呼ぶ。
　記号：Int E，Eint，E０　 		[文献]
松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141); ;杉浦『解析入門I』p.66;
黒田『微分積分学』8.1.4(p.272);

関連

 Rに おける内部、R2における内部、距離空間一般における内部
位相空間一般における開核
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定 義：Rnにおける点集合の外部exterior　

定義

点集合Eの外点全体からなる集合をEの外部と呼ぶ。
　記号：Ext E、Eext　

[文献]
松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141);
黒田『微分積分学』8.1.4(p.272);

関連

Rに おける外部、距離空間一般における外部
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定 義：Rnにおける点集合の境界boundary

定義

点集合Eの境界点全体からなる集合Eの境界と呼ぶ。
　記号：Bd E　 　　　　　

[文献]
松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141);
黒田『微分積分学』8.1.4(p.272);

関連

Rに おける境界、R2における境界、距離空間一般における境界　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定 義：Rnにおける点集合の閉包closure

定義

点集合Eと、点集合Eの境界の合併集合。

[文献]
小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.143);

関連

R/R2/距離空間一般/位相空間一般における閉包
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：集積点 accumulating point

定義

どんな風にεをとっ ても、点Pの 「すべての」ε近傍Uε(P)が、
点集合Eの点を無限個含むとき、
すなわち、Uε(P)∩Eが無限集合と なるとき、
点Pを 「点集合Eの集積点」という。　

[文献]
能代『極限論と集合論』7章2集積点(p.128):Rn上。
高橋『経済学とファイナンスのための数学』5.1(p.143)。
布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.6(p.121)

関連

 　

活用例

　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：孤立点isolated point

定義

点集合Eに属す点Pが点集合Eの集積点でないとき、
点Pを 「点集合Eの 孤立点」という。

　

[文献]
能代『極限論と集合論』7章2集積点(p.128):Rn上。

関連

 　

活用例

　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定 義：開集合open set　

はじめに

読むべき定義

点集合Eの境界点はどれも点集合Eに属さず、
点集合Ｅに属す点 が全て点 集合Eの内点で あるとき、　
点集合Eは開集合であるという。

　
[文献]
松坂『集合・位相入門』4章§1D(p.144);第6章B(p.237) ;
黒田『微分積分学』定義8.3(p.272);
矢野『距離空間と位相構造』1.3.2(p.40);
志賀『位相への30講』第13講(pp.95-6);
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』3.4.8(p.87);4.5.3(p.126) ;
西村『経済数学早わかり』2.2 (p.281)
佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.61);
神谷浦井『経済学のための数学入門』142-4;
杉浦『解析入門I』p.66;
能代『極限論と集合論』7章3開集合と閉集合(pp.130-139):Rn上。非常に詳しい。;
加古『自然科学の基礎としての微積分』6.1a(p.90);

厳密な

定義

(Rn,d)を距離空間、E をRnの部分集合と する。　　　　
Eは距離空間(Rn,d)の開集合　
　　　⇔∀P∈Eに対してPはEの内点　
　　　⇔ (∀P∈E) (∃Uε(P) ) ( Uε(P)⊂E )　　(∵内点の定義)　

例

開集合の例：
　・Rn上の開区間　　
　・空集合φ　※なぜ？→理由
　・Rn全体　　※なぜ？→理由　　
　　※空集合φ、Rn全体は、開集合、閉集合の両方に該当。
開集合ではない例：
　・Rn上の閉区間　

関連

Rに おける開集合、R2における開集合、距離空間一般における開集合

性質

距離空間(Rn,d)上 の開集合の性質、距 離空間(Rn,d)上の開集合と位相

　

 　 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定 義：閉集合closed set　

はじめに
読むべき定義

点集合Eの境界点はすべてEに属すと き、
点集合Eは閉集合であるという。

 [文献]
志賀『位相への30講』第13講(pp.95-6);
松坂『集合・位相入門』4章§1D(p.144);
杉浦『解析入門I』p.66;
黒田『微分積分学』定義8.4(p.273);
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』3.4.11(p.88);
佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.62)　
西村『経済数学早わかり』2.3(p.286);
神谷浦井『経済学のための数学入門』145;
能代『極限論と集合論』7章3開集合と閉集合(pp.130-139):Rn上。非常に詳しい。

厳密な
定義

任意の開集合の補集合を 閉集合という。

例

閉集合の例：　
・Rn上の閉区間　
・空集合φ[小平『解析入門I』p.59;松坂『集合・位相入門』p.146
・Rn全体　[小 平『解析入門I』p.59;松坂『集合・位相入門』p.146]　　　
　　※空集合φ、Rn全体は、開集合、閉集合の両方に該当。　　　
閉集合ではない例：
・Rn上の開区間　　　

関連

Rに おける閉集合、R2における閉集合、距離空間一般における閉集合、位相空間における閉集合

性質

 　 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rn上の区間

定義

R上 の区間 I1 , I2 ,…, Inの直積 I1×I2×…×In ={ ( x1,x2,…,xn ) | x1∈I1か つx2∈I2か つ…か つxn∈ In }を、
Rn上の区 間という。

