距離空間 (R2,d)： トピック一覧　　


 A. R2/平面/点/距離・距離空間(R2,d)/2次元ユークリッド距離/2次元ユークリッド空間　
B. 平面R2におけるε近傍/除外δ近傍　
C. 点集合/内点/外点/境界点/境界/開核/閉包/稠密/集積点/孤立 点/離散集合/開集合/閉集合/区間/開区間/閉区間・閉矩形/有界な集合/直径
　　連結/弧状連 結/連結･弧状連結･折線の関係/凸集合/領域/閉領域　
※関連ページ：距離空間(R2,d) 上の開集合の性質/距離空間(R2,d) と位相空間/(R2,d) 上のコンパクト集合/ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理　
※関連ページ：距離空間一般/距 離空間(R1,d)/距離空間(Rn,d)/位相空間　
※参考文献・総目次

定義：R2, n次元空間, 点　

・R2

実数を2個並べた組 (x,y) をすべてあつめた集合
　　すなわち、「実数全体の集合R」と「実数全体の集合R」の直積
　　　　　　　　　　R×R={ (x,y) | x∈R かつ y∈R }　　
のことを、R2で表す。
　　※R2は、実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　したがって、R2にベクトルの加法とスカラー乗法を定義して、
　　　実2次元数ベクトル空間とできる。

[文献]

　・彌永『集合と位相II』p.136.
　・小平『解析入門I』p.53,
　・笠原『微分積分学』1.3(p.16).
　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.261
・平面 集合R2、すなわち、R×R={ (x,y) | x∈R かつ y∈R }のことを、平面と呼ぶ。　　Cf.n次元空間Rn　
　　※平面R2にベクトルの加法とスカラー乗法を定義したものが、実2次元数ベクトル空間。
　　※R2にベクトルの加法とスカラー乗法を定義せず、
　　　R2を実2次元数ベクトル空間として扱っていないときでも、
　　　Rnを平面と呼ぶことがある。
・点 平面R2の要素、すなわち、実数を2個並べた組(x,y)のことを、平面R2の点と呼ぶ。
　　※平面R2の点は、実2次元数ベクトルでもある。

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：R2における距離と距離空間

定義

 ・P,Q,R ∈R2として、以下の4要件を満たす（ならば、どんな）非負実数値関数d: R2×R2→R+（であれ、それ）を、　
  R2上の距離関数metric,distance、d(P,Q)を点P,Q間の距離と呼ぶ。　
　 　　(要件1) 正値性:　　任意のP,Q∈R2に対して、d(P,Q)≧0　　
　　(要件2)　　　　　　任意のP,Q∈R2に対して、d(P,Q)=0⇔P=Q　　
　　　　　　　　　　　つまり、P=Qのときd(P,Q) = 0、
　　　　　　　　　　　また、d(P,Q)=0 になるのは、P=Qのときだけ。
　　(要件3) 対称性:　　任意のP,Q∈R2に対して、d(P,Q)=d(Q,P)　　
　　(要件4) 三角不等式 triangle inequality:　
　　　　　　　　　　　　任意のP,Q,R∈R2に対して、d(P,R)≦d(P,Q)＋d(Q,R)　
　　　　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　　　Q経由でPからRまで測った値は直接PRを測った値以上。
 ・距離dが定義された集合R2を「距離空間」とよび、
　　　距離空間(R2,d)
　と書く。　　
・このことを、「R2に距離distanceまたは計量metricがあたえられた」という。

[文献]

　・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);
　・ 矢野『距離空間と位相構造』1.1.1例1.3 (pp.3-5);
　・志賀『位相への30講』第2項(pp.9-10);第11講(pp.78-80;82);
　・松坂『集合・位相入門』4章§1A(p.138);6章§1A例1;
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第3章§4数空間Rn(pp.84-93);4.5.6(p.127);
　・西村『経済数学早わかり』1.4距離空間(p.280);
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』pp.120-1;135;
　・佐久間『集合･位相』3.3距離空間と完備性(pp.56-8)
　・彌永『集合と位相』pp.135-6;141;

[活用例]

　・ε近傍の定義/有界な集合/直径
　・点列の収束と極限の定義/2変数関数の極限の定義/連続性の定義　

[関連項目]

　・距離空間のイントロダクション
　・一般化：距離空間(Rn,d)/距離空間一般/位相空間
　・具体化：距離空間(R,d)　

