位相空間から位相空間への連続写像:トピック一覧 |
・ 連続性の定義:点での連続性/連続写像/ 同相写像・同相位相・同型・連続写像の性質:合成写像の連続性、点列の収束との関連 |
※ 位相空間の間の連続写像の具体例:1変数関数の連続性/2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性/実数値関数の連続性/ベクトル値関数の連続性/距離空間から距離空間への連続写像 →総目次 |
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定義:位相空間から位相空間への写像が点 Aで連続continuous, stetig |
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写像の |
X : 集合Y : 集合 「f:X→Y」:集合Xから集合Yへの写像 x : 集合X の元 f (x): 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。 |
cf .連続写像*具体例:1変数関数/2変数関数/ n変数関数/実数値関数/ベクトル値関数/距離空間から距離空間への写像 [文献] 『岩波数学辞典(第三版)』項目14G (p.25). 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.3.1 -3(p.114); 松坂『集合・位相入門』4章§4A(p.178); 神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.5.2(pp.148-152) 岡田『経済学・経営学のための数学』定義4.11(p.169) |
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位相の |
集合 X,Yに位相が与えられており、X,Yが位相空間として扱われるものとする。 つまり、 集合X,Yそれぞれに、 それぞれの開集合系・閉集合系・近傍系・閉包作用素・開核作用素 が与えられているものとする。 |
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定義 1 |
「 写像『f:X→Y』が、点x ∈Xで連続であるcontinuous」とは、「『X上の点x』をfがY上に写した像 f (x )」のどんな「Yにおける近傍UY (f (x ))」に対してでも、 ある「『X上の点x』の『Xにおける近傍UX (x )』」が存在して、 f ( UX(x ) ) ⊂ UY (f (x )) を満たす ことをいう。 この定義を、論理記号で表せば、 (∀UY (f (x )))(∃UX(x ))( f ( UX(x ) ) ⊂ UY (f (x )) ) となる。 |
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定義 2 |
「 写像『f:X→Y』が、点x ∈Xで連続であるcontinuous」とは、「『X上の点x』をfがY上に写した像 f (x )」の 任意の「Yにおける近傍UY (f (x ))」の fによる逆像 f-1(UY (f (x )))が、 「『X上の点x』の『Xにおける近傍UX (x )』」であること。 |
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※ |
定義 1と定義2は同値。証明→斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.3.3(p.114) |
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活用例 |
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[トピック一覧:位相空間上の連続写像] →総目次 |
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定義:連続写像 continuous mapping |
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写像の |
X : 集合Y : 集合 「f:X→Y」:集合Xから集合Yへの写像 x : 集合X の元 f (x): 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。 |
cf .点での連続性一様連続性 1変数関数の区間連続性 [ 文献]『岩波数学辞典(第三版)』項目14G (p.25). 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.3.6(p.115);4.3.9(p.116); 松坂『集合・位相入門』4章§4A定理18(pp.175-6); 志賀『位相への30講』25講(pp.173-5). |
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位相の |
集合 X,Yに位相が与えられており、X,Yが位相空間として扱われるものとする。 つまり、 集合X,Yそれぞれに、 それぞれの開集合系・閉集合系・近傍系・閉包作用素・開核作用素 が与えられているものとする。 集合Xに与えられた開集合系・閉集合系をOX , FX で表し、 集合Xに与えられた「x∈Xの近傍系」をUX (x )で表し、 集合Yに与えられた開集合系・閉集合系をOY , FY で表し、 集合Yに与えられた「y∈Yの近傍系」をUY (y )で表す ものとする。 |
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定義 |
「 写像『f:X→Y』が連続写像である」とは、互いに同値な以下の命題を指す。 |
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命題 1:近傍の観点から写像『f:X→Y』が、Xに属す全ての点で連続である。 すなわち、 「任意の『X上の点x』をfがY上に写した像f (x)」の任意の「Yにおける近傍UY (f(x))」の fによる逆像 f-1(UY(f (x)))が、「『X上の点x』の『Xにおける近傍UX (x )』」となる。 つまり、(∀x∈X)(∀UY ( f (x ) )∈UY ( f (x ) ) )( f-1 ( UY ( f (x ) )∈UX (x ) ) 命題2:開集合の観点から すべての「Yの開集合」OYにたいして、OYの fによる逆像 f-1( OY )が「Xの開集合」となる。 論理記号で表すと、(∀OY∈OY )( f-1 ( OY )∈OX ) 命題3:閉集合の観点から すべての「Yの閉集合」FYにたいして、FYの fによる逆像 f-1( FY )が「Xの閉集合」となる。 論理記号で表すと、(∀FY∈FY )( f-1 ( FY )∈FX ) 命題4:閉包の観点から Xの部分集合Aに対し、 Aの(X上定義された)閉包[A]をfがY上に写した像 f ( [A] )は、 AをfがY上に写した像の(Y上定義された)閉包 [ f (A ) ] に含まれる。 (∀A⊂X)( f ([A]) ⊂ [f (A )] ) |
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証明 |
命題 1-4が同値であることの証明→斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.3.6(p.115);4.3.9(p.116); 松坂『集合・位相入門』4章§4A定理18(pp.175-6); 志賀『位相への30講』25講(pp.173-5) |
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→ [トピック一覧:位相空間上の連続写像]→総目次 |