関連

R上 の区間、R2における区間

下位概念

開区間・閉区間
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rn上の開区間　

定義

I1 , I2 ,…, InをR上 の開区間(a1,b1), (a2,b2),…, (an,bn)とする。
I1 , I2 ,…, Inの直積
　I1×I2×…×In={ ( x1,x2,…,xn ) | x1∈I1か つx2∈I2か つ…か つxn∈In }
　　　　　　　={ ( x1,x2,…,xn ) | a1< x1<b1か つ a2< x2< b2 か つ…か つ an<xn<bn　}
を、
Rn上の開 区間という。　

　
[文献]
松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.144)
黒田『微分積分学』例8.4(p.274);

関連

R上 の開区間、R2における 開区間　

性質

Rn上の開区間は、開集合である。　

上位概念

Rn上の区間　

 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：Rn上の閉区間　

定義

 I1 , I2 ,…, InをR上 の閉区間 [a1,b1], [a2,b2],…, [an,bn]とする。
I1 , I2 ,…, Inの直積　
　I1×I2×…×In={ ( x1,x2,…,xn ) | x1∈I1か つx2∈I2か つ…か つxn∈In }
　　　　　={ ( x1,x2,…,xn ) | a1≦x1≦b1か つ a2≦x2≦b2 か つ…か つ an≦xn≦bn　}
を、
Rn上の閉 区間という。

　
[文献]
松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.144);
黒田『微分積分学』例8.4(p.274);
LangUndergraduate Analysis468

関連

 R上 の閉区間、R2上の閉区 間　

性質

 Rn上の閉区間は、閉集合で ある。　

上位概念

 Rn上の区間　 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定 義：直径diameter　

定義

距離空間(Rn,d)の部分集合Eに対して、sup{d(P,Q)|P,Q∈E}をEの直径という。

 [文献]
『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間B(p.254)

関連

Rに おける区間の長さ、R2における直径、距離空間一般における直径
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定義：「有界bounded」な集合

定義

・距離空間(Rn,d)の部分集合Eの直径が上に有界であるとき、
　部分集合Eは有界boundedであるという。
あるいは、　　　　　
・〈点集 合Eに属す任意の点P〉 と〈原点O〉との距離d(P,O)が上に有界であるとき、
　点集合Eは有界boundedであるという。　　　　　
　点集合Eが 有界 ⇔　∀P∈S に対して、d (P,O)が上に有界　,　　　
　　　　　　　　　　　　[小平『解析入門I』p.61.]　
ところが、実のところは、　
「Rmの部分集合Bは、
　ある点bを中心とする十分大きなM>0を半径とする開球U(b,M)に
　含まれるとき有界であるという。
　ここでbを特定の点たとえば原点Oとしてもよい。[杉 浦『解析入門I』p.55]」　
ということで、上のどちらでもよい。　

 [文献]
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』3.4.8(p.87);
西村『経済数学早わかり』3.3 (p.301);
『岩波数学辞典（第三版）』92距離空間(pp.253-256)
加古『自然科学の基礎としての微積分』6.1a(p.90);

関連

Rに おける有界な集合、R2における 有界な集合、距離空間一般における有界な集合

活用例

有界なベクトル値関数の定義、
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

 Rnにおける連結connected　


定義

 ・「Rnにおける開集合Uが連結connectedである」とは、
　　Rnにおける開集合Uが
　　２つの「空でない開集合」 の直和として表せないことをいう。　
　つまり、
　「Rnにおける開集合Uが連結connectedである」とは、
　　Rnにおける開集合Uが
　　「共通点をもたない二つの空でな い開集合の合併集合」
　　とならないこと、
　　すなわち、U=V∪W、V∩W=φ　(V,W：空でな い開集合)　 とならないこと、
　をいう。
・「Rnにおける閉集合Uが連結connectedである」とは、
　　Rnにおける閉集合Uが
　　２つの「空でない閉集合」 の直和として表せないことをいう。　
　つまり、
　「Rnにおける閉集合Uが連結connectedである」とは、
　　Rnにおける閉集合Uが
　　「共通点をもたない二つの空でな い閉集合の合併集合」
　　とならないこと、
　　すなわち、U=V∪W、V∩W=φ　(V,W：空でな い閉集合)　 とならないこと、
　をいう。
 		[文献]
小平『解析入門I』§6.1(pp.255-6);
杉浦『解析入門I』定義2(pp..75-76);
吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.