ベクトル表現

 ・R2を、
　ベクトルの加法・スカラー乗法が定義された実2次元数ベクトル空間
　として扱っている場合は、　
　次の手順で、R2に距離dを定義して、距離空間(R2,d)を構成するのが普通。
　　[手順1]実2次元数ベクトル空間R2に内積〈 , 〉を定義して、
　　　　　　計量実ベクトル空間とする。　
　　[手順2]計量実ベクトル空間R2に内積により定まるノルム‖‖を定義した
　　　　　　ノルム空間（ R2, ‖‖ ）
　　　　　　を構成。
 　　[手順3]任意の実2次元数ベクトルx,yに対し、
　　　　　　xと「yの逆ベクトル」の和の内積により定まるノルム
　　　　　　　　　　　d(x,y)=‖x−y‖　　
　　　　　　は、R2におけるx,y間の距離の定義を満たす。
　　　　　　そこで、このノルムから定めた距離dをR2に定義して、
　　　　　　距離空間（R2,d）を構成する。

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

R2上の距離の例　

　平面R2の元P(x,y), Q(x',y')に たいして、以下の距離d(P,Q)をとると、
　dは距離の公準を満たし、(R2,d)は距離空間となる。		　

[文献]

　・志賀『位相への30講』第2項(pp.9-10):ユークリッド距離;第11講(pp.78-80);第11講いろいろな距離(p.81);
　・松坂『集合・位相入門』4章§1A(p.138);6章§1A例1(p.235);
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第3章§4数空間Rn(pp.84-93);4.5.6(p.127);
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』3.2.3例3.2.1-3ノルムの例(pp.120-1);式3.12-14距離の例(pp.122-3);4.3.1(p.135);

[関連項目]

　・一般化：Rn上の距離の例

(type1)

「ユークリッド距離」： d(P, Q) ＝
(x−x')2 ＋(y−y')2 　

　※ユークリッド距離の性質　
　※距離dを、ユークリッド距離とした距離空間 (R2,d)を2次元ユークリッド空間という。
　※n次元ユークリッド空間が距離の公準を満たすこ との証明
　　→志賀『位相への30講』第 11講(pp.79-80); 斉藤『数学の基 礎：集合･数･位相』3.4.2 (pp.85-6);

　※R2にベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖が定義されており、
　　R2を実2次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　　任意の実2次元数ベクトルx,y∈R2のユークリッド距離d(x,y)は、
　　xと「yの逆ベクトル」の和のユークリッドノルム　‖x−y‖　　
　　と簡潔に表せる。　　　[→笠原『微分積分学』1.3(p.16)。]

(type2)
　　「マンハッタン距離」「変分ノルムから導かれる距離」：d1(P,Q)=|x−x'|+|y−y'|　
　　　　　　　　　　　[→神谷浦井『経済学のための数学入門』式3.12-14(pp.122-3);4.3.1(p.135);]

(type3)
　　「supノルムから導かれる距離」　d∞(P,Q)= max {|x−x'|,|y−y'| }　
　　[|x−x'|,|y−y'|のうち、値の大きいほうを距離とする距離関数]
　　　　　[→ 松坂『集合・位相入門』6章§1A例1(p.235);]
　　　　　[→志賀『位相への30講』第11講いろいろな距離(p.81);]
　　　　　[→神谷浦井『経済学のための数学入門』式3.12-14(pp.122-3);4.3.1(p.135);]

(type4)

 dr(P, Q)＝ 
r
 (x−x')r ＋(y−y')r 　
　　　　　[→志賀『位相への30講』第11講いろいろな距離(p.81);]

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

定義：2次元ユークリッド空間　2-dimensional Euclidean Space　

定義

 ・2次元ユークリッド空間とは、
　距離をユークリッド距離で定義した距離空間 (R2,d)のこと。

[文献]

　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』p.261
　・志賀『位相への30講』第11講(p.79);


[関連項目]