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compositionの連続性 | ||
要旨 |
二つの 連続写像の合成写像は連続写像。 |
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写像の |
X ,Y,Z : 集合「f:X→Y」:集合Xから集合Yへの写像 「g:Y→Z」:集合Yから集合Zへの写像 x : 集合X の元 f (x ): 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。 |
[ 文献]『岩波数学辞典(第三版)』項目14G (p.25). 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.3.4(p.114):証明付;4.3.8(p.115); |
位相の |
集合 X,Y,Zに位相が与えられており、X,Y,Zが位相空間として扱われるものとする。 つまり、 集合X,Y,Zそれぞれに、 それぞれの開集合系・閉集合系・近傍系・閉包作用素・開核作用素 が与えられているものとする。 |
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定理 1 |
写像「f:X→Y」がx ∈Xで連続、かつ、写像「g:Y→Z」がf (x )∈Yで連続ならば、 合成写像「g〇f:X→Z 」はx∈Xで連続。 |
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定理 2 |
写像「f:X→Y」が連続写像、かつ、写像「g:Y→Z」が連続写像ならば、 合成写像「g〇f:X→Z 」は連続写像。 |
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具体例 |
1変数関数の合成関数の連続性/ベクトル値関数の合成関数の連続性 距離空間のあいだの合成写像の連続性/位相空間のあいだの写像の合成写像の連続性 |
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定理:連続写像と点列 |
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要旨 |
位相空間から位相空間への写像では、 連続性を、収束点列の像の収束で言いかえることが できるとは限らない。 |
→ 1変数関数の連続性の、数列の収束への言い換え→ 2変数関数の連続性の、点列・数列の収束への言い換え → n変数関数の連続の、点列・数列の収束への言い換え→ 距離空間のあいだの写像の連続性の、点列の収束への言い換え [文献] 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.4.5(p.124);4.2.9(p.113); 神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.5.1 (p.1542) |
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写像の |
X ,Y,Z : 集合「f:X→Y」:集合Xから集合Yへの写像 「g:Y→Z」:集合Yから集合Zへの写像 x : 集合X の元 f (x ): 写像f による『集合X の元』xの像。 集合Y に属す。 |
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位相の |
集合 X,Y,Zに位相が与えられており、X,Y,Zが位相空間として扱われるものとする。 つまり、 集合X,Y,Zそれぞれに、 それぞれの開集合系・閉集合系・近傍系・閉包作用素・開核作用素 が与えられているものとする。 |
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定理 |
次の命題 P,命題Qは一般に同値とはいえない。命題P:写像「f:X→Y」がx ∈Xで連続 命題Q:どんな「X上の点列」{P1,P2,P3,…}についてであれ、 その点列{P1 , P2 , P3 ,…}が x∈Xに収束する限り、 その点列の各項P1, P2, P3,…を写像f によりY上に写した像の点列{f (P1 ), f (P2 ), f (P3 ),…}は、 x∈Xを写像f によりY上に写した像f (x )に収束する。 ※「命題P⇔命題Q」となるのは、 Xが局所可算型の(第1可算公理を満たす)位相空間[→斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.2.9(p.113)] であるとき。[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.4.5(p.124)] |
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活用例 |
→ [トピック一覧:位相空間上の連続写像]→総目次 |
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homeomorphism・位相写像topological mapping、同相・位相同型homeomorphic | |||
写像の |
X : 集合Y : 集合 「f:X→Y」:集合Xから集合Yへの写像 x : 集合X の元 f (x): 写像f による『集合X の元』xの像。集合Y に属す。 |
[ 文献]『岩波数学辞典(第三版)』項目14G (p.25). 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』4.3.10(p.116); 松坂『集合・位相入門』4章§4D(p.183); 志賀『位相への30講』25講位相空間(p.175) 岡田『経済学・経営学のための数学』定義4.12(p.170) |
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位相の |
集合 X,Yに位相が与えられており、X,Yが位相空間として扱われるものとする。 つまり、 集合X,Yそれぞれに、 それぞれの開集合系・閉集合系・近傍系・閉包作用素・開核作用素 が与えられているものとする。 |
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定義 1 |
「 写像fが位相空間Xから位相空間Yへの同相写像である」とは、 写像「f:X→Y」が全単射であり、 かつ 写像「f:X→Y」が連続であり、 かつ f の逆写像「f−1:Y→X」が連続である ことを指す。 |
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定義 2 |
「 位相空間Xと位相空間Yが同相・位相同型である」とは、 位相空間Xから位相空間Yへの同相写像が存在することを言う。 |
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関連事項: |
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→ [トピック一覧:位相空間上の連続写像]→総目次 |
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(
reference)『
岩波数学辞典(第三版)』項目14位相空間G連続写像 (p.25).神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.148-160.斉藤正彦『
数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。5章§4距離空間-一様連続写像5.4.1 (p.167);→
[トピック一覧:位相空間上の連続写像]