性質

 開集合についてならば、弧状連結と同 値。

活用

 領域の定義　

下位

類型

 凸集合 　

関連

 R2における連結 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

Rnにおける弧状連結arcwise connected

はじめに

読むべき

定義

「点集合Sが弧状連結である」とは、
点集合Sに属す任意の2点P,Qに 対し、
　　PQを結ぶ様々な曲線の引き方のなかで、
　　曲線がまるごと点集合Sに含まれる引 き方が
　　少なくとも一通りは存在することをいう。

 [文献]
杉浦『解析入門I』定義2(p.76);
吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.
黒田『微分積分学』定義8.4(p.272)
笠原『微分積分学』5.1(p.153);

厳密な

定義

杉浦『解析入門I』定義2(p.76)を参照。

性質

開集合についてならば、連結と同値。

活用

領域の定義　

下位類型

凸集合

 　

関連

R2における 弧状連結

 　

　

 　 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

定理：連結、弧状連結、折線　

　

次の三つの命題は同値。
命題1:「開集合Sが連結である」
命題2:「開集合Sが弧状連 結である」
命題3:「開集合Sに属す任意の2点P,Qを、S内 にある折線で結ぶことが出来る」
※Sが 開集合でない場合、
　命題2⇒命題1は 成り立つが、命題1⇒命題2は 成り立たない。
　　　　　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.19-20(pp.165-6)]　

 [文献]
杉浦
『解析入門I』定理8.2(p.77);
小平『解析入門II』§6.1(pp.256-7)
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.17-21(pp.165-6)

証明

・　　杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77)参照。
・「命題1⇒命題3」 の証明：
　　　　　　　小平『解析入門II』§6.1(p.257);杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77)
・「命題2⇒命題1」の証明：杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77) 　
・「命題3⇒命題2」 の証明：杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77) 　
・「命題3⇒命題1」 の証明：小平『解析入門II』§6.1(p.256)
　　

関連

R2におけるケース

 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

Rnにおける凸集合convex set　


定義

「点集合Sが凸集合である」とは、
点集合Sに属す任意の2点P,Qに 対し，
線分PQを点集合Sが含むこ とをいう。

 [文献]
布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.9(p.125)
杉浦『解析入門I』pp..75-76;
高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.67;
奥野鈴村『ミクロ経済学』pp.265-266.

性質

凸集合は、弧状連 結な集合の一例。
したがって（∵）、
凸集合は、開集合ならば、連結な集合の一例。

関連

R2における凸集合

　

 　 　
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

 Rnにおける領域domain,region

定義

領域とは、連結な開集合のこと。

 [文献]
小平『解析入門II』pp.257;
杉浦『解析入門I』I§8定義1(p.76);
黒田『微分積分学』定義8.4(p.273)
吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.
笠原『微分積分学』5.1(p.153);

※

「内部の点だけを含 む領域を開領域という」
としている本(和達『微分積分』p. 113)もある。

関連

R２における領域
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

Rnにおける閉領域

定義

閉領域とは、領域の閉包のこと。
つまり「境界を全て入れた領域(和 達『微分積分』p. 113)」のこと。　

 
 記号：　
 D


[文献]
小平『解析入門II』p.257;
吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.
和達『微分積分』p. 113

性質

閉領域は閉集合。

関連

R2における閉領域
→[トピック一覧： 距離空間(Rn,d)]
→総目次

（reference）
[解析学の文献]
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、p.14-17.
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp. 13; 21;36; 46;53-65; 73.
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.33-48;55;66-7;70;.75-79;
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.3(pp.16-22)。
黒田『微分積分学』8.1n次元ユークリッド空間(pp.265-276)


[位相の文献]
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：　集合と位相　I・II』 岩波書店、1977年, pp.135-171。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年、第1章距離空間1.1節距離(pp.2-25)、1.3節位相(pp.37-52)。
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第6章距離空間§1距離空間とその位相.A距離関数と距離空間(pp.234-6);B距離空間における位相の導入(pp.236-8);F部分距離空間と直積距離空間(pp.243-4)。
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年、第3章§4数空間Rn(pp.84-93);第四章§5距離空間(その1)4.5.1-4.5.10(pp.125-130)。
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第11講:ε近傍と距離空間の例(pp.77-84); 第13講:開集合閉集合、第14講近傍閉包、
佐久間一浩『集合･位相―基礎から応用まで―』共立出版、2004年、第３章集合から位相空間へ3.3距離空間と完備性(pp.56-61)、3.4開集合と閉集合(pp.61-66) 。

[数理経済学の文献]
二階堂副包(ふくかね) 『現代経済学の数学的方法―位相数学による分析入門』岩波書店、1960年、§11Rnにおける収束(p.79)、§12二三の位相的概念(pp.79-89)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、第6章位相数学§1位相空間とは1.4距離空間例1.5;例1.6ユークリッド空間(p. 280)。§2ユークリッド空間(pp.281-95)
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp. 120-123; 131-148.
奥野正寛、鈴村興太郎『ミクロ経済学Ｉ』岩波書店、1985年、pp.261-265.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、p.5。

[そのほかの文献]
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256)、項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).
佐藤坦『はじめての確率論　測度から確率へ』共立出版、1994、pp172-186.

→[トピック一覧：距離空間(Rn,d)]
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