　・一般化：n次元ユークリッド空間　

ベクトル

表現

 ・R2を
　ベクトルの加法・スカラー乗法が定義された実2次元数ベクトル空間
　として扱っている場合、　
　2次元ユークリッド空間とは、
　実2次元数ベクトル空間R2に、
　次のように、内積、ノルム、距離を定めた距離空間 (R2,d)として定義される。
　手順1：実2次元数ベクトル空間R2に自然な内積(標準内積)を定義して、
　　　　計量実ベクトル空間とする。　
　手順2：計量実ベクトル空間R2にユークリッドノルム‖‖を定義した
　　　　ノルム空間（R2, ‖‖ ）を設定。
　手順3：任意の実2次元数ベクトルx,yに対し、
　　　　　　xと「yの逆ベクトル」の和のユークリッドノルム
　　　　　　　　　d(x,y)=‖x−y‖　　
　　　　は、R2におけるx,y間の距離の定義を満たす。
　　　　そこで、このユークリッドノルムから定めた距離dをR2に定義して、
　　　　距離空間 (R2,d)を設定する。
　　　　このユークリッドノルムから定めた距離dをユークリッド距離と呼び、
　　　　この距離空間 (R2,d)を2次元ユークリッド空間と呼ぶ。

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次

R2における点Pのε近傍(ε-neighborhood)　Uε(P)　　

定義

 ・平面R2における「点Pのε近傍Uε(P)」とは、
　点Pからの距離がε以下となる「R2上の点」をすべてあつめた集合。
　すなわち、
　Uε(P)＝{ Q∈R2 | d(P,Q)＜ε }（半径εは正ならばどんなに小さくてもよい）

[活用例]

　内点・境界点・開集合の定義/点列の収束と極限の定義/2変数関数の極限の定義/連続性の定義　

[文献]

　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.1例1.34(pp.38-9);
　・小平『解析入門I』pp.54-65;
　・杉浦『解析入門I』p.50.
　・吹田新保『理工系の微分積分学』p.154;
　・彌永『集合と位相』p.141;
　・志賀『位相への30講』第2講(pp.12-6)
　・笠原『微分積分学』1.3(p.17).
　・布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.3(p.118)。

※

 上記定義より、
　「点Pのδ近傍Uδ(P)」といえば、
　　Uδ(P)＝{ Q∈R2 | d(P,Q)＜δ }　
　を指すことになる。　

※

 ε近傍は、距離をどう定義するかによって、かたちが変容する。

類型1

 ・ユークリッド距離を距離とした場合の(つまりユークリッド空間における)ε近傍 Uε(P)：
　　　P 中心、半径正数εの円の内部の点全体からなる集合。
　　　つまり、P(x,y)とすると、　

Uε(P) ＝{ (x',y') |
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ＜ε }

※R2に、ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖
　が定義されており、
　R2を実2次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　ユークリッド空間におけるPのε近傍は、ユークリッドノルム‖‖を用いて、
　　　　Uε(P)＝{ Q∈R2 | ‖Q−P‖＜ε }
　とも表せる。
　ただし、P,Qは、R2上の点―すなわち実2次元数ベクトル―を表すとする。
　　　R2上のε近傍〜ユークリッド距離

類型2

 平面R2の元P(x,y), Q(x',y')にたいして、　

 d(P,Q) ＝
(x−x')2 ＋(y−y')2

4

　　と定義した距離をとった場合のε近傍Uε(P)：　
　　　　　P中心の楕円の内部の点全体からなる集合。

類型3

 ・P(x,y), Q(x',y')にたいして、d1(P,Q)=|x−x'|+|y−y'|　を距離と定義した場合のε近傍Uε(P)：
　P中心の正方形の内部の点全体からなる集合。
　つまり、P(x,y)とすると、Uε(P)＝{ (x',y') | |x'−x|+|y'−y|<ε }　　
　　　R2上のε近傍〜マンハッタン距離

類型4

 ・P(x,y), Q(x',y')にたいして、
　d∞(P,Q)=max{|x−x'|+|y−y'| }　[x−x', y−y'のうち値の大きいほう]を距離と定義した場合のε近傍Uε(P)：　
　P中心の正方形の内部の点全体からなる集合。
　つまり、P(x,y)とすると、Uε(P)＝{ (x',y') | max{ |x−x'|+|y−y'| }<ε }　
　　　距離空間(R2,d)上のε近傍〜最大ノルム

※

ε近傍の利用例：内点・境界点・開集合の定義。点列の収束と極限の定義。

cf.

距離空間一般におけるε近傍定義、Rにおけるε近傍、Rnにおけるε近傍　　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次

 定義：R2における点Pの除外ε近傍 a deleted δ-neighborhood of P 　　　U*δ(P)　

定義

 「点Pの除外ε近傍U*ε(P)」とは、
　点Pのε近傍から、点Pを除外したもの。
　つまり、
　　　U*ε(P)＝{ Q∈R2 | ０＜d(P,Q)＜ε }　　
　　　　　　※半径εは正ならばどんなに小さくてもよい。

[活用例]

　・内点・境界点・開集合の定義/点列の収束と極限の定義/2変数関数の極限の定義/連続性の定義　

[文献]

　・Fischer, Intermediate Real Analysis,207:R1の場合
　・杉浦『解析入門I』§4(pp.113);

※

上記定義より、
「点Pの除外δ近傍U*δ(P)」といえば、
　U*δ(P)＝{ Q∈R2 | ０＜d(P,Q)＜δ }　
を指すことになる。　

※

ユークリッド距離を距離とした場合の(つまりユークリッド空間における)「点Pの除外δ近傍U*δ(P)」は、　


 U*δ(P) ＝{ (x',y') | 0＜ 
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ＜δ }

となる。
※R2に、ベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム‖‖が定義されており、
　R2を実2次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　ユークリッド空間における「点Pの除外δ近傍U*δ(P)」は、ユークリッドノルム‖‖を用いて、
　　　　U*δ(P)＝{ Q∈R2 | ０＜‖Q−P‖＜ε }
　とも表せる。
　ただし、P,Qは、R2上の点―すなわち実2次元数ベクトル―を表すとする。

活用例

 2変数関数の収束･極限の定義　 　

cf.

距離空間一般における除外ε近傍定義、Rにおける除外ε近傍、Rnにおける除外ε近傍　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

定義：点集合　

定義

 平面R2の点集合とは、
「平面R2に属す点」の集合、すなわち、「平面R2の部分集合」のこと。
したがって、
「Sが『平面R2の点集合』である」とは、「S⊂R2」のことである。
※
「平面R2に属す点」は、実2次元数ベクトルでもあるから、
「平面R2の点集合」は、「実2次元数ベクトルの集合」でもある。

[文献]

　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56);
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目58関数D族・列(p.158)

Cf.

 数直線Rにおける点集合についての諸概念、Rnにおける点集合についての諸概念、距離空間一般における点集合についての諸概念

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次

 定義：平面R2における点集合の内点 inner point　

【はじめに読む定義】

「点Pが『R2の部分集合Eの内点』である」とは、

　条件1：　点P自体が点集合Eに属していて、
　なおかつ　
　条件2：　点Pの周囲も、「点集合Eに属す点」で埋め尽くされている(に取り囲まれている)
　
ということ。

＊高木『解析概論』第1章12(p.29)では、
　　「aが点集合Sに属する一つの点Pに十分近い点がすべてSに属するとき、PをSの内点という」
　と定義。　

【厳密な定義】

　上記定義-条件2の「点Pの周囲」という表現は、曖昧。
　「点Pの周囲」を厳密に規定したのが、下記定義
　　→　距離を用いた内点定義  [距離をつかって「点Pの周囲」を厳密に規定した内点定義]　
　　→　近傍を用いた内点定義 　[近傍概念をつかって「点Pの周囲」を厳密に規定した内点定義]　


定義

 ・εの値を加減して、様々な大きさの「点P∈R2のε近傍Uε(P)」をつくる。
　そのなかに、点集合E⊂R2にすっぽり含まれるようなUε(P)が「ひとつでも」つくれれば、
　点Pは点集合Eの内点であるという。
　すなわち、
　点P∈R2が点集合E⊂R2の内点⇔「ある」Uε(P)が存在して、Uε(P)⊂E　

[文献]

　・小平『解析入門I』p.56.
　・吹田･新保『理工系の微分積分学』pp.154-155.
　・布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.3(p.118)。
　・笠原『微分積分学』1.3(p.19).

図解

R2上の点集合のない点の図例
R2上の内点でない点の図例
R2上の点集合の内点ではない点の図例

関連

 距離空間一般における内点、Rにおける内点、Rnにおける内点 　

活用例

 内部の定義、開集合の定義　 　
→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

定義：点集合の外点exterior point　

【はじめに読む定義】

　「点Pが『R2の部分集合Eの外点』である」とは、

　　【条件1】 点P自体がEに属しておらず、

　　なおかつ、

　　【条件2】 点Pの周囲も、「Eに属さない点」で埋め尽くされている
　　　　　　すなわち、点Pの周囲に、「Eに属す点」が見当たらない　　
　　　　　　ないしは、点Pの周囲の点は、どれもが、Eに属さない　　

　ということ。

【厳密な定義】
　
・上記【条件2】の「点Pの周囲」という表現は、曖昧。
　距離をつかって「点Pの周囲」を厳密に規定したのが、距離を用いた外点定義。
　近傍概念をつかって「点Pの周囲」を厳密に規定したのが、近傍を用いた外点定義。　

・内点の概念を用いて、外点の定義を簡潔に表現することもできる。[→内点を用いた表現]　


定義

 εの値を加減して、様々な大きさの点Pのε近傍Uε(P)をつくる。
そのなかに、点集合Eと共有点を持たないUε(P)が「ひとつでも」つくれれば、
点Pは点集合Eの外点であるという。
すなわち、
点Pが点集合Eの外点⇔「ある」Uε(P)に対して、Uε(P)∩E＝φ
　　　　　　　　　　⇔「ある」ε>0に対して、Uε(P)∩E＝φ　　		 　

[文献]

　・ 松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141);
　・笠原『微分積分学』1.3(p.19).

関連

 ・Rにおける外点/Rnにおける外点/距離空間一般における外点

活用例

 ・外部の定義
→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

定義：点集合の境界点boundary point　

定義

 点集合E⊂R2の内点でも外点でもない点を点集合Eの境界点という。
点P∈R2が点集合E⊂R2の境界点であるための必要十分条件は、
どんな風にεをとっても、点Pの「すべての」ε近傍Uε(P)が、
点集合Eに属す点も点集合Eに属さない点も含むこと。　　　
すなわち、
点P∈R2が点集合E⊂R2の境界点
⇔点Pの「任意」のUε(P)に対して、
　　　　　　　　　Uε(P)右の部分集合ではないE, Uε(P)∩E ≠φ　

⇔点Pの「任意」のUε(P)に対して、　
　　　　　　　　　Uε(P)∩E≠φかつUε(P)∩Ec≠φ　　

[文献]　

　・小平『解析入門I』p.56.
　・吹田･新保『理工系の微分積分学』pp.154-155.
　・布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.3(p.118)。
　・笠原『微分積分学』1.3(p.19).

図解

関連

 距離空間一般における境界点、Rにおける境界点、Rnにおける境界点 　

活用例

 境界の定義、閉包の定義、閉集合の定義　 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次

定義：点集合の開核open kernel・内部interior

定義

・点集合D⊂R2　があるとする。
　Dの内点全体の集合を、Dの開核open kernelという。　　　

[文献]

　・小平『解析入門II』p.257

性質

 ・Dが閉領域ならば、Dの開核Uは領域であって、DはUの閉包である。

関連

 Rにおける内部/Rnにおける内部/距離空間における内部

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

定義：点集合の境界boundary

定義

 ・点集合E⊂R2　があるとする。
  「点集合Eの境界」とは、点集合Eの境界点「全体」からなる集合のこと。

[文献]

　・小平『解析入門I』p. 56;
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.155.

記号

∂E

関連

 距離空間一般における境界/Rにおける境界/Rnにおける境界

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

定義：点集合の閉包closure　

定義

 ・点集合E⊂R2　があるとする。
  「点集合Eの閉包」とは、
 「点集合E」と「点集合Eの境界」との合併集合のこと。

[文献]

　・小平『解析入門I』p.56;

関連

 距離空間一般/R/R2/Rnにおける閉包

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：稠密dense

定義

 　

[文献]

　・小平『解析入門I』p. 58;
　・高木『解析概論』p.14

　

 　

関連

 　

　

 　 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：集積点accumulating point

定義

 どんな風にεをとっても、点a∈R2の「すべての」ε近傍Uε(a)が、
　(点)集合Eの点を無限個含むとき、
　点aを(点)集合Eの集積点という。

[文献]

　・小平『解析入門I』p. 58;
　・ 高木『解析概論』第1章7.集積点(p.14);
　・笠原『微分積分学』定義1.20(p.20).
　・能代『極限論と集合論』7章2集積点(p.128):Rn上。

関連

 距離空間一般/R/Rnにおける集積点

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：孤立点isolated point　

定義

 　

[文献]

　・小平『解析入門I』p. 58.
　・ 能代『極限論と集合論』7章2集積点(p.128):Rn上。

関連

 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：離散集合discrete set

定義

 　

[文献]

　・小平『解析入門I』p. 58.

関連

 　


→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

定義： R2における開集合 open set　

はじめに

読むべき

定義

点集合Eの境界点はどれもEに属さず、
点集合Ｅに属す全ての点が点集合Eの内点であるとき、　　　

点集合Eは開集合であるという。

[文献]

　・小平『解析入門I』p.58;
　・ 笠原『微分積分学』1.3(p.19).
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.16; 155;
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1D(pp.144-5);
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第3章§4項目3.4.8(p.87);第4章§5項目4.5.2(p.125);.
　・佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.61);
　・布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.3(p.118)。；
　・能代『極限論と集合論』7章3開集合と閉集合(pp.130-139):Rn上。非常に詳しい。

正確な

定義

 (R2,d)を距離空間、EをR2の部分集合とする。　
Eは距離空間(R2,d)の開集合
⇔任意のP∈EについてPはEの内点　
⇔任意のP∈Eに対し、集合Eに含まれるε近傍Uε(P)が少なくとも一つは作れる。
　　　(∵内点の定義)　
論理記号で書くと、 (∀P∈E) (∃Uε(P) ) ( Uε(P)⊂E )　　
　　　　　　　　　ないし、(∀P) (P∈E⇒(∃Uε(P) ) ( Uε(P)⊂E ))　　　

例

開集合の例：
　・R2上の開区間(a,b)×(c,d)
　　　={ (x,y) |x∈(a,b), y∈(c,d) }={ (x,y) | a<x<b, c<y<d }　
　・空集合φ　※なぜ？→理由
　・R2全体　　※なぜ？→理由　　
　　※空集合φ、R2全体は、開集合、閉集合の両方に該当。　　　　　
開集合ではない例：
　・R2上の閉区間[a,b]×[c,d]
　　　={ (x,y) |x∈[a,b], y∈[c,d] }={ (x,y) | a≦x≦b, c≦y≦d }

性質

 R2における開集合の性質、R2における開集合と位相空間　

関連

 距離区間一般における開集合、Rにおける開集合、Rnにおける開集合
位相空間一般における開集合

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次

定義： R2における閉集合 closed set　

はじめに

読むべき

定義

 点集合Eの「すべて」の境界点がEに属すとき、Eは閉集合であるという。

[文献]

　・ 小平『解析入門I』p.58;
　・笠原『微分積分学』1.3(p.19).
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.16; 155;
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.144);
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第3章§4項目3.4.8(p.88);第4章§5項目4.5.2(p.125);.
　・矢野『距離空間と位相構造』例4.3(p.129);
　・佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.62);
　・布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.3(p.118)　
　・能代『極限論と集合論』7章3開集合と閉集合(pp.130-139):Rn上。非常に詳しい。
　・ 新井『ルベーグ積分講義』2.2(pp.23-7);

正確な

定義

 任意の開集合の補集合を閉集合という。

例

閉集合の例：　
　・R2上の閉区間[a,b]×[c,d]
　　　={ (x,y) |x∈[a,b], y∈[c,d] }={ (x,y) | a≦x≦b, c≦y≦d }
 　・R2上の楕円（有界な閉集合）、放物線、双曲線
　　　　　　[矢野『距離空間と位相構造』例4.3(p.129);]　
　・R2上の連続曲線　{ (x1(t), x2(t) ) | t∈[０,１] }　
　　　　　　　　　　　ただし、x1(t), x2(t) は[０,１]上の連続な実数値関数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　[『ルベーグ積分講義』例2.6(p.26)]
　・R2上の有限個の点からなる集合　　[『ルベーグ積分講義』例2.4(p.25)]
　・空集合φ　
　　　[小平『解析入門I』p.59;松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.146)]
　・R2全体　
　　　[小平『解析入門I』p.59;松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.146)]
　　※空集合φ、R2全体は、開集合、閉集合の両方に該当。
閉集合ではない例：
　・R2上の開区間(a,b)×(c,d)
　　　　　　　　　={ (x,y) |x∈(a,b), y∈(c,d) }={ (x,y) | a<x<b, c<y<d }
　・R2上の右半開区間[０,１)×[０,１)[新井『ルベーグ積分講義』例2.6(p.26)]
　・R2上の点 (１,０),(1/2,０),(1/3,０),(1/4,０),(1/5,０),…からなる集合
　　　　すなわち、{ (1/n ,０ ) | n=1,2,3,… }　　
　　　　*R2上の点の無限集合は、
　　　　　このように閉集合にならない場合もあれば、
　　　　　閉集合になる場合もある。[『ルベーグ積分講義』例2.5(p.25)]　

活用

連続関数の最大値最小値定理,連続関数の一様連続性　

関連

距離空間一般における閉集合、Rにおける閉集合、Rnにおける閉集合
位相空間一般における閉集合

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次
　

 定義：R2上の区間

定義

 ふたつのR上の区間I,Jの直積I×J={ (x,y ) |x∈I, y∈J }を、
R2=R×R上の区間という。

[文献]

　・小平『解析入門II』p.317

下位概念

 開区間・閉区間。

類概念

 R上の区間、Rnにおける区間

定義： R2上の開区間

定義

 IをR上の開区間(a,b)とする、JもR上の開区間(c,d)とする。
IとJの直積I×J={ (x,y ) |x∈I, y∈J }={ (x,y) | a<x<b, c<y<d }を、
R2=R×R上の開区間という。　
これは、周を含まない長方形に他ならない。

[文献]

・松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.144)

性質

 R2上の開区間は、開集合である。

上位概念

 R2上の区間

類概念

 R上の開区間、Rnにおける開区間 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次

 定義：R2上の閉区間・(閉)矩形　　a (closed) rectangle




定義

 ・IをR上の閉区間[a,b]とする、JもR上の閉区間[c,d]とする。
　IとJの直積I×J={ (x,y) |x∈I, y∈J }={ (x,y) | a≦x≦b, c≦y≦d }を、
　R2=R×R上の閉区間・(閉)矩形a (closed) rectangleという。　
　これは、周を含めた長方形にほかならない。

[文献]

　・小平『解析入門II』p.317
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.144);
　・Lang,Undergraduate Analysis468

性質

 ・R2上の閉区間は、閉集合である。

上位概念

 ・R2上の区間

類概念

 ・R上の閉区間/Rn上の閉区間　　 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

 定義：「有界bounded」な集合

定義

 ・点集合S⊂R2について考える。
　＜点集合Sに属する任意の点＞をP　、　原点をO=(0,0)とおく。
　＜点集合Sに属する任意の点＞と＜原点＞との距離d(P,O)が
　　上に有界であるとき、
　点集合Sは有界boundedであるという。　　　　　
　点集合Sが有界⇔　∀P∈Sに対して、距離d(P,O)　が上に有界　　

[文献]

　・小平『解析入門I』p.61.
　・布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.3(p.118)

関連

 ・Rにおける有界な集合/Rnにおける有界な集合/距離空間一般における有界な集合

活用

 ・連続関数の最大値最小値定理/連続関数の一様連続性　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：直径 diameter　

定義

 ・有界な点集合S⊂R2について考える。
　Sが有界ならば、
　Sに属する2点PQ間の距離d(P,Q)も上に有界となり、上限が定まる。
　この上限　
 
 sup
  d(P,Q)

P,Q∈S
　を、Sの直径と呼ぶ。

[文献]

　・小平『解析入門I』p.61.

性質

 ・閉領域は閉集合。

関連

 ・Rにおける区間の長さ/Rnにおける直径/距離空間一般における直径

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：R2に おける連結　connected

定義

 ・「R2における開集合Uが連 結connectedである」とは、
　　R2における開集合Uが
　　2つの「空でない開集合」の直和として表せないことをいう。 　
　つまり、
　「R2における開集合Uが連 結connectedである」とは、
　　R2における開集合Uが
　　「共通点をもたない二つの空でない開集合の合併集合」
　　とならないこと、
　　すなわち、
　　U=V∪W、V∩W=φ　(V,W：空でない開集合)　とならないこと、
　をいう。
・「R2における閉集合Uが連 結connectedである」とは、
　　R2における閉集合Uが
　　2つの「空でない閉集合」の直和として表せないことをいう。 　
　つまり、
　「R2における閉集合Uが連 結connectedである」とは、
　　R2における閉集合Uが
　　「共通点をもたない二つの空でない閉集合の合併集合」
　　とならないこと、
　　すなわち、
　　U=V∪W、V∩W=φ　(V,W：空でない閉集合)　とならないこと、
　をいう。

[文献]

　・小平『解析入門I』§6.1(pp.255-6);
　・杉浦『解析入門I』定義2(pp.75-76);
　・吹田･新保『理工系の微分積分学』p.161.

R2上の連結でない集合の図例

性質

 開集合についてならば、弧状連結と同値。

活用

 領域の定義、2変 数関数の中間値定理　

下位類型

 凸集合 　

関連

 Rnにおける連結 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次

 定義：R2における弧状連結　arcwise connected　

はじめに

読むべき

定義

 ・「点集合Sが弧状連結である」とは、
　　点集合Sに属す任意の2点P,Qに対し、
　　P,Qを結ぶ様々な曲線の引き方のなかで、
　　曲線がまるごと点集合Sに含まれる引き方が
　　少なくとも一通りは存在することをいう。

[文献]

　・杉浦『解析入門I』定義2(p.76);
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.
　・笠原『微分積分学』5.1(p.153);

厳密な

定義

 ・厳密な定義は、杉浦『解析入門I』定義2(p.76)を参照。

性質

 ・開集合についてならば、連結と同値。

活用

 　領域の定義、2変数関数の中間値定理　

下位類型

 　凸集合 　

関連

 　Rnにおける弧状連結 　
　 　 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定理：連結、弧状連結、折線　

定理

 次の三つの命題は同値。
　命題1:「開集合Sが連結である」
　命題2:「開集合Sが弧状連結である」
　命題3:「開集合Sに属す任意の2点P,Qを、S内にある折線で結ぶことが出来る」
※Sが開集合でない場合、
　命題2⇒命題1は成り立つが、命題1⇒命題2は成り立たない。
　　　　　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.19-20(pp.165-6)]　

[文献]

　・杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77);
　・小平『解析入門II』§6.1(pp.256-7)
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.17-21(pp.165-6)

証明

 ・杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77)参照。
・「命題1⇒命題3」の証明：
　　　　　小平『解析入門II』§6.1(p.257);杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77)
・「命題2⇒命題1」の証明：杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77) 　
・「命題3⇒命題2」の証明：杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77) 　
・「命題3⇒命題1」の証明：小平『解析入門II』§6.1(p.256)

関連

・Rnにおけるケース

 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：R2における凸集合　　convex set　

定義

 ・「点集合Sが凸集合である」とは、
　点集合Sに属す任意の2点P,Qに対し，線分PQを点集合Sが含むことをいう。

[文献]

　・布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.9(p.125)
　・杉浦『解析入門I』pp.75-76;
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.67;
　・奥野鈴村『ミクロ経済学』pp.265-266.

例

 R2上の凸集合

性質

・凸集合は、弧状連結な集合の一例。したがって（∵）、凸集合は、開集合ならば、連結な集合の一例。

活用

 　 　

関連

・Rnにおける凸集合

 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：R2における領域　domain,region

定義

・領域とは、連結な開集合のこと。

[文献]

　・小平『解析入門II』pp.257;
　・杉浦『解析入門I』I§8定義1(p.76);
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.
　・笠原『微分積分学』5.1(p.153);　

※

 「内部の点だけを含む領域を開領域という」
 としている本(和達『微分積分』p. 113)もある。

関連

 　Rnにおける領域

活用

 連続関数による領域の像　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

定義：R2における閉領域

定義

 ・閉領域とは、領域の閉包のこと。
　つまり「境界を全て入れた領域(和達『微分積分』p. 113)」のこと。

 
 記号：　
 D

[文献]

　・小平『解析入門II』p.257;
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.
　・和達『微分積分』p. 113

性質

 ・閉領域は閉集合。

関連

 ・Rnにおける閉領域

活用

 ・連続関数による閉領域の像　 　

→[トピック一覧：距離空間(R2,d)]
→総目次		 　

（reference）

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256)、項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.67-76;120-123; 131-148.
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：　集合と位相　I・II』 岩波書店、1977年, pp.135-171。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年、第一章。
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、pp.14-17.
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp. 13; 21;36; 46;53-65; 73.
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.37-48;55; 70;.75-79;
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.3(pp.16-22)。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.154-157.
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.112-113.
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第2-3講(pp.8-25)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、6.3 Rnの点集合の位相。
奥野正寛、鈴村興太郎『ミクロ経済学Ｉ』岩波書店、1985年、pp.261-265.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、p.5。
佐藤坦『はじめての確率論　測度から確率へ』共立出版、1994、pp172-186.
Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,p.207.
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (p.468.)。